高中數(shù)學(xué) 2-3 第二章 隨機(jī)變量及其分布綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-3

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-3第二章隨機(jī)變量及其分布綜合檢測(cè)新人教A版選修2-3時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1．(·霍邱二中一模)設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能取值1、2、3、…、n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值為()A．3 B．4C．9 D．10[答案]D[解析]∵P(ξ<4)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.2．已知隨機(jī)變量X滿足D(X)＝1，則D(2X＋3)＝()A．2 B．4C．6 D．8[答案]B[解析]D(2X＋3)＝4D(X)＝4.3．(·景德鎮(zhèn)市高二期末)已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列如圖，則隨機(jī)變量X的方差D(X)等于()X01Pm2A.eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]由m＋2m＝1得，m＝eq\f(1,3)，∴E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，D(X)＝(0－eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(2,3))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故選B.4．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線上的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，則該隨機(jī)變量的方差等于()A．10 B．100C．eq\f(2,π) D．eq\r(\f(2,π))[答案]C[解析]由正態(tài)分布密度曲線上的最高點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，∴D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).5．(·遼師大附中高二期中)若隨機(jī)變量η～B(n，0.6)，且E(η)＝3，則P(η＝1)的值是()A．2×0.44 B．3×0.44C．2×0.45 D．3×0.64[答案]B[解析]∵η～B(n,0.6)，∴E(η)＝0.6n＝3，∴n＝5，∴P(η＝1)＝Ceq\o\al(1,5)·0.6·(1－0.6)4＝3×0.44，故選B.6．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么概率是eq\f(3,10)的事件為()A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的[答案]C[解析]X＝k表示取出的螺絲釘恰有k只為好的，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,10))(k＝1、2、3、4)．∴P(X＝1)＝eq\f(1,30)，P(X＝2)＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)，P(X＝4)＝eq\f(1,6)，∴選C.7．對(duì)標(biāo)有不同編號(hào)的16件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的條件下，第二次也摸到次品的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,95)C．eq\f(3,19) D．eq\f(1,95)[答案]C[解析]“第一次摸出次品”記為事件A，“第二次摸出次品”記為事件B.則P(A)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,20))＝eq\f(3,95)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,19).8．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，則E(2ξ＋1)與D(2ξ＋1)的值分別為()A．13,4 B．13,8C．7,8 D．7,16[答案]D[解析]由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.9．有編號(hào)分別為1、2、3、4、5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中取出4個(gè)，則取出的編號(hào)互不相同的概率為()A．eq\f(5,21) B．eq\f(2,7)C．eq\f(1,3) D．eq\f(8,21)[答案]D[解析]從10個(gè)球中任取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,10)＝210種取法，取出的編號(hào)互不相同的取法有Ceq\o\al(4,5)·24＝80種，∴所求概率P＝eq\f(80,210)＝eq\f(8,21).10．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從分布P(ξ＝k)＝eq\f(k,15)，(k＝1、2、3、4、5)，E(3ξ－1)＝m，E(ξ2)＝n，則m－n＝()A．－eq\f(31,9) B．7C．eq\f(8,3) D．－5[答案]D[解析]E(ξ)＝1×eq\f(1,15)＋2×eq\f(2,15)＋3×eq\f(3,15)＋4×eq\f(4,15)＋5×eq\f(5,15)＝eq\f(11,3)，∴E(3ξ－1)＝3E(ξ)－1＝10，又E(ξ2)＝12×eq\f(1,15)＋22×eq\f(2,15)＋32×eq\f(3,15)＋42×eq\f(4,15)＋52×eq\f(5,15)＝15，∴m－n＝－5.11．某次國際象棋比賽規(guī)定，勝一局得3分，平一局得1分，負(fù)一局得0分，某參賽隊(duì)員比賽一局勝的概率為a，平局的概率為b，負(fù)的概率為c(a、b、c∈[0,1))，已知他比賽一局得分的數(shù)學(xué)期望為1，則ab的最大值為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]由條件知，3a＋b＝1，∴ab＝eq\f(1,3)(3a)·b≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))2＝eq\f(1,12)，等號(hào)在3a＝b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)時(shí)成立．12．一個(gè)盒子里裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片，則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，則抽取次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望為()A．eq\f(7,4) B．eq\f(77,20)C．eq\f(3,4) D．eq\f(7,3)[答案]A[解析]由于f2(x)，f5(x)，f6(x)為偶函數(shù)，f1(x)，f3(x)，f4(x)為奇函數(shù)，所以隨機(jī)變量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________．[答案]0.4[解析]由分布列可得x＝0.6－y且7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，解得y＝0.4.14.(·九江一模)將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是eq\f(1,2)，則小球落入A袋中的概率為________．[答案]eq\f(3,4)[解析]小球落入B袋中的概率為P1＝(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×2＝eq\f(1,4)，∴小球落入A袋中的概率為P＝1－P1＝eq\f(3,4).15．將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)6出現(xiàn)次數(shù)X的均值E(X)＝________.[答案]eq\f(50,3)[解析]這是100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100，\f(1,6)))，∴E(X)＝100×eq\f(1,6)＝eq\f(50,3).16．(·陜西寶雞中學(xué)高二期末)甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B與事件A1相互獨(dú)立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)．[答案]②④[解析]從甲罐中取出一球放入乙罐，則A1、A2、A3中任意兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即A1、A2、A3兩兩互斥，故④正確，易知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，又P(B|A1)＝eq\f(5,11)，P(B|A2)＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(4,11)，故②對(duì)③錯(cuò)；∴P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故①⑤錯(cuò)誤．綜上知，正確結(jié)論的序號(hào)為②④.三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本題滿分12分)(·甘肅省三診)甲、乙、丙、丁4名同學(xué)被隨機(jī)地分到A、B、C三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名同學(xué)．(1)求甲、乙兩人都被分到A社區(qū)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)社區(qū)的概率；(3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為四名同學(xué)中到A社區(qū)的人數(shù)，求ξ的分布列和Eξ的值．[解析](1)記甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)為事件M，那么P(M)＝eq\f(A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,18)，即甲、乙兩人同時(shí)到A社區(qū)的概率是eq\f(1,18).(2)記甲、乙兩人在同一社區(qū)為事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6)，所以，甲、乙兩人不在同一社區(qū)的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(5,6).(3)隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2.事件“ξ＝i(i＝1,2)”是指有i個(gè)同學(xué)到A社區(qū)，則p(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,2),C\o\al(2,4)A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3).所以p(ξ＝1)＝1－p(ξ＝2)＝eq\f(2,3)，ξ的分布列是：ξ12peq\f(2,3)eq\f(1,3)∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).18．(本題滿分12分)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別能力．(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望．[分析]8杯飲料中含4杯A飲料，從8杯中任選4杯，其中恰含k杯A飲料的概率服從超幾何分布．設(shè)新錄用員工的月工資為y，則y的取值與X的取值對(duì)應(yīng)關(guān)系為y350028002100X430,1,2[解析](1)X的所有可能取值為：0、1、2、3、4，P(X＝i)＝eq\f(C\o\al(i,4)C\o\al(4－i,4),C\o\al(4,8))(i＝0、1、2、3、4)，故X的分布列為：X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)(2)令Y表示新錄用員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100,2800,3500，則P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝eq\f(1,70)，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝eq\f(8,35)，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝eq\f(53,70)，E(Y)＝3500×eq\f(1,70)＋2800×eq\f(8,35)＋2100×eq\f(53,70)＝2280.所以新錄用員工月工資的期望為2280元．[點(diǎn)評(píng)]要注意超幾何分布的特點(diǎn)，是總數(shù)為N件的A、B兩類物品，其中含M件A類物品，從中任取n件(n≤N)時(shí)恰含有A類物品m件，要嚴(yán)格按其特點(diǎn)作出判斷．19．(本題滿分12分)(·揭陽一中高二段測(cè))某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)，對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品．(1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；工序概率產(chǎn)品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8(2)已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在(1)的條件下，求ξ、η的分布列及E(ξ)，E(η)；等級(jí)利潤產(chǎn)品一等二等甲5(萬元)2.5(萬元)乙2.5(萬元)1.5(萬元)(3)已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示．該工廠有工人40名，可用資金60萬元．設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(2)的條件下，x、y為何值時(shí)，z＝xE(ξ)＋yE(η)最大？最大值是多少？項(xiàng)目產(chǎn)品工人(名)資金(萬元)甲85乙210[解析](1)P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6.(2)隨機(jī)變量ξ、η的分別列是ξ52.5P0.680.32η2.51.5P0.60.4E(ξ)＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，E(η)＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.(3)由題設(shè)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋10y≤60，,8x＋2y≤40，,x≥0，,y≥0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,4x＋y≤20，,x≥0，y≥0.))目標(biāo)函數(shù)為z＝xE(ξ)＋yE(η)＝4.2x＋2.1y.作出可行域(如圖)：作直線l：4.2x＋2.1y＝0，將l向右上方平移至l1位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，此時(shí)z＝4.2x＋2.1y取最大值．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,4x＋y＝20.))得x＝4，y＝4，即x＝4，y＝4時(shí)，z取最大值，z的最大值為25.2.20．(本題滿分12分)(·太原市二模)中國航母“遼寧艦”是中國第一艘航母，“遼寧”號(hào)以4臺(tái)蒸汽輪機(jī)為動(dòng)力，為保證航母的動(dòng)力安全性，科學(xué)家對(duì)蒸汽輪機(jī)進(jìn)行了技術(shù)改進(jìn)，并增加了某項(xiàng)新技術(shù)，該項(xiàng)新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對(duì)其中的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行量化檢測(cè)．假設(shè)該項(xiàng)新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過檢測(cè)合格的概率分別為eq\f(3,4)、eq\f(2,3)、eq\f(1,2)，指標(biāo)甲、乙、丙合格分別記為4分、2分、4分，某項(xiàng)指標(biāo)不合格記為0分，各項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)結(jié)果互不影響．(1)求該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分的概率；(2)記該項(xiàng)新技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．[解析](1)記甲、乙、丙獨(dú)立通過檢測(cè)合格分別為事件A，B，C，則事件“得分不低于8分”表示為ABC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C.∵ABC與Aeq\o(B,\s\up6(－))C為互斥事件，且A，B，C之間彼此獨(dú)立，∴P(ABC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(ABC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).(2)該項(xiàng)新技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)的取值為0、1、2、3.P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)，P(X＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))BC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,24)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)∴E(X)＝0×eq\f(1,24)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(11,24)＋3×eq\f(1,4)＝eq\f(23,12).21．(本題滿分12分)壇子里放著5個(gè)相同大小、相同形狀的咸鴨蛋，其中有3個(gè)是綠皮的，2個(gè)是白皮的．如果不放回地依次拿出2個(gè)鴨蛋，求：(1)第一次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率．[解析]設(shè)第1次拿出綠皮鴨蛋為事件A，第2次拿出綠皮鴨蛋為事件B，則第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋為事件AB.(1)從5個(gè)鴨蛋中不放回地依次拿出2個(gè)的基本事件數(shù)為μ(Ω)＝Aeq\o\al(2,5)＝20.又μ(A)＝Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(1,4)＝12.于是P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)因?yàn)棣?AB)＝Aeq\o\al(2,3)＝6，所以P(AB)＝eq\f(μAB,μΩ)＝eq\f(6,20)＝eq\f(3,10).(3)解法一：由(1)(2)可得，在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).解法二：因?yàn)棣?AB)＝6，μ(A)＝12，所以P(B|A)＝eq\f(μAB,μA)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).22．(本題滿分14分)(·沈陽市質(zhì)檢)為向國際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，沈陽市今年新建三大類重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施類工程、20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程．現(xiàn)有來沈的3名工人相互獨(dú)立地從60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)．(1)求這3人選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率；(2)將此3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析]記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類、民生類、產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事件Ai、Bi、Ci.由題意知，P(Ai)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)(i＝1,2,3)．(1)3人選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率P＝Aeq\o\al(3,3)P(A1B2C3)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).(2)任一名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類或產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程的概率P＝eq\f(30＋10,60)＝eq\f(2,3).由X～B(3，eq\f(2,3))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(2,3))k(1－eq\f(2,3))3－k(k＝0,1,2,3)，∴X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)其數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.1．在高三某個(gè)班中，有eq\f(1,4)的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，若從班中隨機(jī)找出5名學(xué)生，那么，其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,4)))，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5－k取最大值時(shí)k的值為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k－1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k－1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))6－k≤C\o\al(k,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5－k，,C\o\al(k＋1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4－k≤C\o\al(k,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5－k.))解得eq\f(1,2)≤k≤eq\f(3,2)，又因?yàn)閗∈N*，所以k＝1.2．利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是()自然狀況方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1 B．A2C．A3 D．A4[答案]C[解析]A1的均值為50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7.A2的均值為70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5.A3的均值為－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7.A4的均值為98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.∴選方案A3.3．一次數(shù)學(xué)摸底考試，某班60名同學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示．若得分90分以上為及格．從該班任取一位同學(xué)，其分?jǐn)?shù)是否及格記為ξ，求ξ的分布列．[解析]由直方圖可知該班同學(xué)成績?cè)?0分以上的頻率為1－(0.01＋0.0025)×20＝0.75，由頻率估計(jì)概率的原理知，從該班任取一名同學(xué)及格的概率為p＝0.75，記及格ξ＝1，不及格為ξ＝0，則ξ的分布列為ξ01P0.250.754.某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)．(1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．[分析](1)由表中所給出的數(shù)值，第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)應(yīng)分三種情況，逐一列出后求出其概率．(2)從已知條件知，X的值為0人，1人，2人三種情況，特別當(dāng)x＝1時(shí)要注意再進(jìn)行分類討論．[解析]設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：①第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；②第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值為0,1,2.X＝0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過1分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.5．甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A、B、C、D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；(3)設(shè)隨機(jī)變量X為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求X的分布列．[解析](1)記甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)為事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40).即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是eq\f(1,40).(2)記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,10).所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)隨機(jī)變量X可能取的值為1,2，事件“X＝2”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，則P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝eq\f(3,4)，X的分布列為：X12Peq\f(3,4)eq\f(1,4)6.在一個(gè)圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準(zhǔn)備進(jìn)行某種實(shí)驗(yàn)，過圓錐高的中點(diǎn)有一個(gè)不計(jì)厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)，其中小錐體叫第一實(shí)驗(yàn)區(qū)，圓臺(tái)體叫第二實(shí)驗(yàn)區(qū)，且兩個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)是互通的．假設(shè)蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個(gè)位置相互之間是不受影響的．(1)求蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；(2)若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)的概率；(3)記X為落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)．[解析](1)記“蜜蜂落入第一實(shí)驗(yàn)區(qū)”為事件A，“蜜蜂落入第二實(shí)驗(yàn)區(qū)”為事件B.依題意，P(A)＝eq\f(V小錐體,V圓錐體)＝eq\f(\f(1,3)·\f(1,4)·S圓錐底面·