2022-2023學(xué)年江西省吉安市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省吉安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知角的集合，則在內(nèi)的角有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個〖答案〗B〖解析〗依題意，解不等式，得，而，因此，所以在內(nèi)的角有3個.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：C.3.已知向量，互相垂直，則（）A.3 B. C.9 D.18〖答案〗B〖解析〗向量，互相垂直，則，解得，所以.故選：B.4.的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以當(dāng)，時取最小值為.故選：B.5.已知a為直線，，為平面，，，若成立，則需要的條件為（）A. B.C. D.，〖答案〗D〖解析〗a為直線，，為平面，，，若，直線與平面的關(guān)系不確定，A不是；若，直線可以與直線平行，此時不能推出，B不是；若，直線可以平行于或在平面內(nèi)，C不是；若，且，由面面垂直的性質(zhì)，成立.故選：D.6.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把得到的曲線上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度〖答案〗D〖解析〗把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，對于A，再向左平移個單位長度，得的圖象，A錯誤；對于B，再向左平移個單位長度，得的圖象，B錯誤；對于C，再向右平移個單位長度，得的圖象，C錯誤；對于D，再向右平移個單位長度，得的圖象，D正確.故選：D.7.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表了一個令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線稱為歐拉線．其中重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．已知M，N，P分別為的外心、重心、垂心，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗點(diǎn)是的外心，則，A錯誤；如圖，由歐拉線定理得，B正確；點(diǎn)為的重心，延長交于，則是的中點(diǎn)，于是，則，C正確；點(diǎn)是的垂心，由，得，即，由，同理得，因此，D正確.故選：A.8.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”．若三棱錐為鱉臑，平面，，，，三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時，球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將三棱錐放一個長方體中，如圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三棱錐的外接球就是一個長方體的外接球，因?yàn)椋?，在為直角三角形，所以，設(shè)長方體的外接球的半徑為R，則，故，所以外接球的表面積為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)（為純虛數(shù)），則（）A.不可能為純虛數(shù)B.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則C.的最小值為D.若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于上，則〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)（且），則，所以不可能為純虛數(shù)，故A正確；若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，解得，所以，故B錯誤；，所以當(dāng)時取最小值，最小值為，故C正確；若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于上，則，解得，所以，故D正確.故選：ACD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的單調(diào)遞減區(qū)間為，D.的圖象關(guān)于直線對稱〖答案〗CD〖解析〗觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，，A錯誤；由，，得，B錯誤；，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，C正確；由，得函數(shù)的圖象對稱軸為，當(dāng)時，，D正確.故選：CD.11.質(zhì)點(diǎn)A和B在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為1的上逆時針作勻速圓周運(yùn)動，同時出發(fā)．A的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；B的角速度大小為1rad/s，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．當(dāng)A與B重合時，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題意，點(diǎn)的起始位置，點(diǎn)的起始位置，則，設(shè)當(dāng)A與B重合時，用的時間為，于是，即，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，即，B正確；當(dāng)為奇數(shù)時，，即，D正確.故選：BD.12.如圖，在圓錐PO中，已知圓O的直徑，點(diǎn)C是底面圓O上異于A的動點(diǎn)，圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形．，則（）A.面積的最大值為B.的值與的取值有關(guān)C.三棱錐體積的最大值為D.若，AQ與圓錐底面所成的角為，則〖答案〗CD〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，由，得，而圓錐底面圓半徑，圓錐的高，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，錯誤；當(dāng)時，，與的取值無關(guān)，B錯誤；過作交于，由平面，得平面，由，得，于是，所以當(dāng)且僅當(dāng)，且為中點(diǎn)時，三棱錐體積取最大值，C正確；若，則，由選項(xiàng)知，為與圓錐底面所成的角，即，顯然，在中，，，而，所以，D正確.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的結(jié)果為______．〖答案〗〖解析〗依題意，.故〖答案〗為：.14.______．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)椋瑒t，所以.故〖答案〗為：1.15.古希臘的哲學(xué)家柏拉圖證明只存在5種正多面體，即正四、六、八、十二、二十面體，其中正八面體是由8個正三角形構(gòu)成．如圖，若正八面體的體積為，則它的內(nèi)切球半徑為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)正八面體的棱長為，顯然正八面體可視為棱長都相等的兩個正四棱錐組合而成，則正八面體的體積，解得，于是正八面體的表面積，設(shè)正八面體的內(nèi)切球半徑為，因此，即，解得，所以正八面體的內(nèi)切球半徑為.故〖答案〗：.16.直角坐標(biāo)系和斜坐標(biāo)系都是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明的．設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量．若，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)．設(shè)，．（1）若，則______；（2）若，則______．〖答案〗〖解析〗（1）因?yàn)?，所以，若，則，所以；（2）因?yàn)椋?，所以，，若，則，所以，即，因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）求，的值；（2）若，求，的值．解：（1）因?yàn)?，所以，所以?（2）由（1）知，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，由得，所?18.如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)D，M分別為AC，PB的中點(diǎn)，．（1）證明：//平面BDF；（2）若平面//平面BDF，其中平面，，證明：AN是AM在平面PAC上的投影．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，由，得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，又平面平面，于是平面，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，因此平面，又平面，平面平面，又平面，所以平面.（2）平面平面，且平面平面，平面平面，則，由為的中點(diǎn)，得，則，又平面，因此平面，所以是在平面上的投影.19.①，②，在這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并給予解答．問題：的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，三角形面積，______，求的值．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．解：中，由及正弦定理得：，而，于是，因此，而，則，又，所以，若選①，，由，得，由余弦定理得，外接圓半徑，由正弦定理得，所以.若選②，，外接圓半徑，，由，得，所以.20.某人承包一塊荒地種植藍(lán)莓，原種植區(qū)域?yàn)?，由于?jīng)濟(jì)效益較好，現(xiàn)準(zhǔn)備擴(kuò)大種植面積．如圖，延長BC到D，使，以AD為底邊向外作頂角為的等腰三角形ADE．已知，設(shè)，．（1）求周長取值范圍；（2）求四邊形區(qū)域ABDE面積的最大值．解：（1）在中，，由余弦定理，得，，，而在上單調(diào)遞減，，即，故周長為，其取值范圍為.（2）作為垂足，因?yàn)槿切螢榈妊切危?，，在中，根?jù)余弦定理有，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，四邊形區(qū)域面積的最大值為.21.在中，，，若D是AB的中點(diǎn)，則；若D是AB的一個三等分點(diǎn)，則；若D是AB的一個四等分點(diǎn)，則．（1）如圖①，若，用，表示，你能得出什么結(jié)論？并加以證明．（2）如圖②，若，，AM與BN交于O，過O點(diǎn)的直線l與CA，CB分別交于點(diǎn)P，Q．①利用（1）的結(jié)論，用，表示；②設(shè)，，求證：為定值．解：（1）猜想：，證明：因?yàn)?，所?（2）①若，，則，，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，因?yàn)榕c不共線，所以，解得，所以.②因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，則（定值）.22.已知E，F(xiàn)分別為的重心和外心，D是BC的中點(diǎn)，，．（1）求BE；（2）如圖，P為平面ABC外一點(diǎn)，平面ABC，二面角的正切值為4．①求證：；②求三棱錐的外接球的體積．解：（1）由，且D是BC的中點(diǎn)，得，則，共線，又為重心，則，，又為的外心，連接，，而是的中點(diǎn)，因此，，在中，，由余弦定理得，所以.（2）①由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，所以.②由①知，，則為二面角的平面角，而二面角的正切值為4，即，解得，又的外心為，令三棱錐外接球的球心為，則平面，有，四邊形是直角梯形，設(shè)外接球的半徑為，于是，，因此，解得，，所以三棱錐的外接球的體積為.江西省吉安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知角的集合，則在內(nèi)的角有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.5個〖答案〗B〖解析〗依題意，解不等式，得，而，因此，所以在內(nèi)的角有3個.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：C.3.已知向量，互相垂直，則（）A.3 B. C.9 D.18〖答案〗B〖解析〗向量，互相垂直，則，解得，所以.故選：B.4.的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以當(dāng)，時取最小值為.故選：B.5.已知a為直線，，為平面，，，若成立，則需要的條件為（）A. B.C. D.，〖答案〗D〖解析〗a為直線，，為平面，，，若，直線與平面的關(guān)系不確定，A不是；若，直線可以與直線平行，此時不能推出，B不是；若，直線可以平行于或在平面內(nèi)，C不是；若，且，由面面垂直的性質(zhì)，成立.故選：D.6.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再把得到的曲線上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度〖答案〗D〖解析〗把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，得到函數(shù)的圖象，對于A，再向左平移個單位長度，得的圖象，A錯誤；對于B，再向左平移個單位長度，得的圖象，B錯誤；對于C，再向右平移個單位長度，得的圖象，C錯誤；對于D，再向右平移個單位長度，得的圖象，D正確.故選：D.7.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表了一個令人贊美的歐拉線定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條直線稱為歐拉線．其中重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．已知M，N，P分別為的外心、重心、垂心，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗點(diǎn)是的外心，則，A錯誤；如圖，由歐拉線定理得，B正確；點(diǎn)為的重心，延長交于，則是的中點(diǎn)，于是，則，C正確；點(diǎn)是的垂心，由，得，即，由，同理得，因此，D正確.故選：A.8.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”．若三棱錐為鱉臑，平面，，，，三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時，球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將三棱錐放一個長方體中，如圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三棱錐的外接球就是一個長方體的外接球，因?yàn)?，，在為直角三角形，所以，設(shè)長方體的外接球的半徑為R，則，故，所以外接球的表面積為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)（為純虛數(shù)），則（）A.不可能為純虛數(shù)B.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則C.的最小值為D.若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于上，則〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)（且），則，所以不可能為純虛數(shù)，故A正確；若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，解得，所以，故B錯誤；，所以當(dāng)時取最小值，最小值為，故C正確；若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于上，則，解得，所以，故D正確.故選：ACD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的單調(diào)遞減區(qū)間為，D.的圖象關(guān)于直線對稱〖答案〗CD〖解析〗觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，，A錯誤；由，，得，B錯誤；，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，C正確；由，得函數(shù)的圖象對稱軸為，當(dāng)時，，D正確.故選：CD.11.質(zhì)點(diǎn)A和B在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為1的上逆時針作勻速圓周運(yùn)動，同時出發(fā)．A的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；B的角速度大小為1rad/s，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．當(dāng)A與B重合時，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題意，點(diǎn)的起始位置，點(diǎn)的起始位置，則，設(shè)當(dāng)A與B重合時，用的時間為，于是，即，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，即，B正確；當(dāng)為奇數(shù)時，，即，D正確.故選：BD.12.如圖，在圓錐PO中，已知圓O的直徑，點(diǎn)C是底面圓O上異于A的動點(diǎn)，圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形．，則（）A.面積的最大值為B.的值與的取值有關(guān)C.三棱錐體積的最大值為D.若，AQ與圓錐底面所成的角為，則〖答案〗CD〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，由，得，而圓錐底面圓半徑，圓錐的高，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，錯誤；當(dāng)時，，與的取值無關(guān)，B錯誤；過作交于，由平面，得平面，由，得，于是，所以當(dāng)且僅當(dāng)，且為中點(diǎn)時，三棱錐體積取最大值，C正確；若，則，由選項(xiàng)知，為與圓錐底面所成的角，即，顯然，在中，，，而，所以，D正確.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的結(jié)果為______．〖答案〗〖解析〗依題意，.故〖答案〗為：.14.______．〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，則，所以.故〖答案〗為：1.15.古希臘的哲學(xué)家柏拉圖證明只存在5種正多面體，即正四、六、八、十二、二十面體，其中正八面體是由8個正三角形構(gòu)成．如圖，若正八面體的體積為，則它的內(nèi)切球半徑為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)正八面體的棱長為，顯然正八面體可視為棱長都相等的兩個正四棱錐組合而成，則正八面體的體積，解得，于是正八面體的表面積，設(shè)正八面體的內(nèi)切球半徑為，因此，即，解得，所以正八面體的內(nèi)切球半徑為.故〖答案〗：.16.直角坐標(biāo)系和斜坐標(biāo)系都是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明的．設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量．若，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)．設(shè)，．（1）若，則______；（2）若，則______．〖答案〗〖解析〗（1）因?yàn)?，所以，若，則，所以；（2）因?yàn)?，，所以，，若，則，所以，即，因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）求，的值；（2）若，求，的值．解：（1）因?yàn)?，所以，所以?（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由得，所?18.如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)D，M分別為AC，PB的中點(diǎn)，．（1）證明：//平面BDF；（2）若平面//平面BDF，其中平面，，證明：AN是AM在平面PAC上的投影．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，由，得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，又平面平面，于是平面，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，因此平面，又平面，平面平面，又平面，所以平面.（2）平面平面，且平面平面，平面平面，則，由為的中點(diǎn)，得，則，又平面，因此平面，所以是在平面上的投影.19.①，②，在這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并給予解答．問題：的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，三角形面積，______，求的值．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計(jì)分．解：中，由及正弦定理得：，而，于是，因此，而，則，又，所以，若選①，，由，得，由余弦定理得，外接圓半徑，由正