高中數(shù)學(xué) 2.3.1 直線與平面垂直的判定強(qiáng)化練習(xí) 新人教A版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.3.1直線與平面垂直的判定強(qiáng)化練習(xí)新人教A版必修2一、選擇題1．下列命題中，正確的有()①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直．②過(guò)直線l外一點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)平面與l垂直．③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面．⑤過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)．A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)[答案]C[解析]②③④⑤正確，①中當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線都平行時(shí)，結(jié)論不成立．2．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與AA1A．1 B．2C．3 D．6[答案]B[解析]僅有平面AC和平面A1C1與直線AA13．直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則直線b與平面α所成的角等于()A．40° B．50°C．90° D．150°[答案]B[解析]根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.4．(～·江西新余一中高一月考)給出下列三個(gè)命題：①一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的三條直線，則這條直線和這個(gè)平面垂直；②一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任何直線所成的角相等，則這條直線和這個(gè)平面垂直；③一條直線在平面內(nèi)的射影是一點(diǎn)，則這條直線和這個(gè)平面垂直．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①中三條直線不一定存在兩條直線相交，因此直線不一定與平面垂直；②中直線與平面所成角必為直角，因此直線與平面垂直；③根據(jù)射影定義知正確．故選C.5．如圖，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直[答案]C[解析]因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面，因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．6．(09·四川文)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°[答案]D[解析]設(shè)AB長(zhǎng)為1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六邊形，所以AD長(zhǎng)也為2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD為直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD與平面ABC所成的角為45°，故選D.二、填空題7．空間四邊形ABCD的四條邊相等，則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系為________．[答案]垂直[解析]取AC中點(diǎn)E，連BE、DE.由AB＝BC得AC⊥BE.同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED.因此，AC⊥BD.8．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是________．[答案]菱形[解析]由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形．9．(·山東)已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為________．[答案]eq\f(π,3)[分析]作出PA與平面ABC所成的角，再求解即可．[解析]設(shè)三棱柱的高為h，則eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×h＝eq\f(9,4)，解得h＝eq\r(3).設(shè)三棱柱中底面ABC的中心為Q，則PQ＝eq\r(3)，AQ＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ為直線PA與平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝eq\r(3)，所以∠PAQ＝eq\f(π,3).三、解答題10．如圖所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E.求證：AE⊥平面PBC.[分析]只要證AE垂直于平面PBC內(nèi)兩相交直線即可，已知AE⊥PC，再證AE⊥BC，則可證AE垂直于平面PBC.[證明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.[點(diǎn)評(píng)]利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟是：①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和已知直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．11．S為直角△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.D為斜邊AC的中點(diǎn)，(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[證明](1)D是Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?BD＝AD,SB＝SA,SD＝SD))?△SDB≌△SDA?∠SDA＝∠SDB,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(SA＝SC,D是AC的中點(diǎn)))?SD⊥AC))?SD⊥BD,SD⊥AC，BD∩AC＝D))?SD⊥平面ABC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(2BA＝BC,D是AC的中點(diǎn)))?BD⊥AC,BD⊥SD已證,SD∩AC＝D))?BD⊥平面SAC.12．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3eq\r(3)，BC＝3，沿對(duì)角線BD將△BCD折起，使點(diǎn)C移到C′點(diǎn)，且C′點(diǎn)在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求證：BC′⊥平面AC′D；(2)求直線AB與平面BC′D所成角的正弦值．[解析](1)證明：∵點(diǎn)C′在平面ABD上的射影O在AB上，∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA.又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′.又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D.∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D.(2)如圖所示，過(guò)A作AE⊥C′D，垂足為E.∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE.又∵BC′∩C′D＝C′，∴AE⊥平面BC′D.連接BE，則BE是AB在平面BC′D上的射影，故∠ABE就是直線AB與平面BC′D所成的角．∵DA⊥AB，DA⊥BC′，∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′.在Rt△AC′B中，AC′＝eq\r(AB2－BC2)＝3eq\r(2).在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3eq\r(3).在Rt△C′AD中，由面積