2024年天津市高考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨(dú)立，那么．球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，2，3，，，3，4，，則A．，2，3， B．，3， C．， D．2．設(shè)，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是A． B． C． D．4．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是A． B． C． D．5．若，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．6．若，為兩條直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則與相交7．已知函數(shù)的最小正周期為．則函數(shù)在的最小值是A． B． C．0 D．8．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、．是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．9．一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分。10．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．11．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．12．的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，兩曲線與第一象限交于點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為．13．，，，，五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加，甲選到的概率為；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為．14．在正方形中，邊長(zhǎng)為1．為線段的三等分點(diǎn)，，，則；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．15．若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為．三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（14分）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．17．（15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．18．（15分）已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立．若存在，求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（15分）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，．（1）求數(shù)列前項(xiàng)和；（2）設(shè)，，其中是大于1的正整數(shù)．當(dāng)時(shí)，求證：；求．20．（16分）設(shè)函數(shù)．（1）求圖像上點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若在時(shí)恒成立，求的值；（3）若，，證明．

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)參考答案與試題解析一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，2，3，，，3，4，，則A．，2，3， B．，3， C．， D．【分析】：根據(jù)集合交集的概念直接求解即可．【解析】：集合，2，3，，，3，4，，則，3，．故選：．2．設(shè)，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】：說明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.【解析】：，，根據(jù)在R上單調(diào)遞增，則“”可得；根據(jù)在R上單調(diào)遞增，則“”可得；所以，，則“”是“”的充要條件．故選：．3．下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是A． B． C． D．【分析】：由點(diǎn)的分布特征可直接判斷．【解析】：觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，相關(guān)關(guān)系強(qiáng)，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1，相關(guān)程度也就越大．故選：．4．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是A． B． C． D．【解析一】：，，定義域?yàn)椋?），，則（1），不符合題意；，，定義域?yàn)?，，即為偶函?shù)，符合題意；，由題意得，，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；，函數(shù)定義域?yàn)椋?，即為奇函?shù)，不符合題意．故選：．【分析】：根據(jù)偶函數(shù)的判定方法判斷．解析二：由題易知：和均為偶函數(shù)，且恒為正，對(duì)于A，由于是非奇非偶函數(shù)，所以也是非奇非偶函數(shù)；對(duì)于B，是偶函數(shù)，所以是偶函數(shù)；對(duì)于C，易知的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以也是非奇非偶函數(shù)；對(duì)于D，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)．故選：B．5．若，，，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【分析】：利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷．【解析】：在上遞增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，所以，故選：．6．若，為兩條直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則與相交【分析】：根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.【解析】：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，若，，則與平行或異面，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則與異面、平行或相交，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)直線，滿足且，若，則，而，則，正確；對(duì)于，若，，則與相交或異面垂直，錯(cuò)誤．故選：．7．已知函數(shù)的最小正周期為．則函數(shù)在的最小值是A． B． C．0 D．【分析】：先由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合周期公式求出，得，再整體求出時(shí)，求出的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.【解析】：函數(shù)，，，可得，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故函數(shù)取最小值是．故選：．8．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、．是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【分析】：可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【解析一】：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：設(shè)，，則，因?yàn)椤魇敲娣e為8的直角三角形，所以，，因?yàn)橹本€的斜率為2，所以，所以，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，即，所以，所以雙曲線的方程為．故選：C．解析二如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因?yàn)?，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C．9．一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．【分析】：采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個(gè)棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【解析一】：延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，連接、，可得，結(jié)合，可知為三棱柱，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形全等，所以，由，且它們兩兩之間的距離為1．可知：當(dāng)為正三棱柱時(shí)，底面邊長(zhǎng)為1，高為3，此時(shí)．根據(jù)棱柱的性質(zhì)，若為斜三棱柱，根據(jù)體積公式V=sh，體積也是，因此，，可得該五面體的體積．故選：．解析二：用一個(gè)完全相同的五面體（頂點(diǎn)與五面體一一對(duì)應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，因?yàn)?，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分。10．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【解析】：．故答案為：．11．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為20．【分析】：根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.【解析】：的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：20．12．的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，兩曲線與第一象限交于點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為．【分析】：先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點(diǎn)到直線的距離.【解析】：的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，，，，聯(lián)立，得或，兩曲線與第一象限交于點(diǎn)，，直線的方程為，即，原點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．13．，，，，五種活動(dòng)，甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加，甲選到的概率為；已知乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為．【分析】：結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率.【解析一】：設(shè)事件表示“選到”，事件表示“選到”，則甲從中選3個(gè)．甲選到的概率為（A），，乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為：．故答案為：，．解析二：列舉法從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲選到得概率為：；乙選活動(dòng)有6種可能性：，其中再選則有3種可能性：，故乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為.14．在正方形中，邊長(zhǎng)為1．為線段的三等分點(diǎn)，，，則；若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【解析一】：由題意可知，，，，，如圖：設(shè)，則，為中點(diǎn)，，正方形的邊長(zhǎng)為1，，，，對(duì)于函數(shù)，對(duì)稱軸為，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即的最小為．故答案為：；．解析二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，由可得直線BE的方程為，設(shè)，則，所以所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為15．若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為．【分析】：結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分、與進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，計(jì)算函數(shù)定義域可得或，計(jì)算可得時(shí)，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點(diǎn)，則只需找到當(dāng)時(shí)，在軸右側(cè)無交點(diǎn)的情況即可得；當(dāng)時(shí)，按同一方式討論即可得.【解析】：根據(jù)題意，可得，令，即．①當(dāng)時(shí)，，有，則，不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，由，可得或，則，即函數(shù)與函數(shù)，有唯一公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，則，即，整理得，當(dāng)時(shí)，即，即，當(dāng)，或（正值舍去），當(dāng)時(shí)，或，有兩解，不符合題意，舍去，綜上所述，當(dāng)，時(shí)，在時(shí)有唯一解，因此，當(dāng)，時(shí)，方程在時(shí)需無解，當(dāng)，，且時(shí)，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，即，故時(shí)，圖案為雙曲線右支在軸上方部分向右平移所得，由雙曲線的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為2，又，，即在時(shí)的斜率，，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；③當(dāng)時(shí)，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，由，可得或，當(dāng)時(shí)，則，則，即，整理得，當(dāng)時(shí)，即，即，當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，即當(dāng)，時(shí)，在時(shí)有唯一解，則當(dāng)，時(shí)，在時(shí)需無解，當(dāng)，，且時(shí)，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得或．且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時(shí)，圖像為雙值的左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，，即在時(shí)的斜率，，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，．故答案為：．解析二：①當(dāng)時(shí)，，令時(shí)，，即有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意。②當(dāng)時(shí)，令，則，由可得，則，解得，若，則由可得，化簡(jiǎn)得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，作出大致圖像如圖所示（2）若，因?yàn)椴皇堑牧泓c(diǎn)，所以。由可得，化簡(jiǎn)得，令，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，作出大致圖像如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得，即取值范圍為三、解答題：本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16．（14分）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．【分析】：（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【解析一】：（1）在中，，，設(shè)，則，，，解得，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得．（3），，是銳角，且，，，．解析二：（1）在中，，，設(shè)，則，，，解得，；（2）由余弦定理得，因?yàn)?，則（3），則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以17．（15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【分析】：（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【解答】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，3，，設(shè)平面的法向量為，，則，1，，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：因?yàn)?，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為．18．（15分）已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，在軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立．若存在，求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】：（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【解析】：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，其中為半焦距，，則，所以，，，，解得，故，，故橢圓方程為；（2）①若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則，或，，此時(shí)，②若過點(diǎn)的動(dòng)直線的所率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，，，，，化簡(jiǎn)整理可得，，故△，；，，故，恒成立，故，解得，若恒成立．結(jié)合①②可知，．故這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為，．19．（15分）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，．（1）求數(shù)列前項(xiàng)和；（2）設(shè)，，其中是大于1的正整數(shù)．當(dāng)時(shí)，求證：；求．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【解析】：（1），，可得，整理得，解得或，因?yàn)閿?shù)列的公比大于0，所