2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市六校聯(lián)考高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河南省南陽(yáng)市六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為-1，故選：B2.已知數(shù)列的首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，若，則的值可以是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025〖答案〗C〖解析〗由已知可得：，故數(shù)列的周期為3，因?yàn)?，所以可以?024．故選：C3.下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選：D4.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的樣本數(shù)據(jù)如下：－2－4－6－817.4138.25其回歸直線方程為，則回歸直線經(jīng)過(guò)（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗A〖解析〗由表中的數(shù)據(jù)知正相關(guān)．所以，又，，即點(diǎn)在回歸直線上，且在第二象限，所以回歸直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故選：A5.在數(shù)列中，若，則（）A.1012 B.1013 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以是常?shù)列，所以，又，所以．故選：B6.已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以．由題意可得，解得．故選：C7.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗點(diǎn)到直線的距離為，或，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，從而，首先這意味著方程無(wú)解，現(xiàn)在我們來(lái)研究方程的根的情況，一方面注意到，且在上單調(diào)遞增，從而方程在上有唯一解，另一方面有，令，可知，且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，并注意到在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，從而由零點(diǎn)存在定理可知，在上，存在唯一的零點(diǎn)，也就是說(shuō)方程在上有唯一解且，綜上所述或，其中，所以在大前提“點(diǎn)到直線的距離為”成立的情況下有，“”是“”的充分不必要條件.故選：A．8.已知，在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與之間插人個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.150 B.151 C.170 D.171〖答案〗C〖解析〗由題意知之間插入1個(gè)之間插人2個(gè)之間插人4個(gè)之間插入8個(gè)1，之間插入16個(gè)之間插入32個(gè)之間插入64個(gè)1，由于，故數(shù)列的前100項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和93個(gè)1，故．故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論中正確的是（）A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必過(guò)點(diǎn)B.樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)程度越弱C.若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)D.若樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，回歸直線必過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近0，線性相關(guān)程度越弱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)，故C正確；對(duì)于D，樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，說(shuō)明是負(fù)相關(guān)且為線性函數(shù)，所以這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，故D正確．故選：10.已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若和都為遞增數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A中，由，可得，所以，又由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以，又因?yàn)?，可得，所以，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得公差，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得，所以對(duì)任意的，但的正負(fù)不確定，所以D錯(cuò)誤．故選：BC.11.已知直線與曲線和都相切，切點(diǎn)分別為，則（）A. B.C.滿足條件的直線有2條 D.滿足條件的直線只有1條〖答案〗AC〖解析〗由題可知直線與曲線相切于點(diǎn)，又，所以直線的斜率，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，直線與曲線相切于點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線方程為，即．因?yàn)橹本€與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，則且，則，即，可得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；把代入，得，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：的值有兩個(gè)，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______．〖答案〗32〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，又因?yàn)椋?，解得，所以．故〖答案〗為?2.13.已知變量和之間關(guān)系可以用模型來(lái)擬合．設(shè)，若根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算可得，且與的線性回歸方程為，則_______．（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗0.3〖解析〗由題意知，解得，所以，由，得，所以，則．故〖答案〗為：0.314.ChatGPT爆火以來(lái)，各種人工智能平臺(tái)如雨后春筍般層出不窮．某人工智能服務(wù)商提供了兩種會(huì)員服務(wù)套餐，購(gòu)買(mǎi)會(huì)員服務(wù)的既有個(gè)人用戶也有公司用戶．后臺(tái)隨機(jī)調(diào)取名會(huì)員的基本信息，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)B套餐的用戶數(shù)占總用戶數(shù)的，購(gòu)買(mǎi)B套餐的用戶中公司用戶數(shù)是個(gè)人用戶數(shù)的倍，購(gòu)買(mǎi)套餐的用戶中公司用戶數(shù)是個(gè)人用戶數(shù)的一半．根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)的套餐類型與用戶類型有關(guān)系，則的最小值為_(kāi)______．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828〖答案〗170〖解析〗由題意可得用戶類型與購(gòu)買(mǎi)的套餐類型列聯(lián)表如下：總計(jì)個(gè)人用戶公司用戶總計(jì)，解得，又因?yàn)楸仨毷?0的倍數(shù)，所以的最小值為170．故〖答案〗為：170四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)1，2，4，求；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)和的值．解：（1）由題意知，所以．（2），題意知，即，解得16.某運(yùn)動(dòng)服飾公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：十萬(wàn)元）與年銷售量（單位：萬(wàn)件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表：123453540505570（1）求和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷和的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)程度很強(qiáng)；若則線性相關(guān)程度一般；若則線性相關(guān)程度很弱）（2）求年銷售量關(guān)于年投資額的回歸直線方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)年投資額為60萬(wàn)元時(shí)的年銷售量．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸直線方程中，．解：（1）由題可知，，所以，因?yàn)?，所以變量和的線性相關(guān)程度很強(qiáng)．（2），．所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，所以研發(fā)的年投資額為60萬(wàn)元時(shí)，預(yù)測(cè)產(chǎn)品的年銷售星為75.5萬(wàn)件．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，所以，又因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，又因?yàn)檫m合上式，所以．所以，所以為等差數(shù)列．（2）因?yàn)椋桑?）知，得，所以．所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以．所以．18.“村BA”是由貴州省臺(tái)盤(pán)村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展而來(lái)的賽事，比賽由村民組織，參賽者以村民為主，極具鄉(xiāng)村氣息．某學(xué)校為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)該賽事的了解情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別隨機(jī)抽取男生和女生各80名作為樣本，設(shè)事件“了解村BA”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)．（1）根據(jù)已知條件，作出列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“村”的了解情況與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從該校不了解“村BA”的學(xué)生中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）因?yàn)?，所以?duì)“村BA”了解的女生人數(shù)為，了解“村BA”的學(xué)生人數(shù)為，結(jié)合男生和女生各80名，作出列聯(lián)表為：了解不了解總計(jì)男生305080女生57580總計(jì)35125160，因此，有的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)“村BA”的了解情況與性別有關(guān)．（2）由（1）知，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10名學(xué)生，其中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為．隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4．故隨機(jī)變量的分布列如下：01234則．19.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．（1）令，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）令，則①，令，則②，②－①，得，又因?yàn)?，所以可得，代入①式，得，所以．?），其中，，所以．由，可得恒成立．設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以，故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．河南省南陽(yáng)市六校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為-1，故選：B2.已知數(shù)列的首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，若，則的值可以是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025〖答案〗C〖解析〗由已知可得：，故數(shù)列的周期為3，因?yàn)?，所以可以?024．故選：C3.下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤．故選：D4.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的樣本數(shù)據(jù)如下：－2－4－6－817.4138.25其回歸直線方程為，則回歸直線經(jīng)過(guò)（）A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限〖答案〗A〖解析〗由表中的數(shù)據(jù)知正相關(guān)．所以，又，，即點(diǎn)在回歸直線上，且在第二象限，所以回歸直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，故選：A5.在數(shù)列中，若，則（）A.1012 B.1013 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以是常?shù)列，所以，又，所以．故選：B6.已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B.9 C.10 D.11〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又因?yàn)椋?，所以，即，所以．由題意可得，解得．故選：C7.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗點(diǎn)到直線的距離為，或，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，從而，首先這意味著方程無(wú)解，現(xiàn)在我們來(lái)研究方程的根的情況，一方面注意到，且在上單調(diào)遞增，從而方程在上有唯一解，另一方面有，令，可知，且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，并注意到在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，從而由零點(diǎn)存在定理可知，在上，存在唯一的零點(diǎn)，也就是說(shuō)方程在上有唯一解且，綜上所述或，其中，所以在大前提“點(diǎn)到直線的距離為”成立的情況下有，“”是“”的充分不必要條件.故選：A．8.已知，在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與之間插人個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.150 B.151 C.170 D.171〖答案〗C〖解析〗由題意知之間插入1個(gè)之間插人2個(gè)之間插人4個(gè)之間插入8個(gè)1，之間插入16個(gè)之間插入32個(gè)之間插入64個(gè)1，由于，故數(shù)列的前100項(xiàng)含有的前7項(xiàng)和93個(gè)1，故．故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論中正確的是（）A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必過(guò)點(diǎn)B.樣本相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)程度越弱C.若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)D.若樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，回歸直線必過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近0，線性相關(guān)程度越弱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若變量與之間的相關(guān)系數(shù)，則與正相關(guān)，故C正確；對(duì)于D，樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，說(shuō)明是負(fù)相關(guān)且為線性函數(shù)，所以這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為－1，故D正確．故選：10.已知是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若和都為遞增數(shù)列，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A中，由，可得，所以，又由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以B正確；對(duì)于C中，由，所以，又因?yàn)?，可得，所以，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得公差，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，可得，所以對(duì)任意的，但的正負(fù)不確定，所以D錯(cuò)誤．故選：BC.11.已知直線與曲線和都相切，切點(diǎn)分別為，則（）A. B.C.滿足條件的直線有2條 D.滿足條件的直線只有1條〖答案〗AC〖解析〗由題可知直線與曲線相切于點(diǎn)，又，所以直線的斜率，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，直線與曲線相切于點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線方程為，即．因?yàn)橹本€與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，則且，則，即，可得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；把代入，得，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：的值有兩個(gè)，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則_______．〖答案〗32〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，又因?yàn)?，得，解得，所以．故〖答案〗為?2.13.已知變量和之間關(guān)系可以用模型來(lái)擬合．設(shè)，若根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算可得，且與的線性回歸方程為，則_______．（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗0.3〖解析〗由題意知，解得，所以，由，得，所以，則．故〖答案〗為：0.314.ChatGPT爆火以來(lái)，各種人工智能平臺(tái)如雨后春筍般層出不窮．某人工智能服務(wù)商提供了兩種會(huì)員服務(wù)套餐，購(gòu)買(mǎi)會(huì)員服務(wù)的既有個(gè)人用戶也有公司用戶．后臺(tái)隨機(jī)調(diào)取名會(huì)員的基本信息，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)B套餐的用戶數(shù)占總用戶數(shù)的，購(gòu)買(mǎi)B套餐的用戶中公司用戶數(shù)是個(gè)人用戶數(shù)的倍，購(gòu)買(mǎi)套餐的用戶中公司用戶數(shù)是個(gè)人用戶數(shù)的一半．根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)的套餐類型與用戶類型有關(guān)系，則的最小值為_(kāi)______．附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828〖答案〗170〖解析〗由題意可得用戶類型與購(gòu)買(mǎi)的套餐類型列聯(lián)表如下：總計(jì)個(gè)人用戶公司用戶總計(jì)，解得，又因?yàn)楸仨毷?0的倍數(shù)，所以的最小值為170．故〖答案〗為：170四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)1，2，4，求；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)和的值．解：（1）由題意知，所以．（2），題意知，即，解得16.某運(yùn)動(dòng)服飾公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：十萬(wàn)元）與年銷售量（單位：萬(wàn)件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表：123453540505570（1）求和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷和的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)程度很強(qiáng)；若則線性相關(guān)程度一般；若則線性相關(guān)程度很弱）（2）求年銷售量關(guān)于年投資額的回歸直線方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)年投資額為60萬(wàn)元時(shí)的年銷售量．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸直線方程中，．解：（1）由題可知，，所以，因?yàn)?，所以變量和的線性相關(guān)程度很強(qiáng)．（2），．所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，所以研發(fā)的年投資額為60萬(wàn)元時(shí)，預(yù)測(cè)產(chǎn)品的年銷售星為75.5萬(wàn)件．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列．（1）證明：為