2.4.2圓的一般方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

圓的一般方程2024.8教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：依據(jù)不同條件利用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．1.掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)；2.掌握?qǐng)A的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化；3.能根據(jù)某些具體條件，運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程.會(huì)用配方法對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程進(jìn)行互化．情境導(dǎo)入

我們常見的隧道的截面是半圓形，圓拱橋上的弧形也是圓的一部分，圓在日常生活中應(yīng)用非常廣泛.如果把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x－

a）2＋（y－b）2＝r2展開為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中

D，E，F(xiàn)均為常數(shù).（1）任何一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是否都可變形為關(guān)于x，y的

二次項(xiàng)系數(shù)為1，且不含xy項(xiàng)的二元二次方程的形式？（2）若一個(gè)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程表示圓，則D，E，F(xiàn)應(yīng)滿足什么條件？

知識(shí)點(diǎn)

圓的一般方程把方程：x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0配方對(duì)照?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)現(xiàn)了什么？(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示為圓心，以

為半徑的圓.(2)當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程只有一組解,表示一個(gè)點(diǎn)(3)當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí),方程無實(shí)數(shù)解,所以不表示任何圖形.

圓的一般方程:x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）說明：①x2與y2的系數(shù)都為1；②沒有xy這樣的二次項(xiàng)；

③圓心為(-,-)，半徑為D2E212D2+E2-4F形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圓的方程.練習(xí)：1.方程

x2＋

y2－

x

＋

y

＋

k

＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)

k

的取值范圍

為

?.方程表示圓?1＋1－4

k

＞0，k

＜2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）為圓心，4為半

徑的圓，則F＝_______________4題型一圓的一般方程的辨析例1

判斷下列二元二次方程是否表示圓.如果是，請(qǐng)求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑.（1）x2＋y2－4x＝0；方程可變形為（x－2）2＋y2＝4，表示圓心坐標(biāo)是

（2，0），半徑是2的圓.（2）

x2＋

y2－4

ax

－2

ay

＋6

a2＝0；方程可變形為（x

－2a）2＋（y－

a）2＝a2.當(dāng)a＝0時(shí)，方程表示點(diǎn)（0，0），不表示圓；當(dāng)a≠0時(shí)，方程表示圓心坐標(biāo)是(2a，

a)，半徑是｜a｜的圓.（3）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.方程可變形為x2＋y2－x＋3y＋

＝0，由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×

＝－1＜0，不表示任何圖形.方程配方可變形為故方程不表示任何圖形.二元二次方程表示圓的判斷方法

任何一個(gè)圓的方程都可化為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓

可以有以下兩種方法：（1）計(jì)算D2＋E2－4F，若其值為正，則表示圓；若其值為0，則表

示一個(gè)點(diǎn)；若其值為負(fù)，則不表示任何圖形；（2）將該方程配方為

，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷.練習(xí)：1（2024·許昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的圖形是圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－1，＋∞）法一

因?yàn)榉匠瘫硎镜膱D形是圓，所以4＋4m＞0，解得

m＞－1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－1，＋∞）.法二

方程x2＋y2－2y－m＝0可化為x2＋（y－1）2＝m＋1，因?yàn)榉匠瘫硎镜膱D形是圓，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－1，＋∞）2.（多選）已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直徑為4，則（

）A.m＝－1B.m＝1C.圓心為（－1，－2）D.圓心為（1，－2）圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圓心為（1，－2），半徑為若其直徑為4，則解得m＝1.題型二求圓的一般方程例2．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1，1)，B(－4，0)，C(4，－4).(1)求△ABC外接圓的方程；(2)判斷點(diǎn)M1(3，－1)，M2(2，－3)是否在這個(gè)圓上．(1)設(shè)△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋2x＋8y－8＝0.(2)由(1)知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋4)2＝25.把點(diǎn)M1(3，－1)的坐標(biāo)代入圓的方程，得(3＋1)2＋(－1＋4)2＝25，即點(diǎn)M1的坐標(biāo)滿足圓的方程，所以點(diǎn)M1在這個(gè)圓上；把點(diǎn)M2(2，－3)的坐標(biāo)代入圓的方程得(2＋1)2＋(－3＋4)2＝10≠25，即點(diǎn)M2的坐標(biāo)不滿足圓的方程，所以點(diǎn)M2不在這個(gè)圓上．（2024·泉州月考）已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圓心在直線

x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為

，求圓C的一般方程.由題意得圓心C①②由①②可得又圓心在第二象限，所以D＞0.所以圓C的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.題型三與圓有關(guān)的軌跡問題角度一直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，化簡(jiǎn)，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝4.角度二代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例4已知點(diǎn)P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運(yùn)動(dòng)，求線段OP的中點(diǎn)M的軌跡方程．設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)P(x0，y0)，∵點(diǎn)P(x0，y0)在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，角度三定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例5已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程．法一：設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3，且x≠－1.且kAC·kBC＝－1，化簡(jiǎn)，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法二：同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化簡(jiǎn)，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．法三：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得D(1，0)．由直角三角形的性質(zhì)，由圓的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，以2為半徑長(zhǎng)的圓(因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．設(shè)C(x，y)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．

求軌跡方程的三種常用方法(1)直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然后化簡(jiǎn)、證明；(2)定義法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)代入法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于某圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)而運(yùn)動(dòng)，把x1，y1用x，y表示，再將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中，得點(diǎn)P的軌跡方程．（2024·徐州月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B

（8，0）的距離的一半.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）.｜

MA

｜＝

｜

MB

｜所以（x－2）2＋y2＝

[（x

－8）2＋y2].即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋y2＝16.（2）若N為線段AM的