2022-2023學(xué)年山東省泰安市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省泰安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2.已知，，，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B.3.如圖，某圓柱側(cè)面展開圖的斜二測直觀圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由斜二測畫法得，在原圖矩形ABCD中，，所以該圓柱的高為，底面半徑為，故該圓柱的體積為．故選：B.4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A選項(xiàng)，若，，則或異面，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，若，，則，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，，則或或相交，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，若，，則或，故D選項(xiàng)錯誤.故選：B.5.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，參保險種比例定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．已知該保險公司對5個險種的參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如上統(tǒng)計圖例，則以下四個選項(xiàng)錯誤的是（）A.周歲人群參?？傎M(fèi)用最少B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的C.54周歲以上的參保人數(shù)最少D.丁險種更受參保人青睞〖答案〗A〖解析〗對于選項(xiàng)A，由扇形統(tǒng)計圖及折線圖可知，，故不小于周歲人群參?？傎M(fèi)用最少，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，由扇形統(tǒng)計圖可知，周歲以下參保人群約占參保人群的，故B正確；對于選項(xiàng)C，由扇形統(tǒng)計圖可知，54周歲以上的參保人數(shù)約占，人數(shù)最小，故C正確；對于選項(xiàng)D，由柱狀圖可知，丁險種更受參保人青睞，故D正確.故選：A．6.拋擲-枚質(zhì)地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲乙互斥 B.乙丙互為對立C.甲乙相互獨(dú)立 D.甲丙相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的所有可能情況為36種，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”包含的基本事件有：，則；乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”包含的基本事件有：，則；丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”包含的基本事件有：，則；對于A，甲乙有可能同時發(fā)生不是互斥事件，A錯誤；對于B，除了乙丙以外還有其他事件發(fā)生不是對立事件，B錯誤；對于C，甲乙同時發(fā)生的概率為，C錯誤；對于D，甲丙同時發(fā)生的概率為，D正確.故選：D.7.已知，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，與向量同向的單位向量為，因，所以，得，所以向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D.8.已知正四面體的體積為，為棱的中點(diǎn)，球?yàn)樵撜拿骟w的外接球，則過點(diǎn)的平面被球所截得的截面面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，球?yàn)檎拿骟w的外接球，即為正方體的外接球，正四面體體積為，設(shè)正四面體的棱長為，則正方體的棱長為，所以，解得，設(shè)正四面體的外接球的半徑為，則，基底，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，過點(diǎn)作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心的距離最大值時，截面圓的面積達(dá)最小值，此時球心到截面距離等于正方體棱長的一半，即，可得截面圓的半徑為：，所以截面圓的面積最小值為：.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部是 B.C.復(fù)平面內(nèi)和分別對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為1 D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，由，得，所以的虛部為，所以A錯誤；對于B，因?yàn)?，，所以，所以B正確；對于C，因?yàn)槠矫鎯?nèi)和分別對應(yīng)的點(diǎn)分別為和，所以這兩個點(diǎn)間的距離為，所以C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的最大值為3，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞減〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，又的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，則函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；，故B正確；，所以關(guān)于對稱，故C正確；當(dāng)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：BCD.11.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則下列說法正確的是（）A.若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B.若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則C.若，則與的面積相等D.若點(diǎn)在邊中線上，且，則點(diǎn)是的重心〖答案〗BC〖解析〗對于A：當(dāng)，則，即，即，所以，故A錯誤；對于B：若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，又，且、不共線，所以，故B正確；對于C：若，則，所以，如圖延長到點(diǎn)使得，延長到點(diǎn)使得，則，，所以，所以、、三點(diǎn)共線，又為三角形的中位線，所以、到的距離相等，所以，故C正確；對于D：取的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在邊的中線上，設(shè)，所以，又，所以，又，所以，即，此時為的中點(diǎn)，則點(diǎn)不是的重心，故D錯誤.故選：BC.12.如圖，在直三棱柱中，已知，為的中點(diǎn)，過的截面與棱，分別交于點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.線段長度的取值范圍是C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，四棱錐的體積為2D.存在點(diǎn)，使得〖答案〗AC〖解析〗在直三棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，有，延長交延長線于，連接，如圖1，令，于是，即，由，得，即，對于A，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為等腰直角三角形，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，又直三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四邊形為矩形，在上，所以，所以，故A正確；對于B，顯然在上單調(diào)遞增，所以，故B錯誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時，如圖，，，，四棱錐即的體積：，故C正確；對于D：取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，又A可知即在平面內(nèi)的射影，要使，只要即可，若，設(shè)，則，又，所以，所以，得，則，所以不存在點(diǎn)，使得，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運(yùn)會在北京圓滿落幕．這是一場疫情肆虐下的體育盛會，是一場團(tuán)結(jié)、友誼、奮進(jìn)、拼搏的盛會，是一場充分體現(xiàn)中華民族文化自信的盛會．籌備期間，某大學(xué)青年志愿者協(xié)會接到組委會志愿者服務(wù)邀請，計劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與冬奧會的志愿服務(wù)工作．已知大一至大三的青年志愿者人數(shù)分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應(yīng)選派_________人．〖答案〗〖解析〗由題意，在大一青年志愿者中應(yīng)選派人.故〖答案〗為：.14.已知是第三象限角，且，則的值是___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，所以，則，所以.故〖答案〗為：.15.如圖，為了測量河對岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)和，測得，并在處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高_(dá)_______m．〖答案〗〖解析〗在中，，，則，由正弦定理得，所以，所以，得，在中，，，所以，所以塔高，故〖答案〗為：.16.在銳角中，已知，，則的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理，即，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，則，令，則，，，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以，即，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，向量，，且．（1）求；（2）若為中點(diǎn)，，的面積為，求的長．解：（1）因?yàn)橄蛄?，，且，所以，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，又，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，又，，所以，所以，在中，所以.18.如圖，平面，，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，又，，，即且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，所以，所以，又平面，所以，因?yàn)?，，所以，由平面，平面，所以，，又，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得.19.某城市正在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動，為了解居民對活動的滿意程度，相關(guān)部門從甲，乙兩個社區(qū)各抽取了20人進(jìn)行打分（分?jǐn)?shù)為正整數(shù)，滿分100分）．甲社區(qū)20名居民的打分記錄如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．將乙社區(qū)20名居民打分分成五組，并畫出了其頻率分布直方圖（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求甲社區(qū)20名居民打分的第75百分位數(shù)；（2）估計乙社區(qū)20名居民打分平均分（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（3）現(xiàn)從甲，乙兩社區(qū)打分不低于90分的居民中，任選2人，求2人不在同一社區(qū)的概率．解：（1）因?yàn)?，所以這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大排列的第和第個數(shù)的平均數(shù)，即，即甲社區(qū)名居民打分的第百分位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，乙社區(qū)名居民打分的平均分為：.（3）甲社區(qū)打分不低于分的有人記作、，乙社區(qū)打分不低于分的有人，記作、、，從中任選人的可能結(jié)果有、、、、、、、、、共個基本事件，其中滿足人不在同一社區(qū)的有、、、、、共個基本事件，所以人不在同一社區(qū)的概率.20.已知向量，，設(shè)．（1）若，求的值；（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，由，得，即，故.（2）由題意得，因?yàn)椋?，所以，故，故函?shù)在上有零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.甲，乙兩人進(jìn)行游戲比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．（1）求第三局結(jié)束時甲獲勝的概率；（2）求乙最終以分獲勝的概率．解：（1）設(shè)事件為“第三局結(jié)束甲獲勝”，由題意知，甲每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為，若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝），故.（2）由題知，每局比賽中，乙獲勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，設(shè)事件為“乙最終以分獲勝”，若第二局結(jié)束乙獲勝，則乙兩局連勝，此時的概率，若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝），此時的概率，若第四局結(jié)束乙以分獲勝，則乙第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情況：（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負(fù)，勝），（勝，負(fù)，平，勝），（平，勝，負(fù)，勝），（負(fù)，勝，平，勝），（平，負(fù)，勝，勝），（負(fù)，平，勝，勝），此時的概率，故.22.如圖1，在邊長為4的菱形中，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，得到如圖2所示的三棱錐．（1）證明：；（2）為線段上一個動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），設(shè)二面角的大小為，三棱錐與三棱錐的體積之和為，求的最大值．解：（1）在菱形中連接交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，，在三棱錐中，，，，平面，所以平面，平面，所以.（2）在菱形中，連接交于點(diǎn)，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以且，所以，在三棱錐中，，，所以是二面角的平面角，所以，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，同理可證平面，所以、分別為三棱錐、的高，因?yàn)榱庑芜呴L為，所以，所以，在中，所以，因?yàn)?，所以，，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)時取得最大值.山東省泰安市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2.已知，，，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B.3.如圖，某圓柱側(cè)面展開圖的斜二測直觀圖為平行四邊形，已知，則該圓柱的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由斜二測畫法得，在原圖矩形ABCD中，，所以該圓柱的高為，底面半徑為，故該圓柱的體積為．故選：B.4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗B〖解析〗對于A選項(xiàng)，若，，則或異面，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，若，，則，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，，則或或相交，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，若，，則或，故D選項(xiàng)錯誤.故選：B.5.某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，參保險種比例定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．已知該保險公司對5個險種的參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如上統(tǒng)計圖例，則以下四個選項(xiàng)錯誤的是（）A.周歲人群參?？傎M(fèi)用最少B.30周歲以下的參保人群約占參保人群的C.54周歲以上的參保人數(shù)最少D.丁險種更受參保人青睞〖答案〗A〖解析〗對于選項(xiàng)A，由扇形統(tǒng)計圖及折線圖可知，，故不小于周歲人群參?？傎M(fèi)用最少，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，由扇形統(tǒng)計圖可知，周歲以下參保人群約占參保人群的，故B正確；對于選項(xiàng)C，由扇形統(tǒng)計圖可知，54周歲以上的參保人數(shù)約占，人數(shù)最小，故C正確；對于選項(xiàng)D，由柱狀圖可知，丁險種更受參保人青睞，故D正確.故選：A．6.拋擲-枚質(zhì)地均勻的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”，乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”，丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲乙互斥 B.乙丙互為對立C.甲乙相互獨(dú)立 D.甲丙相互獨(dú)立〖答案〗D〖解析〗由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的所有可能情況為36種，甲表示事件“第一次骰子正面向上的數(shù)字是2”包含的基本事件有：，則；乙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是5”包含的基本事件有：，則；丙表示事件“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是7”包含的基本事件有：，則；對于A，甲乙有可能同時發(fā)生不是互斥事件，A錯誤；對于B，除了乙丙以外還有其他事件發(fā)生不是對立事件，B錯誤；對于C，甲乙同時發(fā)生的概率為，C錯誤；對于D，甲丙同時發(fā)生的概率為，D正確.故選：D.7.已知，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，與向量同向的單位向量為，因，所以，得，所以向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D.8.已知正四面體的體積為，為棱的中點(diǎn)，球?yàn)樵撜拿骟w的外接球，則過點(diǎn)的平面被球所截得的截面面積的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，球?yàn)檎拿骟w的外接球，即為正方體的外接球，正四面體體積為，設(shè)正四面體的棱長為，則正方體的棱長為，所以，解得，設(shè)正四面體的外接球的半徑為，則，基底，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，過點(diǎn)作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心的距離最大值時，截面圓的面積達(dá)最小值，此時球心到截面距離等于正方體棱長的一半，即，可得截面圓的半徑為：，所以截面圓的面積最小值為：.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部是 B.C.復(fù)平面內(nèi)和分別對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為1 D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，由，得，所以的虛部為，所以A錯誤；對于B，因?yàn)?，，所以，所以B正確；對于C，因?yàn)槠矫鎯?nèi)和分別對應(yīng)的點(diǎn)分別為和，所以這兩個點(diǎn)間的距離為，所以C錯誤；對于D，因?yàn)?，所以D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的最大值為3，且的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D.函數(shù)在上單調(diào)遞減〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，又的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，則函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；，故B正確；，所以關(guān)于對稱，故C正確；當(dāng)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：BCD.11.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則下列說法正確的是（）A.若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B.若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則C.若，則與的面積相等D.若點(diǎn)在邊中線上，且，則點(diǎn)是的重心〖答案〗BC〖解析〗對于A：當(dāng)，則，即，即，所以，故A錯誤；對于B：若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，又，且、不共線，所以，故B正確；對于C：若，則，所以，如圖延長到點(diǎn)使得，延長到點(diǎn)使得，則，，所以，所以、、三點(diǎn)共線，又為三角形的中位線，所以、到的距離相等，所以，故C正確；對于D：取的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在邊的中線上，設(shè)，所以，又，所以，又，所以，即，此時為的中點(diǎn)，則點(diǎn)不是的重心，故D錯誤.故選：BC.12.如圖，在直三棱柱中，已知，為的中點(diǎn)，過的截面與棱，分別交于點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.線段長度的取值范圍是C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，四棱錐的體積為2D.存在點(diǎn)，使得〖答案〗AC〖解析〗在直三棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，有，延長交延長線于，連接，如圖1，令，于是，即，由，得，即，對于A，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為等腰直角三角形，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，又直三棱柱中，平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又四邊形為矩形，在上，所以，所以，故A正確；對于B，顯然在上單調(diào)遞增，所以，故B錯誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時，如圖，，，，四棱錐即的體積：，故C正確；對于D：取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，又A可知即在平面內(nèi)的射影，要使，只要即可，若，設(shè)，則，又，所以，所以，得，則，所以不存在點(diǎn)，使得，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.2022年2月20日晚，備受矚目的第24屆冬季奧運(yùn)會在北京圓滿落幕．這是一場疫情肆虐下的體育盛會，是一場團(tuán)結(jié)、友誼、奮進(jìn)、拼搏的盛會，是一場充分體現(xiàn)中華民族文化自信的盛會．籌備期間，某大學(xué)青年志愿者協(xié)會接到組委會志愿者服務(wù)邀請，計劃從大一至大三青年志愿者中選出24名志愿者參與冬奧會的志愿服務(wù)工作．已知大一至大三的青年志愿者人數(shù)分別為50，40，30，則按分層抽樣的方法，在大一青年志愿者中應(yīng)選派_________人．〖答案〗〖解析〗由題意，在大一青年志愿者中應(yīng)選派人.故〖答案〗為：.14.已知是第三象限角，且，則的值是___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，所以，則，所以.故〖答案〗為：.15.如圖，為了測量河對岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)和，測得，并在處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高_(dá)_______m．〖答案〗〖解析〗在中，，，則，由正弦定理得，所以，所以，得，在中，，，所以，所以塔高，故〖答案〗為：.16.在銳角中，已知，，則的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理，即，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，則，令，則，，，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以，即，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，向量，，且．（1）求；（2）若為中點(diǎn)，，的面積為，求的長．解：（1）因?yàn)橄蛄?，，且，所以，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，又，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，又，，所以，所以，在中，所以.18.如圖，平面，，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．解：（1）取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，又，，，即且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，所以，所以，又平面，所以，因?yàn)?，，所以，由平面，平面，所以，，又，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得.19.某城市正在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動，為了解居民對活動的滿意程度，相關(guān)部門從甲，乙兩個社區(qū)各抽取了20人進(jìn)行打分（分?jǐn)?shù)為正整數(shù)，滿分100分）．甲社區(qū)20名居民的打分記錄如下：52，56，59，63，64，70，71，73，75，75，80，80，81，82，85，86，88，89，93，95．將乙社區(qū)20名居民打分分成五組，并畫出了其頻率分布直方圖（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求甲社區(qū)20名居民打分的第75百分位數(shù)；（2）估計乙社區(qū)20名居民打分平均分（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；（3）現(xiàn)從甲，乙兩社區(qū)打分不低于90分的居民中，任選2人，求2人不在同一社區(qū)的概率．解：（1）因?yàn)?，所以這個數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大排列的第和第個數(shù)的平均數(shù)，即，即甲社區(qū)名居民打分的第百分位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，乙社區(qū)名居民打分的平均分為：.（3）甲社區(qū)打分不低于分的有人記作、，乙社區(qū)打分不低于分的有人，記作、、，從中任選人的可能結(jié)果有、、、、、、、、、共個基本事件