2023-2024學(xué)年江蘇省淮安市協(xié)作體聯(lián)盟高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省淮安市協(xié)作體聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.1.已知向量則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D2.A同學(xué)準(zhǔn)備五一假期從淮安到南京旅游，目前有兩種方案可供選擇，淮安東站到南京南站有8列高鐵可供選擇，淮安汽車站到南京汽車站有6輛大巴可供選擇，請(qǐng)問(wèn)該生有多少種方法去南京（）A.14種 B.48種 C.196種 D.2304種〖答案〗A〖解析〗根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，該生有種方法.故選：A3.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角等于（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，所以，所以.故選：C4.可以表示為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故選：D5.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.12 B.16 C.20 D.24〖答案〗B〖解析〗由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則展開(kāi)式中項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.6.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，其中一個(gè)場(chǎng)館去1人，一個(gè)場(chǎng)館去2人，一個(gè)場(chǎng)館去3人，則不同的安排方法共有（）A.360種 B.120種 C.60種 D.30種〖答案〗A〖解析〗依題意從6同學(xué)中選出1人安排到一個(gè)場(chǎng)館有，再?gòu)氖Ｓ?人安排2人到一個(gè)場(chǎng)館是，最后剩余3人安排到一個(gè)館，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方法共有種．故選：A．7.平行六面體中，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榱骟w是平行六面體，所以，所以，所以.故選：B8.已知四面體，其中，，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將四面體放在如圖所示的長(zhǎng)方體中，因?yàn)?，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，，，則，可得，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以的中點(diǎn)，所以，，所以，，，所以．設(shè)直線，所成的角為，,，所以,．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）A.各項(xiàng)系數(shù)和為2187B.第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)相等C.二項(xiàng)式系數(shù)最大為35D.的項(xiàng)的系數(shù)為21〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A中，令，可得，即展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為，所以A正確；對(duì)于B中，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可得展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為，第5項(xiàng)的系數(shù)為，所以展開(kāi)式第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的系數(shù)不相等，所以B不正確；對(duì)于C中，由展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得展開(kāi)式的第4和5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，所以C正確；對(duì)于D中，由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可得的項(xiàng)的系數(shù)為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事B.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是35C.能被100整除D.已知，則，〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中，由分類計(jì)數(shù)原理的概念知，在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事，所以A正確；對(duì)于B中，從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，可得分為兩類：①當(dāng)1男2女時(shí)，有種；②當(dāng)2男1女時(shí)，有種，由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的選法，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以能被整除，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以D正確.故選：ACD.11.在正方體中，點(diǎn)分別是面和面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A.與共面B.與夾角為C.平面與平面夾角的正弦值為D.若正方體棱長(zhǎng)為2，則到直線的距離〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由于，而與顯然是共面向量，所以與共面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角就是，而在三角形中，由正方體和各面對(duì)角線長(zhǎng)相等，可知它是等邊三角形，所以，即與夾角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖建系：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，可知：，，，則設(shè)平面的法向量為則，令，則，即而平面的法向量可以取軸方向上的單位向量則，即，所以平面與平面夾角的正弦值為，故C正確；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，由點(diǎn)為中心，可知為的中點(diǎn)，由正方體可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為，所以，，則由勾股定理得：，解等腰三角形得：底邊邊上的高為，所以三角形面積為，即點(diǎn)到直線的距離等于，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，則向量與的夾角為_(kāi)____〖答案〗〖解析〗設(shè)向量與的夾角為，則，故.故〖答案〗為：13.已知隨機(jī)事件A.B滿足，則_____〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，故〖答案〗為?4.某校甲、乙等6位同學(xué)五一計(jì)劃到漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館、周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園研學(xué)，每個(gè)地方至少去1人．（用數(shù)字表示）（1）有________種不同的安排方法；（2）由于特殊情況五一節(jié)時(shí)甲取消研學(xué)且乙不去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有________種不同的安排方法．〖答案〗①540②100〖解析〗（1）6位同學(xué)分為3組可以分三類.第一類：1人，1人，4人分組，有種；第二類：1人，2人，3人分組，有種；第三類：2人，2人，2人分組，有種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共種.再將3組按照全排列的方式分到漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館、周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共種.（2）由題意可知，還有乙與4位同學(xué)，其中乙不去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.按照去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館的人數(shù)可以分為3類.第一類：恰有1人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.第一步，除去乙同學(xué)外的4人選取1人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有種；第二步，含乙在內(nèi)的4位同學(xué)分兩組，有種；第三步，兩組同學(xué)分到周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第一類共種.第二類：恰有2人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.第一步，除去乙同學(xué)外的4人選取2人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有種；第二步，含乙在內(nèi)的3位同學(xué)分兩組，有種；第三步，兩組同學(xué)分到周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第二類共種.第三類：恰有3人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.第一步，除去乙同學(xué)外的4人選取3人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有種；第二步，含乙在內(nèi)的2位同學(xué)分到周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第三類共種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共種.故〖答案〗為：540；100.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.求值（用數(shù)字表示）（1）（2）（3）解：（1）；（2）；（3）依題意可得，又，解得或，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).16.已知點(diǎn)（1）表示出，并求（2）證明：與四點(diǎn)共面解：（1）,所以，故，（2）設(shè)，解的，，則共面，又因?yàn)闉楣颤c(diǎn)，所以這四個(gè)點(diǎn)共面17.4月21號(hào)，激情澎湃的2024淮安西游樂(lè)園淮安馬拉松暨大運(yùn)河馬拉松系列賽（淮安站）盛大開(kāi)跑，淮安市協(xié)作體6所聯(lián)盟學(xué)校每校安排一男一女兩位同學(xué)共12人參加此次盛事，主辦方安排這12位同學(xué)中的四位與冠亞季軍合影.根據(jù)下列條件解答問(wèn)題：（用數(shù)字表示）（1）.4人均來(lái)之不同學(xué)校有多少種安排；（2）.4人中有男有女有多少種安排；（3）.若4人已經(jīng)選出請(qǐng)分別解答下列兩個(gè)問(wèn)題①4名同學(xué)不相鄰；②冠軍在中間，亞軍季軍不在冠軍同側(cè).解：（1）根據(jù)題意，在6個(gè)學(xué)校中選出4個(gè)，再在每個(gè)學(xué)校的2人中再選出1人即可，有種安排方法；（2）根據(jù)題意，在12人中選出4人，有種排法，其中只有男生的選法有種，只有女生的選法有種,則4人中有男有女有種，（3）根據(jù)題意，先排好冠亞季軍，再將4名學(xué)生安排在空位中，則有種安排方法；②根據(jù)題意，6人任意排列，排除其中亞軍季軍在冠軍同側(cè)情況即可，有種排法.18.已知三棱錐中和所在平面互相垂直，，求（1）與所成角的余弦值；（2）與平面所成角的正弦值；（3）直線上是否存在點(diǎn)使得二面角為，若存在求出BP的長(zhǎng)，不存在說(shuō)明理由.解：（1）在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直于BC的直線BE，因?yàn)槠矫鍭BC與平面BDC垂直，且平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又，所以BE，BD，BC兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系則，，所以異面直線與所成角的余弦值為;（2）平面BCD的法向量，所以，則與平面所成角的正弦值為；（3）假設(shè)存，設(shè)，設(shè)平面CDP的法向量，，取，則，，則，所以或，則點(diǎn)P存在，所以或.19.有編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子，1號(hào)盒子有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，其余盒子中都有兩個(gè)白球一個(gè)黑球.（1）從1號(hào)盒子中取出兩個(gè)球，求顏色不同的概率；（2）從1號(hào)盒子中取出一個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子中取出一個(gè)球放入3號(hào)盒子，依此類推最后從4號(hào)盒子中取出一個(gè)球放入5號(hào)盒子結(jié)束，記“n號(hào)盒子取出的球是白球”為事件①求②求解：（1）；（2）①，，，；②，.江蘇省淮安市協(xié)作體聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.1.已知向量則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D2.A同學(xué)準(zhǔn)備五一假期從淮安到南京旅游，目前有兩種方案可供選擇，淮安東站到南京南站有8列高鐵可供選擇，淮安汽車站到南京汽車站有6輛大巴可供選擇，請(qǐng)問(wèn)該生有多少種方法去南京（）A.14種 B.48種 C.196種 D.2304種〖答案〗A〖解析〗根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，該生有種方法.故選：A3.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于，則直線l與平面α所成的角等于（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，所以，所以.故選：C4.可以表示為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故選：D5.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.12 B.16 C.20 D.24〖答案〗B〖解析〗由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則展開(kāi)式中項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.6.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，其中一個(gè)場(chǎng)館去1人，一個(gè)場(chǎng)館去2人，一個(gè)場(chǎng)館去3人，則不同的安排方法共有（）A.360種 B.120種 C.60種 D.30種〖答案〗A〖解析〗依題意從6同學(xué)中選出1人安排到一個(gè)場(chǎng)館有，再?gòu)氖Ｓ?人安排2人到一個(gè)場(chǎng)館是，最后剩余3人安排到一個(gè)館，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方法共有種．故選：A．7.平行六面體中，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榱骟w是平行六面體，所以，所以，所以.故選：B8.已知四面體，其中，，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將四面體放在如圖所示的長(zhǎng)方體中，因?yàn)椋?，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，，，則，可得，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以的中點(diǎn)，所以，，所以，，，所以．設(shè)直線，所成的角為，,，所以,．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（）A.各項(xiàng)系數(shù)和為2187B.第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)相等C.二項(xiàng)式系數(shù)最大為35D.的項(xiàng)的系數(shù)為21〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A中，令，可得，即展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為，所以A正確；對(duì)于B中，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可得展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為，第5項(xiàng)的系數(shù)為，所以展開(kāi)式第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的系數(shù)不相等，所以B不正確；對(duì)于C中，由展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得展開(kāi)式的第4和5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，所以C正確；對(duì)于D中，由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可得的項(xiàng)的系數(shù)為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事B.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，則男女生都有的選法種數(shù)是35C.能被100整除D.已知，則，〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中，由分類計(jì)數(shù)原理的概念知，在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事，所以A正確；對(duì)于B中，從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，可得分為兩類：①當(dāng)1男2女時(shí)，有種；②當(dāng)2男1女時(shí)，有種，由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的選法，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以能被整除，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以D正確.故選：ACD.11.在正方體中，點(diǎn)分別是面和面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A.與共面B.與夾角為C.平面與平面夾角的正弦值為D.若正方體棱長(zhǎng)為2，則到直線的距離〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由于，而與顯然是共面向量，所以與共面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋援惷嬷本€與所成的角就是，而在三角形中，由正方體和各面對(duì)角線長(zhǎng)相等，可知它是等邊三角形，所以，即與夾角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖建系：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，可知：，，，則設(shè)平面的法向量為則，令，則，即而平面的法向量可以取軸方向上的單位向量則，即，所以平面與平面夾角的正弦值為，故C正確；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，由點(diǎn)為中心，可知為的中點(diǎn)，由正方體可知平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為，所以，，則由勾股定理得：，解等腰三角形得：底邊邊上的高為，所以三角形面積為，即點(diǎn)到直線的距離等于，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，則向量與的夾角為_(kāi)____〖答案〗〖解析〗設(shè)向量與的夾角為，則，故.故〖答案〗為：13.已知隨機(jī)事件A.B滿足，則_____〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，故〖答案〗為?4.某校甲、乙等6位同學(xué)五一計(jì)劃到漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館、周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園研學(xué)，每個(gè)地方至少去1人．（用數(shù)字表示）（1）有________種不同的安排方法；（2）由于特殊情況五一節(jié)時(shí)甲取消研學(xué)且乙不去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有________種不同的安排方法．〖答案〗①540②100〖解析〗（1）6位同學(xué)分為3組可以分三類.第一類：1人，1人，4人分組，有種；第二類：1人，2人，3人分組，有種；第三類：2人，2人，2人分組，有種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共種.再將3組按照全排列的方式分到漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館、周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共種.（2）由題意可知，還有乙與4位同學(xué)，其中乙不去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.按照去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館的人數(shù)可以分為3類.第一類：恰有1人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.第一步，除去乙同學(xué)外的4人選取1人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有種；第二步，含乙在內(nèi)的4位同學(xué)分兩組，有種；第三步，兩組同學(xué)分到周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第一類共種.第二類：恰有2人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.第一步，除去乙同學(xué)外的4人選取2人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有種；第二步，含乙在內(nèi)的3位同學(xué)分兩組，有種；第三步，兩組同學(xué)分到周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第二類共種.第三類：恰有3人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館.第一步，除去乙同學(xué)外的4人選取3人去漣水戰(zhàn)役烈士紀(jì)念館，有種；第二步，含乙在內(nèi)的2位同學(xué)分到周恩來(lái)紀(jì)念館、劉老莊八十二烈士陵園，有種.第三類共種.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共種.故〖答案〗為：540；100.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.求值（用數(shù)字表示）（1）（2）（3）解：（1）；（2）；（3）依題意可得，又，解得或，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).16.已知點(diǎn)（1）表示出，并求（2）證明：與四點(diǎn)共面解：（1）,所以，故，（2）設(shè)，解的，，則共面，又因?yàn)闉楣颤c(diǎn)，所以這四個(gè)點(diǎn)共面17.4月21號(hào)，激情澎湃的2024淮安西游樂(lè)園淮安馬拉松暨大運(yùn)河馬拉松系列賽（淮安站）盛大開(kāi)跑，淮安市協(xié)作體6所聯(lián)盟學(xué)校每校安排一男一女兩位同學(xué)