指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學指數(shù)與指數(shù)函數(shù)近3年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新高考I卷，第6題,5分從近五年的高考情況來看，指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個基本點，常與冪函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.在利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)應用上，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學運算素養(yǎng).（1）指數(shù)冪的運算性質(zhì)（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024年北京卷，第7題,5分2023年新高考I卷第4題，5分2023年乙卷第4題，5分2022年甲卷第12題，5分2020年新高考II卷第11題，5分模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】指數(shù)冪的運算本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學第六感【題型2】指數(shù)函數(shù)過定點問題【題型3】求指數(shù)函數(shù)的解析式【題型4】指數(shù)函數(shù)的圖象及應用【題型5】比較指數(shù)冪的大小【題型6】解指數(shù)方程或不等式【題型7】指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性【題型8】指數(shù)型函數(shù)的值域問題【題型9】指數(shù)函數(shù)的實際應用【題型10】指數(shù)型復合函數(shù)的奇偶性問題與恒成立綜合【題型11】指數(shù)函數(shù)的綜合性問題【題型1】指數(shù)冪的運算【方法技巧】（1）靈活運用指數(shù)的運算性質(zhì)進行指數(shù)運算，根式形式需要化為分數(shù)指數(shù)冪形式去求解.（2）運算的最終結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有負指數(shù)又有分母．指數(shù)與根式的概念1、n次方根的定義（1）定義：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且（2）偶次方根的被開方數(shù)要為非負數(shù)2、根式（1）定義：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．（2）性質(zhì)：（，且）a；3、分數(shù)指數(shù)冪的意義（1）分數(shù)指數(shù)冪的意義正分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：負分數(shù)指數(shù)冪：規(guī)定：（3）性質(zhì)：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義4、分數(shù)指數(shù)冪的注意事項：（1）分數(shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分數(shù)指數(shù)冪不可理解為個相乘，它是根式的一種新的寫法．在這樣的規(guī)定下，根式與分數(shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式時，不要輕易對進行約分．（3）在保證相應的根式有意義的前提下，負數(shù)也存在分數(shù)指數(shù)冪，如有意義，但就沒有意義．5、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍．6、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①．②．③．（1）；（2）已知，，求的值.【解析】（1）原式（2）因為，，所以，，所以.【鞏固練習1】化簡或求值：（1）；（2）；（3）；（4）（且）.【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）【解析】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.【鞏固練習2】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）【解析】（1）將兩邊平方，得，所以．（2）將兩邊平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．【鞏固練習3】計算(?64)13+A．?132 B．?112 C．【解題思路】利用指數(shù)運算及根式運算計算即得.【解答過程】(?64)1故選：C.【題型2】指數(shù)函數(shù)過定點問題指數(shù)函數(shù)圖象都經(jīng)過點，恒過定點．已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則點的坐標為.【答案】【解析】令，得，則.所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點.【鞏固練習1】函數(shù)（且）的圖象恒過定點，則等于.【答案】2【解析】由，即，得，所以，所以【鞏固練習2】（2024·山東濟寧·一模）已知函數(shù)且的圖象過定點A，且點A在直線上，則的最小值是.【答案】【解析】函數(shù)且的圖象過定點，則，所以，由，得，則令，則，則，當且僅當，即，即時，取等號，所以的最小值是.【題型3】求指數(shù)函數(shù)的解析式圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，；時，時，；時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)已知是指數(shù)函數(shù)，若，則___________.【答案】【解析】設，因為，即，解得，所以，即．【鞏固練習1】已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，求的解析式【答案】【解析】在上增函數(shù)，，解得又,，由為偶函數(shù)知，；【鞏固練習2】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，，那么當時，的解析式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當時，則，所以，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以當時．【題型4】指數(shù)函數(shù)的圖象及應用本#號資料全部來源*于微信公眾號：數(shù)學第六感對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等變換得到，當時，指數(shù)函數(shù)的圖像呈上升趨勢；當時，指數(shù)函數(shù)的圖像呈下降趨勢.（2024·黑龍江·二模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線，但又不與該直線相交，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)圖象過原點，所以，本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學*第六感得，又該函數(shù)圖象無限接近直線，且不與該直線相交，本號資料全部來源于#微信公眾號*：數(shù)學第六感所以，則，所以.函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數(shù)：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】C【解析】直線與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而，所以a，b，c，d的值分別是，，，，故選：C.【鞏固練習1】函數(shù)的圖像如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，排除AB選項；函數(shù)圖像是由向左平移所得，，.故D選項正確.【鞏固練習2】若函數(shù)的圖象如圖所示，且，則實數(shù)，的值可能為（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由函數(shù)的圖像，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由，可得，可得，結(jié)合選項，只有C項適合.故選：C.【鞏固練習3】如圖，曲線①②③④分別是指數(shù)函數(shù)，，，的圖像，則實數(shù)a、b、c、d的大小關系滿足（）A．B．C．；D．．【答案】B【解析】作出直線，此時與各函數(shù)的交點的縱坐標即為對應的底數(shù)，如圖，所以，故選：B【題型5】比較指數(shù)冪的大小比較指數(shù)冪的大小常用方法有：（1）對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；（2）對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；（3）對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．若，則a?b?c的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為在上單調(diào)遞增，且，所以，即，因為在上單調(diào)遞減，且，所以，即，所以，即，故選：A（2024·四川·模擬預測）設a=0.50.4，b=0.41.1，A．a(chǎn)<c<b B．c<a<b C．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合與特殊值1的比較，即可得到答案.本號資料全*部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感【解答過程】因為指數(shù)函數(shù)y=0.5x是單調(diào)減函數(shù)，所以又由冪函數(shù)y=x1.1在0,+∞又因為指數(shù)函數(shù)y=1.1x是單調(diào)增函數(shù)，所以綜上可得：b<a<c【鞏固練習1】（2024·云南·二模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以，因為，，所以，所以.【鞏固練習2】設a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，故.故選：B【鞏固練習3】已知，則的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是減函數(shù)，，所以，又，∴．故選：C．【題型6】解指數(shù)方程或不等式簡單指數(shù)不等式的解法1、形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解2、形如的不等式，可將化為以為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解3、形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解（2024·河北邯鄲·一模）不等式的解集為.【答案】【解析】由，可得.令，因為均為上單調(diào)遞減函數(shù)則在上單調(diào)遞減，且，，故不等式的解集為.【鞏固練習1】若x滿足不等式，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析由可得，因為在上單調(diào)遞增，所以即，解得：，所以，即函數(shù)的值域是，故選：B.【鞏固練習2】已知函數(shù)，那么不等式的解集為__________．【答案】【解析】已知函數(shù)，可知函數(shù)是增函數(shù)，且是偶函數(shù)，不等式等價于【鞏固練習3】不等式的解集為．【答案】【解析】不等式，可化為，即，解得，所以，所以不等式的解集為．故答案為：．【題型7】指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性判斷復合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.解決步驟第一步：求函數(shù)的定義域．第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)．第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性．第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復合函數(shù)的單調(diào)性．本號資料全部來源#于微*信公眾號：數(shù)學第六感函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)“同增異減”可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A.（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“同增異減”判斷復合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設，，則在上單調(diào)遞增.因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：，解得4.（2024·福建福州·模擬預測）設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由復合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，解得．【鞏固練習1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減”得：的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：D【鞏固練習2】已知函數(shù)，若在上減函數(shù)，求的取值范圍．【答案】{或且}.【解析】若在上減函數(shù)，則，解得或，即的取值范圍是{或且}．【鞏固練習3】（2023·重慶巴蜀中學高一校考）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用復合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令,則，當時，單調(diào)遞增，且，當時，，當時單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；當時，的對稱軸為，由題意，當時，表示開口向下的拋物線，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，不符合題意，綜上，.【題型8】指數(shù)型函數(shù)的值域問題解決步驟第一步：求函數(shù)的定義域，然后將復合函數(shù)分解成兩個函數(shù)．本號資料全部來源于微#信公眾*號：數(shù)學第六感第二步：由自變量的范圍求內(nèi)層函數(shù)的值域．第三步：由內(nèi)層函數(shù)的值域求外層函數(shù)的值域．函數(shù)，的值域是()A．B．C．D．【答案】A【解析】令，則，則，故選：A.【鞏固練習1】函數(shù)的值域是.【答案】【解析】依題意，，當且僅當時取等號，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此，所以函數(shù)的值域是.【鞏固練習2】已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，函數(shù)，，令，則在上單調(diào)遞增，即，于是有，當時，，此時，，當時，，此時，，所以函數(shù)的值域為.故選：B【鞏固練習3】函數(shù)在上的值域為___________.【答案】【解析】，∵則令在遞增，∴【題型9】指數(shù)函數(shù)的實際應用1、在自然科學中，指數(shù)函數(shù)常常用于描述增長或衰減的過程，比如生物群落的增長、放射性物質(zhì)的衰變等。2、在經(jīng)濟學中，指數(shù)函數(shù)也可以用來描述復利增長，即資金按比例增長的情況。指數(shù)函數(shù)在數(shù)學和現(xiàn)實生活中都有重要的應用，對于描述增長和衰減過程有著很好的表現(xiàn)能力。心理學家有時用函數(shù)來測定人們在時間內(nèi)能夠記憶的單詞量，其中表示記憶率.心理學家測定某學生在內(nèi)能夠記憶50個單詞，則該學生在從能記憶的單詞個數(shù)為（

）A．150 B．128 C．122 D．61【答案】C【分析】根據(jù)已知可求出，再代入即可求出.【詳解】由題可得，則，所以，即該學生在從能記憶的單詞個數(shù)為122.（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為．開始記錄時，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則滿足的關系式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．【詳解】設開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為：，乙的質(zhì)量為：，由題意可得，所以．【鞏固練習1】已知某種果蔬的有效保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）近似滿足函數(shù)關系（，為常數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)），若該果蔬在的保鮮時間為216小時，在的有效保鮮時間為8小時，那么在時，該果蔬的有效保鮮時間大約為小時.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，進而求得正確答案.【詳解】依題意，兩式相除得，則，所以當時，小時.【鞏固練習2】某種病毒的繁殖速度快、存活時間長，a個這種病毒在t天后將繁殖到個．已知經(jīng)過4天后病毒的數(shù)量會達到原來的2倍．且再過m天后病毒的數(shù)量將達到原來的16倍，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式的運算求解.【詳解】由題可知，，所以，經(jīng)過天，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?6倍，即，則有，解得【鞏固練習3】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是．要使物體的溫度變?yōu)?，還要經(jīng)過分鐘．【答案】120【分析】先把現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是代入公式，再列出此物體的溫度變?yōu)闀r的關系式，聯(lián)立二式組成方程組，解之即可求得要使物體的溫度變?yōu)椋€要經(jīng)過的時間.【詳解】∵現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是，∴，即①，要使物體的溫度變?yōu)椋瑒t，即②，聯(lián)立①②，，解得，故還要經(jīng)過分鐘．【題型10】指數(shù)型復合函數(shù)的奇偶性問題與恒成立綜合1、已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決．2、指數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復合函數(shù)問題，解題時要清楚復合的層次，外層是指數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層是指數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律求解．已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，求實數(shù)m，n的值.【答案】【解析】由于是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，由于是奇函數(shù)，所以，所以，即，所以.（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即函數(shù)的單調(diào)性解即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，又，所以當時，函數(shù)為增函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，因為，所以，故.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）是奇函數(shù)，經(jīng)檢驗當時，是奇函數(shù)符合題意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因為，故，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，.【鞏固練習1】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).本號資料全部來*源于微信公眾號：數(shù)學第六感(1)求，的值；(2)若存在，使成立，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由及即可求解；（2）求出函數(shù)的單調(diào)性，不等式可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又因為，所以將代入，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，，.（2）由（1）知：函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù).因為存在，使成立，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，令，題意可知：問題等價轉(zhuǎn)化為，又因為，所以,故的取值范圍為.【鞏固練習2】已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值2和最大值10．(1)求，的值；(2)設，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的對稱軸為，因為，所以在區(qū)間上最小值為，最大值為，故解得．（2）由（1）可得，所以可化為，化為．令則，因為，故，記，故，所以實數(shù)的取值范圍是．【鞏固練習3】已知函數(shù)，若，使得，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】當時，，∴當時，，當時，為增函數(shù)，所以時，取得最大值，∵對，使得，