高中數(shù)學(xué) 2.2 空間向量的運(yùn)算基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 北師大版選修2-1

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2空間向量的運(yùn)算基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)北師大版選修2-1一、選擇題1．(·湖北省襄陽(yáng)五中月考)在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(BA1,\s\up6(→))與向量eq\o(AC,\s\up6(→))所成的角為()A．60° B．150°C．90° D．120°[答案]D[解析]由條件知，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)a，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)a，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a2，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).∴向量eq\o(BA1,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))所成的角為120°，故選D.2．正方體ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\o(DD1,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))A．①② B．②③C．③④ D．①④[答案]A[解析]①(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；②(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；③(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).故選A.3．在正方體ABCD－A1B1C1D1①(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為60°.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)[答案]B[解析]根據(jù)數(shù)量積的定義知：①②正確，eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°，∴③不正確，故選D.二、填空題4．已知四邊形ABCD為矩形，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，G為△PCD的重心，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________，z＝________.[答案]eq\f(1,3)eq\f(2,3)eq\f(1,3)[解析]eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))]＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)，z＝eq\f(1,3).5．已知Rt△OAB中，∠AOB為直角，OA與OB的長(zhǎng)度都為2，CB垂直于三角形OAB確定的平面，且3|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))的模是________．[答案]eq\f(2,3)eq\r(2)[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))的模為2eq\r(2)，根據(jù)題中條件，可得|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即eq\o(BC,\s\up6(→))的模為eq\f(2,3)eq\r(2).三、解答題6．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是C1D1、D1D(1)求〈eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))〉的余弦值；(2)求證：eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→)).[解析](1)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,5)，(2)證明：eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED1,\s\up6(→))＋eq\o(D1F,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(BD1,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→)).一、選擇題1.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[答案]B[解析]eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.2．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定[答案]B[解析]eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2>0，∴cos∠CBD＝cos〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)>0，∴∠CBD為銳角，同理，∠BCD與∠BDC均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．3．已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A．eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D[解析]由條件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)AA′＋eq\f(1,6)(eq\o(A′D′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→)).4．已知，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，則AC′等于()A．85 B．eq\r(85)C．5eq\r(2) D．50[答案]B[解析]eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，∴|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA′,\s\up6(→))2))＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→))2＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AD,\s\up6(→))＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AA′,\s\up6(→))＋2\o(AD,\s\up6(→))·\o(AA′,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))2＋\o(AA′,\s\up6(→))2))＝eq\r(85).5．如圖，正四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，那么()A．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比較大小[答案]C[解析]∵eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2)＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|cos120°<0.∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).二、填空題6．已知空間四邊形ABCD，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.[答案]0[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝0.7．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，若E為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，則eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋xeq\o(A1B1,\s\up6(→))＋yeq\o(A1D1,\s\up6(→))中的x，y值應(yīng)為x＝________，y＝________.[答案]eq\f(1,2)eq\f(1,2)[解析]eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).三、解答題8．已知底面是平行四邊形的四棱柱ABCD－A′B′C′D′，M是B′C的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))；(2)eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))．[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))；(2)eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DD′,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD′,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DD′,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CC′,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\u