2022-2023學年江西省萍鄉(xiāng)市高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2022-2023學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列說法正確的是（）A. B.一堂數(shù)學考試（120分鐘）時針旋轉60°C.1弧度的角大于1°的角 D.三角形內角必為第一或二象限的角〖答案〗C〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，一堂數(shù)學考試（120分鐘）時針旋轉，故B錯誤；對于C，1弧度，故C正確；對于D，三角形的內角為時，不在象限內，故D錯誤.故選：C.2.設，是兩個不同的平面，直線，直線，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于A，若，則與平行或相交，故A錯誤；對于B，若，又，則，故B正確；對于C，若，則與平行或相交或異面，故C錯誤；對于D，若，則與平行或相交，不一定垂直，故D錯誤.故選：B.3.已知平面向量與的夾角為，且，則在方向上的投影數(shù)量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.4.的值為（）A.0 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗.故選：A5.如圖，平面四邊形中，，，，，，則四邊形繞所在的直線旋轉一周所成幾何體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四邊形繞所在直線旋轉一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐，因為，所以圓臺下底面面積，又因為，，所以，，所以圓臺的側面積，圓錐的側面積，所以幾何體的表面積為.故選：C.6.秋收起義紀念碑（圖1）是萍鄉(xiāng)市的標志性建筑，也是萍鄉(xiāng)市民的日常打卡地．為測量秋收起義紀念碑的高度，某中學研究學習小組選取A，B兩處作為測量點（如圖2），測得AB的距離為6m，，，在B處測得紀念碑頂端C的仰角為75°，則秋收起義紀念碑的高度OC約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.26m B.31m C.36m D.41m〖答案〗B〖解析〗在中，，在中，由正弦定理得，所以，因為在直角中，，所以，又因為，所以，即秋收起義紀念碑的高度OC約為31m.故選：B.7.已知偶函數(shù)滿足，且當時，，則時，的〖解析〗式為（）A. B. C D.〖答案〗D〖解析〗設，則，所以，因為為偶函數(shù)，所以，因為，即函數(shù)周期為，設，則，所以，.故選：D.8.在中，，點P在邊AC上，，，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，化為，解得，因為，所以，由，可得，即有，所以.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則下列關于復數(shù)z的結論正確的是（）A. B.復數(shù)z的共軛復數(shù)為C.復平面內表示復數(shù)z的點位于第三象限 D.復數(shù)z是方程的一個根〖答案〗AD〖解析〗由可得，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，復平面內表示復數(shù)的點位于第四象限，故C錯誤；對于D，將代入方程可得，，所以復數(shù)z是方程的一個根，故D正確.故選：AD.10.已知正六邊形的邊長為1，下列說法正確的是（）A.向量與可以作為平面內一組基底 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由題意可作圖如下：對于A，在正六邊形中，，則與不共線，故A正確；對于B，在正六邊形中，且，則，故B錯誤；對于C，設正六邊形的內角大小為，則，在中，，則，，則，故C正確；對于D，在中，，同理可得：，由C選項易知，則，則，故D錯誤.故選：AC.11.關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.該函數(shù)的最小正周期為 B.該函數(shù)在區(qū)間上單調遞增C.該函數(shù)的圖象關于點對稱 D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗由，所以函數(shù)的周期為，又因為函數(shù)的最小正周期為，故的最小正周期也為，故選項A正確；當時，在單調遞增且，所以，由上述可知在單調遞減且，所以在單調遞增，故選項B正確；因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故C正確；因為，故時，不一定為0，故D不正確.故選：ABC.12.已知三棱錐的各頂點都在球O上，點M，N分別是AC，CD的中點，平面BCD，，，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的四個面均為直角三角形B.球O的表面積為C.直線BD與平面ABC所成角的正切值是D.點O到平面BMN的距離是〖答案〗ABD〖解析〗AB⊥平面BCD，∴△ABC、△ABD為直角三角形，∵AB=1，BC=1，，由勾股定理得，，又∵BC=1，CD=2，則，∴△DBC、△ACD為直角三角形，故A正確；三棱錐A-BCD可看作由長、寬、高分別為2、1、1的長方體截得，O為AD的中點，球O的直徑為，故球O的表面積，故B正確；直線BD與平面ABC所成角的平面角為∠DBC，∴，所以C不正確；在Rt△ABC中，，在△ACD中，，又，∴△BMN為直角三角形，，設點O到平面BMN的距離為h，由于O到平面BMN的距離與C到平面BMN的距離相等，∴，則，則，解得，故D正確.故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為______．〖答案〗1〖解析〗由可得：，即，所以，即，故復數(shù)z的虛部為1.故〖答案〗為：1.14.若以函數(shù)圖像上相鄰的四個最值所在的點為頂點恰好構成一個菱形，則______．〖答案〗〖解析〗令，，則，，不妨取相鄰四個最值所在的點分別為，，，，如圖所示，因為以為頂點的四邊形恰好構成一個菱形，所以，所以，所以，即.故〖答案〗為：.15.已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，若，，，則______．〖答案〗2〖解析〗在中，，，所以，，且，所以，設的外接圓半徑為，則，，且，解得，因為，所以.故〖答案〗為：.16.如圖正三棱錐底面邊長為，側棱長為，，分別為，上的動點，則截面周長的最小值______.〖答案〗〖解析〗正三棱錐側面展開圖如下圖所示：若截面周長最小，則共線，即周長最小值為；由對稱性可知：，，，同理可得：，，，，，，，又，，，.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，．（1）若，試判斷向量與是否垂直；（2）若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）若，則，，故，∴，所以當時，向量與不垂直.（2）由題意知，，向量與的夾角為鈍角，∴，解得，當與反向時，有，解得，所以向量與的夾角為鈍角時，實數(shù)的取值范圍是．18.如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與AF所成角的余弦值．解：（1）證明：取的中點為G，連接BG，F(xiàn)G，∵F為的中點，∴且，而且，∴且，∴四邊形ABGF為平行四邊形，∴，又∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵面，面，∴平面.（2）取中點為O，連接，，∵O，G分別為，的中點，∴，由（1）知，為異面直線AF與所成的角或其補角，設正方體的邊長為，則，，，，∴異面直線AF與所成角的余弦值為．19.在中，內角的對邊分別為，點D是AB的中點，，記的面積為．（1）從下面的條件①②③中選擇一個作為已知條件，求角；（2）在（1）的條件下，求的最大值．①；②；③．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）若選①：由正弦定理得，，則，則，由正弦定理化簡得，，整理得，由余弦定理得，，∵，∴.若選②：根據(jù)題意得，，即，則，解得，∵，∴.若選③：由正弦定理得，，∴，則，則，因為為三角形的內角，，∴，∵，∴.（2）∵點D是AB中點，∴，，則，∴，當且僅當時等號成立，則，所以，在（1）的條件下，面積S的最大值為．20.在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形與互相垂直，，平面ABC，且點E在平面ABC內的射影落在∠ABC的平分線上．（1）求證：平面ACD；（2）求二面角的正切值．解：（1）如圖，取AC中點O，連接BO，DO，EO，∵為等邊三角形，∴BO為∠ABC的平分線，設點F是點E在平面ABC上的射影，由題知，點F在BO上，連接EF，則EF⊥平面ABC，∵平面平面ABC，平面平面，平面ACD，，則平面ABC，∴，則DEBO為平面四邊形，∵平面ABC，平面DEBO，平面平面，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，，∴平面ACD，∴平面ACD.（2）∵，，，DO，平面BOD，∴平面BOD，∵平面BOD，∴，∴∠DOE為二面角的平面角，∵平面ABC，平面ABC，∴，∵，，∴四邊形DEFO為矩形，∴，∴，，則，故二面角的正切值為．21.已知函數(shù)，的圖象在半個周期內過，，，四點中的三點．（1）求函數(shù)〖解析〗式；（2）在銳角中，a，b，c分別是內角A，B，C所對的邊，若，，求b的取值范圍．解：（1）B，D兩點關于x軸對稱，A，D，C組合的圖象大于半個周期，故函數(shù)圖象過A，B，C三點，A點坐標代入有，又，則，B點坐標代入有，則，，即，因為圖象在半個周期內過A，B，C三點，則只有當時適合，即，經(jīng)檢驗，C點符合題意，于是.（2）由于，在銳角中，可得，由余弦定理有，即，又在銳角中，有，，同時成立，即，，同時成立，所以，，同時成立，解得，所以b的取值范圍為．22.已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）若，關于x的方程有三個不等的實根，求a的取值范圍．解：（1）當時，函數(shù)，由，可得，故函數(shù)單調遞增區(qū)間為.（2）當時，可得，令，則，令，其圖象恒過和兩點，①當時，由（1）知有唯一根，不合題意；②當時，可得的圖象開口向上，，方程存在兩根，且，此時有（舍），故，則方程只有一個根，不合題意；③當時，可得的圖象開口向下，，方程存在兩根，且，若要滿足題意，則，，此時方程有一個根，有兩個不相等的根，則有，解得，綜上所述，a的取值范圍為．江西省萍鄉(xiāng)市2022-2023學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列說法正確的是（）A. B.一堂數(shù)學考試（120分鐘）時針旋轉60°C.1弧度的角大于1°的角 D.三角形內角必為第一或二象限的角〖答案〗C〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，一堂數(shù)學考試（120分鐘）時針旋轉，故B錯誤；對于C，1弧度，故C正確；對于D，三角形的內角為時，不在象限內，故D錯誤.故選：C.2.設，是兩個不同的平面，直線，直線，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于A，若，則與平行或相交，故A錯誤；對于B，若，又，則，故B正確；對于C，若，則與平行或相交或異面，故C錯誤；對于D，若，則與平行或相交，不一定垂直，故D錯誤.故選：B.3.已知平面向量與的夾角為，且，則在方向上的投影數(shù)量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.4.的值為（）A.0 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗.故選：A5.如圖，平面四邊形中，，，，，，則四邊形繞所在的直線旋轉一周所成幾何體的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四邊形繞所在直線旋轉一周所成的幾何體為一個圓臺挖去一個圓錐，因為，所以圓臺下底面面積，又因為，，所以，，所以圓臺的側面積，圓錐的側面積，所以幾何體的表面積為.故選：C.6.秋收起義紀念碑（圖1）是萍鄉(xiāng)市的標志性建筑，也是萍鄉(xiāng)市民的日常打卡地．為測量秋收起義紀念碑的高度，某中學研究學習小組選取A，B兩處作為測量點（如圖2），測得AB的距離為6m，，，在B處測得紀念碑頂端C的仰角為75°，則秋收起義紀念碑的高度OC約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.26m B.31m C.36m D.41m〖答案〗B〖解析〗在中，，在中，由正弦定理得，所以，因為在直角中，，所以，又因為，所以，即秋收起義紀念碑的高度OC約為31m.故選：B.7.已知偶函數(shù)滿足，且當時，，則時，的〖解析〗式為（）A. B. C D.〖答案〗D〖解析〗設，則，所以，因為為偶函數(shù)，所以，因為，即函數(shù)周期為，設，則，所以，.故選：D.8.在中，，點P在邊AC上，，，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，化為，解得，因為，所以，由，可得，即有，所以.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則下列關于復數(shù)z的結論正確的是（）A. B.復數(shù)z的共軛復數(shù)為C.復平面內表示復數(shù)z的點位于第三象限 D.復數(shù)z是方程的一個根〖答案〗AD〖解析〗由可得，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，復平面內表示復數(shù)的點位于第四象限，故C錯誤；對于D，將代入方程可得，，所以復數(shù)z是方程的一個根，故D正確.故選：AD.10.已知正六邊形的邊長為1，下列說法正確的是（）A.向量與可以作為平面內一組基底 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由題意可作圖如下：對于A，在正六邊形中，，則與不共線，故A正確；對于B，在正六邊形中，且，則，故B錯誤；對于C，設正六邊形的內角大小為，則，在中，，則，，則，故C正確；對于D，在中，，同理可得：，由C選項易知，則，則，故D錯誤.故選：AC.11.關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.該函數(shù)的最小正周期為 B.該函數(shù)在區(qū)間上單調遞增C.該函數(shù)的圖象關于點對稱 D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗由，所以函數(shù)的周期為，又因為函數(shù)的最小正周期為，故的最小正周期也為，故選項A正確；當時，在單調遞增且，所以，由上述可知在單調遞減且，所以在單調遞增，故選項B正確；因為，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，故C正確；因為，故時，不一定為0，故D不正確.故選：ABC.12.已知三棱錐的各頂點都在球O上，點M，N分別是AC，CD的中點，平面BCD，，，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的四個面均為直角三角形B.球O的表面積為C.直線BD與平面ABC所成角的正切值是D.點O到平面BMN的距離是〖答案〗ABD〖解析〗AB⊥平面BCD，∴△ABC、△ABD為直角三角形，∵AB=1，BC=1，，由勾股定理得，，又∵BC=1，CD=2，則，∴△DBC、△ACD為直角三角形，故A正確；三棱錐A-BCD可看作由長、寬、高分別為2、1、1的長方體截得，O為AD的中點，球O的直徑為，故球O的表面積，故B正確；直線BD與平面ABC所成角的平面角為∠DBC，∴，所以C不正確；在Rt△ABC中，，在△ACD中，，又，∴△BMN為直角三角形，，設點O到平面BMN的距離為h，由于O到平面BMN的距離與C到平面BMN的距離相等，∴，則，則，解得，故D正確.故選：ABD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足，則復數(shù)z的虛部為______．〖答案〗1〖解析〗由可得：，即，所以，即，故復數(shù)z的虛部為1.故〖答案〗為：1.14.若以函數(shù)圖像上相鄰的四個最值所在的點為頂點恰好構成一個菱形，則______．〖答案〗〖解析〗令，，則，，不妨取相鄰四個最值所在的點分別為，，，，如圖所示，因為以為頂點的四邊形恰好構成一個菱形，所以，所以，所以，即.故〖答案〗為：.15.已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，若，，，則______．〖答案〗2〖解析〗在中，，，所以，，且，所以，設的外接圓半徑為，則，，且，解得，因為，所以.故〖答案〗為：.16.如圖正三棱錐底面邊長為，側棱長為，，分別為，上的動點，則截面周長的最小值______.〖答案〗〖解析〗正三棱錐側面展開圖如下圖所示：若截面周長最小，則共線，即周長最小值為；由對稱性可知：，，，同理可得：，，，，，，，又，，，.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，．（1）若，試判斷向量與是否垂直；（2）若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）若，則，，故，∴，所以當時，向量與不垂直.（2）由題意知，，向量與的夾角為鈍角，∴，解得，當與反向時，有，解得，所以向量與的夾角為鈍角時，實數(shù)的取值范圍是．18.如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與AF所成角的余弦值．解：（1）證明：取的中點為G，連接BG，F(xiàn)G，∵F為的中點，∴且，而且，∴且，∴四邊形ABGF為平行四邊形，∴，又∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵面，面，∴平面.（2）取中點為O，連接，，∵O，G分別為，的中點，∴，由（1）知，為異面直線AF與所成的角或其補角，設正方體的邊長為，則，，，，∴異面直線AF與所成角的余弦值為．19.在中，內角的對邊分別為，點D是AB的中點，，記的面積為．（1）從下面的條件①②③中選擇一個作為已知條件，求角；（2）在（1）的條件下，求的最大值．①；②；③．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）若選①：由正弦定理得，，則，則，由正弦定理化簡得，，整理得，由余弦定理得，，∵，∴.若選②：根據(jù)題意得，，即，則，解得，∵，∴.若選③：由正弦定理得，，∴，則，則，因為為三角形的內角，，∴，∵，∴.（2）∵點D是AB中點，∴，，則，∴，當且僅當時等號成立，則，所以，在（1）的條件下，面積S的最大值為．20.在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形與互相垂直，，平面ABC