2022-2023學年北京市海淀區(qū)高二下學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2北京市海淀區(qū)2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，則.故選：B2.已知命題，則為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗為,故選：C3.已知為等比數(shù)列，公比，則（）A.81 B.27 C.32 D.16〖答案〗A〖解析〗根據(jù)可得，所以或，若，則不符合要求，若，則符合要求，故，故選：A4.下列四個函數(shù)中，在區(qū)間上的平均變化率最大的為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，在上的平均變化率為，對于B，在上的平均變化率為，對于C,在上的平均變化率為，對于D，在上的平均變化率為，由于，故在上的平均變化率最大，故選：B5.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，若，顯然滿足，但不能得到，故A錯誤，對于B，由于，所以，又單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故B錯誤，對于C，若，顯然滿足，，故C錯誤，對于D，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當，則，綜上可知D正確，故選：D6.已知函數(shù)，則的值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，故選：B7.從這本不同的文學讀物中選出本分給甲、乙、丙名學生（每人一本）．如果甲不得讀物，則不同的分法種數(shù)為（）A.24 B.18 C.6 D.4〖答案〗B〖解析〗若讀物沒被選出，則選出的讀物直接全排列分給人，有種方法；若讀物被選出，然后選其他的讀物，有種，甲有種讀物可選，其余兩本書全排列分給乙丙有種方法，共種.故一共有種.故選：B8.已知等差數(shù)列前項和為，公差為，則“有最大值”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，當時，則等差數(shù)列從第二項開始都是負數(shù)，顯然取到最大值，當，則等差數(shù)列的項必然先正后負，不妨設，則取到最大值，故可以推出有最大值；若有最大值，當時，，若，則取到最大值,充分性不成立.于是“有最大值”是“”的必要不充分條件.故選：B9.學校要從8名候選人中選4名同學組成學生會．已知恰有3名候選人來自甲班，假設每名候選人都有相同的機會被選中，則甲班恰有2名同學被選中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從8名候選人中選4名同學，共有種選擇，甲班有3名候選人，非甲班有5名候選人，故甲班恰有2名同學被選中的個數(shù)有所以概率為，故選：C10.已知函數(shù)．若函數(shù)有三個極值點，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，則，由題意，得到，從而，而，故，令，由，于是有兩個根，滿足，注意到二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，故，解得，于是有兩個根，滿足，根據(jù)韋達定理，.故選：D第二部分（非選擇題共60分）二、空題共5小題，每小題4分，共20分.11.在的展開式中，的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗展開式的通項為：，，由題意，取，.故〖答案〗為：12.不等式的解集是________．〖答案〗或.〖解析〗等價于，即，等價于，解得：或.即不等式的解集是或.故〖答案〗為：或.13.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗由題意可知在上恒成立，所以在上恒成立，記，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，故當取極小值也是最小值，且，故，即，所以，故〖答案〗為：14.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，越來越多的網(wǎng)絡平臺開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個性化的服務．某公司在研發(fā)平臺軟件的推薦系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)，當收集的數(shù)據(jù)量為萬條時，推薦系統(tǒng)的準確率約為，平臺軟件收入為元．已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費成本100元，當收集的數(shù)據(jù)量為________萬條時，該軟件能獲得最高收益．〖答案〗19〖解析〗設收益為元，則，.當時，；當時，.即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.即當收集的數(shù)據(jù)量為萬條時，該軟件能獲得最高收益．故〖答案〗為：1915.已知各項均不為零數(shù)列，其前項和是，且給出下列四個結論：①；②為遞增數(shù)列；③若，則的取值范圍是；④，使得當時，總有．其中所有正確結論的序號是________．〖答案〗①③④〖解析〗由得，相減可得，由于各項均不為零，所以，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，對于①，，故正確；對于②，由于，，無法確定的大小關系，所以無法確定為遞增數(shù)列；故錯誤，對于③，由于的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，若，則需要，則的取值范圍是；故正確，對于④，若，則，只要足夠大，一定會有，此時時，此時只需要,即，所以存在，當且比大的正整數(shù)時，此時時，總有，故正確故〖答案〗為：①③④三、解答題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知等差數(shù)列前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列前項和為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，設，求數(shù)列的前項和．條件①：；條件②：；條件③：．解：（1）設等差首項和公差分別為，由得，所以；（2）設等比首項和公差分別為，若選①②，由得；由得，所以公比為，故，故，故；若選②③，由可知公比不為1，所以，由得，所以，故，故；若選①③，由可知公比不為1，所以，由得；所以，故，故.17.某企業(yè)產(chǎn)品利潤依據(jù)產(chǎn)品等級來確定：其中一等品、二等品、三等品的每一件產(chǎn)品的利潤分別為100元、50元、50元．為了解產(chǎn)品各等級的比例，檢測員從流水線上隨機抽取了100件產(chǎn)品進行等級檢測，檢測結果如下表：產(chǎn)品等級一等品二等品三等品樣本數(shù)量（件）503020（1）若從流水線上隨機抽取2件產(chǎn)品，估計2件產(chǎn)品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；（2）若從流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品，記X為這3件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)，為這3件產(chǎn)品的利潤總額．①求X的分布列；②直接寫出Y的數(shù)學期望．解：（1）記表示“第件產(chǎn)品是一等品”；記表示“第件產(chǎn)品是二等品”；記C表示“2件產(chǎn)品中恰有1件一等品、1件二等品”；此時，易知，則；（2）①若從流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品，則的所有可能取值為，此時；；；；所以的分布列如下：0123②由①可得，的分布列如下：則.18.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)；（3）若對任意的，都有，求實數(shù)的最大值．解：（1）當時，函數(shù)，可得，所以且，即切線的斜率為且切點坐標為，所以切線方程為，即.（2）當時，函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值，也為最小值，所以，所以函數(shù)沒有零點，即函數(shù)的零點個數(shù)為.（3）由對任意的，都有成立，即成立，令，可得，因為，要使得恒成立，則滿足，即，下面證明：當時，符合題意，此時，令，可得，所以為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即所以恒成立，即當時，對任意的，都有成立，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.19.給定整數(shù)，對于數(shù)列定義數(shù)列如下：，，其中表示，這個數(shù)中最小的數(shù)．記．（1）若數(shù)列為①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分別寫出相應的數(shù)列；（2）求證：若，則有；（3）若，常數(shù)使得恒成立，求的最大值．解：（1）根據(jù)題意，若數(shù)列為，可得，即數(shù)列為：；若數(shù)列為，可得，即數(shù)列為：.（2）由題設條件知，若時，可得，當且僅當時，等號成立，所以，所以當，則成立.（3）不妨設，若，因為，所以，此時顯然取任意實數(shù)都滿足條件；下面設，則的充分必要條件時，假設，因為，所以，當時，由，所以，當時，有，仍然有成立，所以，因為，所以，所以，取，所以，所以的最大值為.北京市海淀區(qū)2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，則.故選：B2.已知命題，則為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗為,故選：C3.已知為等比數(shù)列，公比，則（）A.81 B.27 C.32 D.16〖答案〗A〖解析〗根據(jù)可得，所以或，若，則不符合要求，若，則符合要求，故，故選：A4.下列四個函數(shù)中，在區(qū)間上的平均變化率最大的為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，在上的平均變化率為，對于B，在上的平均變化率為，對于C,在上的平均變化率為，對于D，在上的平均變化率為，由于，故在上的平均變化率最大，故選：B5.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，若，顯然滿足，但不能得到，故A錯誤，對于B，由于，所以，又單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故B錯誤，對于C，若，顯然滿足，，故C錯誤，對于D，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當，則，綜上可知D正確，故選：D6.已知函數(shù)，則的值為（）A.0 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以，故選：B7.從這本不同的文學讀物中選出本分給甲、乙、丙名學生（每人一本）．如果甲不得讀物，則不同的分法種數(shù)為（）A.24 B.18 C.6 D.4〖答案〗B〖解析〗若讀物沒被選出，則選出的讀物直接全排列分給人，有種方法；若讀物被選出，然后選其他的讀物，有種，甲有種讀物可選，其余兩本書全排列分給乙丙有種方法，共種.故一共有種.故選：B8.已知等差數(shù)列前項和為，公差為，則“有最大值”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，當時，則等差數(shù)列從第二項開始都是負數(shù)，顯然取到最大值，當，則等差數(shù)列的項必然先正后負，不妨設，則取到最大值，故可以推出有最大值；若有最大值，當時，，若，則取到最大值,充分性不成立.于是“有最大值”是“”的必要不充分條件.故選：B9.學校要從8名候選人中選4名同學組成學生會．已知恰有3名候選人來自甲班，假設每名候選人都有相同的機會被選中，則甲班恰有2名同學被選中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗從8名候選人中選4名同學，共有種選擇，甲班有3名候選人，非甲班有5名候選人，故甲班恰有2名同學被選中的個數(shù)有所以概率為，故選：C10.已知函數(shù)．若函數(shù)有三個極值點，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，則，由題意，得到，從而，而，故，令，由，于是有兩個根，滿足，注意到二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，故，解得，于是有兩個根，滿足，根據(jù)韋達定理，.故選：D第二部分（非選擇題共60分）二、空題共5小題，每小題4分，共20分.11.在的展開式中，的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗展開式的通項為：，，由題意，取，.故〖答案〗為：12.不等式的解集是________．〖答案〗或.〖解析〗等價于，即，等價于，解得：或.即不等式的解集是或.故〖答案〗為：或.13.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗由題意可知在上恒成立，所以在上恒成立，記，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，故當取極小值也是最小值，且，故，即，所以，故〖答案〗為：14.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，越來越多的網(wǎng)絡平臺開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個性化的服務．某公司在研發(fā)平臺軟件的推薦系統(tǒng)時發(fā)現(xiàn)，當收集的數(shù)據(jù)量為萬條時，推薦系統(tǒng)的準確率約為，平臺軟件收入為元．已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費成本100元，當收集的數(shù)據(jù)量為________萬條時，該軟件能獲得最高收益．〖答案〗19〖解析〗設收益為元，則，.當時，；當時，.即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.即當收集的數(shù)據(jù)量為萬條時，該軟件能獲得最高收益．故〖答案〗為：1915.已知各項均不為零數(shù)列，其前項和是，且給出下列四個結論：①；②為遞增數(shù)列；③若，則的取值范圍是；④，使得當時，總有．其中所有正確結論的序號是________．〖答案〗①③④〖解析〗由得，相減可得，由于各項均不為零，所以，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，對于①，，故正確；對于②，由于，，無法確定的大小關系，所以無法確定為遞增數(shù)列；故錯誤，對于③，由于的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，若，則需要，則的取值范圍是；故正確，對于④，若，則，只要足夠大，一定會有，此時時，此時只需要,即，所以存在，當且比大的正整數(shù)時，此時時，總有，故正確故〖答案〗為：①③④三、解答題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知等差數(shù)列前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等比數(shù)列前項和為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，設，求數(shù)列的前項和．條件①：；條件②：；條件③：．解：（1）設等差首項和公差分別為，由得，所以；（2）設等比首項和公差分別為，若選①②，由得；由得，所以公比為，故，故，故；若選②③，由可知公比不為1，所以，由得，所以，故，故；若選①③，由可知公比不為1，所以，由得；所以，故，故.17.某企業(yè)產(chǎn)品利潤依據(jù)產(chǎn)品等級來確定：其中一等品、二等品、三等品的每一件產(chǎn)品的利潤分別為100元、50元、50元．為了解產(chǎn)品各等級的比例，檢測員從流水線上隨機抽取了100件產(chǎn)品進行等級檢測，檢測結果如下表：產(chǎn)品等級一等品二等品三等品樣本數(shù)量（件）503020（1）若從流水線上隨機抽取2件產(chǎn)品，估計2件產(chǎn)品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；（2）若從流水線上隨機抽取3件產(chǎn)品，記X為這3件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)，為這3件產(chǎn)品的利潤總額．①求X的分布列；②直接寫出Y的數(shù)學期望．解：（1）記表示“第件產(chǎn)品是一等品”；記表示“第件產(chǎn)品是二等品”；記C表示“2件