專題一　求“A字型”“飛鏢型”中角的度數(shù)“8字型”

第十一章三角形專題一求“A字型”“飛鏢型”中角的度數(shù)“8字型”類型一求“A字型”中角的度數(shù)

如圖所示稱為“A字型”，數(shù)量關(guān)系：∠

ADE

＋∠

AED

＝∠

ABC

＋∠

C

.

建議用時(shí)：30分鐘1.

如圖，

D

是

AB

上一點(diǎn)，

E

是

AC

上一點(diǎn)，

BE

，

CD

相交于點(diǎn)

F

，∠

A

＝60°，∠

BFD

＝55°，∠

C

＝30°，求∠

B

的度數(shù).解：∵∠

A

＝60°，∠

C

＝30°，∴∠

BDF

＝∠

A

＋∠

C

＝90°.∵∠

BFD

＝55°，∴∠

B

＝180°－∠

BDF

－∠

BFD

＝35°.1234562.

在△

ABC

中，

D

是

BC

邊上一點(diǎn)，且∠

CDA

＝∠

CAB

.

(1)求證：∠

CAD

＝∠

B

；解：(1)證明：在△

ABC

和△

ADC

中，∠

CAD

＋∠

CDA

＝∠

CAB

＋

∠

B

.

∵∠

CDA

＝∠

CAB

，∴∠

CAD

＝∠

B

.

123456(2)

MN

是經(jīng)過(guò)點(diǎn)

D

的一條直線，且

MN

⊥

AC

，垂足為點(diǎn)

E

，在圖中畫出直線

MN

.

若∠

CAB

＝70°，∠

DAB

＝20°，求∠

CAD

，∠

CDE

的度數(shù).解：(2)如圖.∵∠

CAB

＝70°，∠

DAB

＝20°，∴∠

CAD

＝∠

CAB

－∠

DAB

＝50°.∵

DE

⊥

AC

，∴∠

AED

＝90°，∴∠

ADE

＝90°－∠

EAD

＝40°.∵∠

CDA

＝∠

CAB

＝70°，∴∠

CDE

＝∠

CDA

－∠

ADE

＝30°.123456類型二求“飛鏢型”中角的度數(shù)

如圖所示稱為“飛鏢型”，數(shù)量關(guān)系：∠

D

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

.

1234563.

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”如圖1，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當(dāng)我們仔細(xì)觀察后

發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？探究知其性質(zhì)有：凹四邊

形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和(即如圖1，∠

ADB

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

C

).理由如下：

123456方法一：如圖2，連接

AB

，則在△

ABC

中，∠

C

＋∠

CAB

＋∠

CBA

＝180°，即∠1

＋∠2＋∠3＋∠4＋∠

C

＝180°.又∵在△

ABD

中，∠1＋∠2＋∠

ADB

＝180°，∴∠

ADB

＝∠3＋∠4＋∠

C

，即∠

ADB

＝∠

CAD

＋∠

CBD

＋∠

C

.

123456方法二：如圖3，連接

CD

并延長(zhǎng)至點(diǎn)

F

.

∵∠1和∠3分別是△

ACD

和△

BCD

的一個(gè)外角……大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？123456任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是

?；三角形的內(nèi)角和定理

(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分；解：(2)證明：∵∠1和∠3分別是△

ACD

和△

BCD

的一個(gè)外角，∴∠1＝∠

A

＋∠2，∠3＝∠

B

＋∠4，∴∠

ADB

＝∠1＋∠3＝∠

A

＋∠2＋∠

B

＋∠4.∵∠

ACB

＝∠2＋∠4，∴∠

ADB

＝∠

A

＋∠

B

＋∠

ACB

.

123456(3)應(yīng)用：如圖4，

AE

是∠

CAD

的平分線，

BF

是∠

CBD

的平分線，

AE

與

BF

交于

點(diǎn)

G

，若∠

ADB

＝150°，∠

AGB

＝110°，求∠

C

的大小.解：(3)設(shè)∠

CAE

＝

x

，∠

CBF

＝

y

.∵

AE

是∠

CAD

的平分線，

BF

是∠

CBD

的平分線，∴∠

CAD

＝2∠

CAE

＝2

x

，∠

CBD

＝2∠

CBF

＝2

y

.由材料知，∠

ADB

＝∠

CAD

＋∠

CBD

＋∠

C

.

又∵∠

ADB

＝150°，∴2

x

＋2

y

＋∠

C

＝150°.①∵∠

AEB

是△

ACE

的外角，∴∠

AEB

＝∠

CAE

＋∠

C

＝

x

＋∠

C

.

∵∠

AGB

是△

BEG

的外角，123456∴∠

AGB

＝∠

CBF

＋∠

AEB

＝

y

＋

x

＋∠

C

.

∵∠

AGB

＝∠

CBF

＋∠

CAE

＋∠

C

＝110°，∴

y

＋

x

＋∠

C

＝110°.②聯(lián)立①②，解得∠

C

＝70°.123456類型三求“8字型”中角的度數(shù)

如圖所示稱為“8字型”，數(shù)量關(guān)系：∠

A

＋∠

D

＝∠

B

＋∠

C

.

1234564.

如圖，在△

ABC

和△

BDC

中，∠

A

＝80°，∠

ABD

＝55°，∠

ACD

＝20°，則∠

D

＝

°.第4題圖115

1234565.

(2023煙臺(tái)期末)如圖，∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠

E

的度數(shù)是

?.第5題圖提示：連接

BC

，構(gòu)造“8字型”三角形.180°

1234566.

如圖，

AD

，

BC

交于點(diǎn)

O

，

BE

，

DE

分別是∠

ABC

，∠

ADC

的平分線.(1)求證：∠

A

＋∠

ABO

＝∠

C

＋∠

CDO

；解：(1)證明：在△

AOB

中，∠

A

＋∠

ABO

＋∠

AOB

＝180°，

在△

COD

中，∠

C

＋∠

CDO

＋∠

COD

＝180°.又∵∠

AOB

＝∠

COD

，∴∠

A

＋∠

ABO

＝∠

C

＋∠

CDO

.

123456(2)若∠

A

＝40°，∠

C

＝50°，求∠

E

的度數(shù).解：(2)∵∠

ABC

和∠

ADC

的平分線相交于點(diǎn)

E

，∴設(shè)∠

ABE

＝∠

EBC

＝

x

，∠

ADE

＝∠

EDC

＝

y

，則∠

A

＋

x

＝∠

E

＋

y

，∠

C

＋

y

＝∠