高中數(shù)學(xué) 2.2.2反證法同步測(cè)試 新人教A版選修2-2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2.2反證法同步測(cè)試新人教A版選修2-2一、選擇題1．(·微山一中高二期中)用反證法證明命題“如果a>b>0，那么a2>b2”A．a(chǎn)2＝b2 B．a(chǎn)2<b2C．a(chǎn)2≤b2 D．a(chǎn)2<b2，且a2＝b2[答案]C2．設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于()A．0 B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1[答案]B[解析]三個(gè)數(shù)a、b、c的和為1，其平均數(shù)為eq\f(1,3)，故三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于eq\f(1,3).假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，與已知矛盾．3．(·浙江余姚中學(xué)高二期中)用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)[答案]B[解析]“至少有一個(gè)”的對(duì)立面是“一個(gè)都沒有”．4．實(shí)數(shù)a、b、c不全為0等價(jià)于()A．a(chǎn)、b、c均不為0 B．a(chǎn)、b、c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)為0 D．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)不為0[答案]D[解析]“不全為0”的含義是至少有一個(gè)不為0，其否定應(yīng)為“全為0”．[點(diǎn)評(píng)]要與“a、b、c全不為0”加以區(qū)別，“a、b、c全不為0”是指a、b、c中沒有一個(gè)為0，其否定應(yīng)為“a、b、c中至少有一個(gè)為0”．5．(·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)設(shè)a、b、c∈(－∞，0)，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都不大于－2 B．都不小于－2C．至少有一個(gè)不大于－2 D．至少有一個(gè)不小于－2[答案]C[解析]假設(shè)都大于－2，則a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)>－6，但(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,c))＋(c＋eq\f(1,a))＝(a＋eq\f(1,a))＋(b＋eq\f(1,b))＋(c＋eq\f(1,c))≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．6．若m、n∈N*，則“a>b”是“am＋n＋bm＋n>anbm＋ambn”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]D[解析]am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am>bm,an>bn))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am<bm,an<bn))，不難看出a>b?/am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm，am＋n＋bm＋n>ambn＋bman?/a>b.二、填空題7．“x＝0且y＝0”的否定形式為________．[答案]x≠0或y≠0[解析]“p且q”的否定形式為“?p或?q”．8．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關(guān)系是________．[答案]異面[解析]假設(shè)AC與BD共面于平面α，則A，C，B，D都在平面α內(nèi)，∴AB?α，CD?α，這與AB，CD異面相矛盾，故AC與BD異面．9．在空間中有下列命題：①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)必共面；②空間四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，則這四點(diǎn)不共面；③垂直于同一直線的兩直線平行；④兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題是________________．[答案]①[解析]四點(diǎn)中若有三點(diǎn)共線，則這條直線與另外一點(diǎn)必在同一平面內(nèi)，故①真；四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線，這四點(diǎn)也可以共面，如正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，故②假；正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱所在直線中，一條與另兩條都垂直，故③假；空間四邊形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折起構(gòu)成空間四邊形，這時(shí)它的兩組對(duì)邊仍保持相等，故④假．三、解答題10．(·泰州二中高二期中)已知n≥0，試用分析法證明：eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)<eq\r(n＋1)－eq\r(n).[證明]要證上式成立，需證eq\r(n＋2)＋eq\r(n)<2eq\r(n＋1)，需證(eq\r(n＋2)＋eq\r(n))2<(2eq\r(n＋1))2，需證eq\r(n2＋2n)<n＋1，需證(n＋1)2>n2＋2n，需證n2＋2n＋1>n2＋2n，只需證1>0，因?yàn)?>0顯然成立，所以原命題成立．一、選擇題11．設(shè)a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR>0”是P、Q、R同時(shí)大于零的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，則必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因?yàn)楫?dāng)PQR>0時(shí)，若P、Q、R不同時(shí)大于零，則P、Q、R中必有兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，兩式相加得b<0，這與已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.12．若x、y>0且x＋y>2，則eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)的值滿足()A．eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2B．eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)都小于2C．eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)都大于2D．不確定[答案]A[解析]假設(shè)eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同時(shí)成立．因?yàn)閤>0，y>0，∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，兩式相加得1＋x＋1＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，這與x＋y>2相矛盾，因此eq\f(1＋y,x)和eq\f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2.13．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線[答案]C[解析]假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線．故應(yīng)選C.二、填空題14．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號(hào)排列為________．[答案]③①②[解析]由反證法證明的步驟知，先反設(shè)即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②.三、解答題15．求證：1、eq\r(3)、2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)．[證明]假設(shè)1、eq\r(3)、2是某一等差數(shù)列的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則1＝eq\r(3)－md,2＝eq\r(3)＋nd，其中m，n為兩個(gè)正整數(shù)，由上面兩式消去d，得n＋2m＝eq\r(3)(n＋m)．因?yàn)閚＋2m為有理數(shù)，而eq\r(3)(n＋m)為無理數(shù)，所以n＋2m≠eq\r(3)(n＋m)，矛盾，因此假設(shè)不成立，即1，eq\r(3)，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)．16.如圖所示，在△ABC中，AB>AC，AD為BC邊上的高，AM是BC邊上的中線，求證：點(diǎn)M不在線段CD上．[證明]假設(shè)點(diǎn)M在線段CD上，則BD<BM＝CM<CD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2<BM2＋AD2<CD2＋AD2＝AC2，即AB2<AC2，所以AB<AC.這與AB>AC矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．所以點(diǎn)M不在線段CD上．17．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R.(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．[解析](1)證明：∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(a)≥f(－b)．同理，a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．兩式相加即得：f(a)