2023-2024學年江西省景德鎮(zhèn)市高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，當時，，不符合題意，舍去；所以，即，所以復數(shù)的虛部為4.故選：C.2.已知向量，，則的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.3.已知是第三象限角，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是第三象限角，且，所以，所以.故選：B.4.月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.572m2 B.1448m2 C.m2 D.2028m2〖答案〗D〖解析〗設的外接圓的半徑為，則，得，因為月牙內(nèi)弧所對的圓心角為，所以內(nèi)弧的弧長，所以弓形的面積為，以為直徑的半圓的面積為，所以該月牙泉的面積為.故選：D.5.如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為四邊形為平行四邊形，對角線與交于點，且，所以，所以.故選：C.6.已知為鈍角，為銳角，且，，則的值為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為為鈍角，為銳角，且，，所以，，則，又為鈍角，為銳角，所以為銳角，所以.故選：A.7.棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，在復平面內(nèi)所對應的點為，在第二象限.故選：B.8.已知，，，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，所以，因為，所以，所以，又，所以，且，所以，且，因為，所以，又，所以，所以，又，所以，因為，所以，所以，所以.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)是的共軛復數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為所以，，故A錯誤，D正確；，故B正確；，故C錯誤.故選：BD.10.已知，則下列說法正確的有（）A. B.與可以作為一組基底向量C. D.在方向上的投影向量的坐標為〖答案〗BC〖解析〗對于A，，即與不垂直，故A錯誤；對于B，因不共線，故與可以作為一組基底向量，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，在方向上的投影向量為，故D錯誤.故選：BC.11.已知，均為銳角，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，若，由得，，即，又為銳角，所以，故A正確；對于B選項，若，則，由得，，所以，故B錯誤；對于D選項，由，得，令，則，兩邊平方得：，由判別式法可得，解得，即，又為銳角，所以的最小值為，當時，取最小值，故D正確；對于C選項，由D選項可知，，而，所以，故C正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知，，若與共線，則_________.〖答案〗2〖解析〗因為與共線，所以，即，所以，所以.故〖答案〗為：2.13.已知，，則____________.〖答案〗〖解析〗因為，則，顯然，可得，整理得，解得或，又因為，則，可得，所以.故〖答案〗為：.14.在中，，，，為邊上兩點，且，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗如圖所示，以的中點為原點，為軸，射線為非負軸建立平面直角坐標系，則，，，設，不妨假設D在E的左側，則由知，，據(jù)此有：，，則，因為，所以，所以，所以，所以，令，則，當且僅當即時，等號成立，故的的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復數(shù)，為虛數(shù)單位.（1）求；（2）若復數(shù)是關于的方程的一個根，求實數(shù)，的值.解：（1）因為，所以，所以.（2）復數(shù)的共軛復數(shù)，復數(shù)是關于的方程的一個根，所以也是方程的一個根，所以由韋達定理可得，.16.已知向量.（1）若，求實數(shù)的值以及在方向上的投影數(shù)量；（2）若對有恒成立，求實數(shù)取值范圍.解：（1）因，則，解得；則，于是，在方向上投影數(shù)量為.（2）依題意，在R上恒成立，因，故有，解得或，即實數(shù)取值范圍為：.17.函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間，對稱軸以及對稱中心；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.解：（1），因為函數(shù)的最小正周期為，所以，即，所以，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，令，解得，所以的對稱軸為，令，解得，所以的對稱中心為.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，再將函數(shù)的圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，則，因為，所以，所以，所以，即函數(shù)在區(qū)間上的值域為.18.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.①；②；③，在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若

.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）選擇①，，由正弦定理，，即，由余弦定理，，因，故.選擇②，，因，則得，，整理得，，因，，故得，因，故.選擇③，由可得，，由正弦定理，，因，，故得，，因，故.（2）由正弦定理，，可得，于是的周長為：，因，，則，故，即周長的取值范圍為.19.在中，已知.（1）求；（2）設，點為外接圓上的一個動點.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，且，求的周長.解：（1）因為，所以，又因為在中，，所以，又，所以.（2）如圖所示，以AB中點D為原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，則圓心在y軸上，不妨設，則，由正弦定理可得，外接圓半徑，由，得，解得，所以，所以外接圓方程為，（ⅰ）設，則，所以，又因為點在外接圓上，所以，即，所以，又，所以，所以.（?、。┮驗辄cC在外接圓上，所以設，則，所以，所以，又因為，所以，所以，即，經(jīng)檢驗符合題意，所以為等邊三角形，所以的周長為.江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學年高一下學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得，當時，，不符合題意，舍去；所以，即，所以復數(shù)的虛部為4.故選：C.2.已知向量，，則的坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.3.已知是第三象限角，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為是第三象限角，且，所以，所以.故選：B.4.月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.572m2 B.1448m2 C.m2 D.2028m2〖答案〗D〖解析〗設的外接圓的半徑為，則，得，因為月牙內(nèi)弧所對的圓心角為，所以內(nèi)弧的弧長，所以弓形的面積為，以為直徑的半圓的面積為，所以該月牙泉的面積為.故選：D.5.如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為四邊形為平行四邊形，對角線與交于點，且，所以，所以.故選：C.6.已知為鈍角，為銳角，且，，則的值為（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為為鈍角，為銳角，且，，所以，，則，又為鈍角，為銳角，所以為銳角，所以.故選：A.7.棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，在復平面內(nèi)所對應的點為，在第二象限.故選：B.8.已知，，，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，所以，因為，所以，所以，又，所以，且，所以，且，因為，所以，又，所以，所以，又，所以，因為，所以，所以，所以.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)是的共軛復數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為所以，，故A錯誤，D正確；，故B正確；，故C錯誤.故選：BD.10.已知，則下列說法正確的有（）A. B.與可以作為一組基底向量C. D.在方向上的投影向量的坐標為〖答案〗BC〖解析〗對于A，，即與不垂直，故A錯誤；對于B，因不共線，故與可以作為一組基底向量，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，在方向上的投影向量為，故D錯誤.故選：BC.11.已知，均為銳角，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，若，由得，，即，又為銳角，所以，故A正確；對于B選項，若，則，由得，，所以，故B錯誤；對于D選項，由，得，令，則，兩邊平方得：，由判別式法可得，解得，即，又為銳角，所以的最小值為，當時，取最小值，故D正確；對于C選項，由D選項可知，，而，所以，故C正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知，，若與共線，則_________.〖答案〗2〖解析〗因為與共線，所以，即，所以，所以.故〖答案〗為：2.13.已知，，則____________.〖答案〗〖解析〗因為，則，顯然，可得，整理得，解得或，又因為，則，可得，所以.故〖答案〗為：.14.在中，，，，為邊上兩點，且，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗如圖所示，以的中點為原點，為軸，射線為非負軸建立平面直角坐標系，則，，，設，不妨假設D在E的左側，則由知，，據(jù)此有：，，則，因為，所以，所以，所以，所以，令，則，當且僅當即時，等號成立，故的的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復數(shù)，為虛數(shù)單位.（1）求；（2）若復數(shù)是關于的方程的一個根，求實數(shù)，的值.解：（1）因為，所以，所以.（2）復數(shù)的共軛復數(shù)，復數(shù)是關于的方程的一個根，所以也是方程的一個根，所以由韋達定理可得，.16.已知向量.（1）若，求實數(shù)的值以及在方向上的投影數(shù)量；（2）若對有恒成立，求實數(shù)取值范圍.解：（1）因，則，解得；則，于是，在方向上投影數(shù)量為.（2）依題意，在R上恒成立，因，故有，解得或，即實數(shù)取值范圍為：.17.函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間，對稱軸以及對稱中心；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.解：（1），因為函數(shù)的最小正周期為，所以，即，所以，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，令，解得，所以的對稱軸為，令，解得，所以的對稱中心為.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，再將函數(shù)的圖象上的所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，則，因為，所以，所以，所以，即函數(shù)在區(qū)間上的值域為.18.請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.①；②；③，在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若

.（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍.解：（1）選擇①，，由正弦定理，，即，由余弦定理，，因，故.選擇②，，因，則得，，整理得，，因，，故得，因，故.選擇③，由可得，，由正弦定理，，因，，故得，，因，故.（2）由正弦定理，，可得，于是