第44講、數(shù)列求和（學(xué)生版）

④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．【解題方法總結(jié)】常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．必考題型全歸納題型一：通項分析法例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求和．例2．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項和為A． B． C． D．例3．求數(shù)列1，，，，，的前項之和．變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前n項和為.變式2．（2024·全國·高三對口高考）數(shù)列的前n項和.變式3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項的和為.【解題方法總結(jié)】先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數(shù)列的前項和問題應(yīng)該強化的意識．題型二：公式法例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)由，的公共項構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項之和．例5．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例6．（2024·寧夏銀川·高三銀川一中階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列(1)求通項公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和【解題方法總結(jié)】針對數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，確定數(shù)列的類型，符合等差或等比數(shù)列時，直接利用等差、等比數(shù)列相應(yīng)公式求解．題型三：錯位相減法例7．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足且(1)若存在一個實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請求出的值；(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項和．例8．（2024·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列?的前?項和為?，且?;數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.(1)求數(shù)列?的通項公式.(2)若?，求數(shù)列?的前?項和?.例9．（2024·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為1，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為前項的和，求.變式4．（2024·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.變式5．（2024·廣東東莞·校考三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.變式6．（2024·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求其前項和【解題方法總結(jié)】錯位相減法求數(shù)列的前n項和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．題型四：分組求和法例10．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．(1)求證：；(2)求數(shù)列的前項和．例11．（2024·廣東深圳·高三北師大南山附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項和.例12．（2024·重慶巴南·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.變式7．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足是與的等差中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項和.變式8．（2024·海南·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．變式9．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）為數(shù)列的前項和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.變式10．（2024·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的首項，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項和，求.變式11．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和Sn；(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項的和T50.【解題方法總結(jié)】（1）分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．（2）分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型題型五：裂項相消法例13．（2024·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例14．（2024·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例15．（2024·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和，并證明：.變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，．(1)求；(2)若，為的前n項和，證明：．變式13．（2024·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．變式14．（2024·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列.(1)求和.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，記的前項和為，證明：．變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．變式17．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求集合中元素的個數(shù).變式18．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，且.(1)求；(2)記，數(shù)列的前項和為，求.變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和變式20．（2024·江西南昌·江西師大附中?？既＃┮阎菙?shù)列的前項和，滿足，且.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項和.變式21．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，求證．變式22．（2024·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．變式23．（2024·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的前項和．【解題方法總結(jié)】裂裂項相消法求和（1）基本步驟（2）裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．題型六：倒序相加法例16．（2024·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的項數(shù)為，且，則的前n項和為．例17．（2024·廣西玉林·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則．例18．（2024·高三課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法，求得的值為.變式24．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則.變式25．（2024·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項和．變式26．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項和．變式27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)函數(shù)，則．變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.【解題方法總結(jié)】將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型七：并項求和例19．（2024·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，則．例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知的前項和為，，，則.例21．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前30項的和.變式29．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求滿足的k的值．變式30．（2024·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.變式31．（2024·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前18項和．【解題方法總結(jié)】兩兩并項或者四四并項題型八：先放縮后裂項求和例22．（2024·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和；(3)求證：.例23．（2024·天津市寶坻區(qū)第一中學(xué)二模）已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項公式；(2)求數(shù)列的前8項和；(3)證明：．例24．（2024·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.變式32．（2024·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；(2)設(shè)，證明：.【解題方法總結(jié)】先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標．題型九：分段數(shù)列求和例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(1)求和的通項公式；(2)記的前n項和為，求證：；(3)對任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前項和．例26．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.例27．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比，前n項和為，滿足：.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.變式33．（2024·湖