四川省瀘州市敘永第一中學校2025屆高三上學期開學考試 數(shù)學試題含答案

2024年秋期高2022級高三開學考試數(shù)學試題注意事項：1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．設全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．使不等式成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．3．命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是（

）A．任意一個奇數(shù)是素數(shù) B．任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)C．存在一個奇數(shù)不是素數(shù) D．存在一個偶數(shù)不是素數(shù)4．若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點，若，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前n項和為，且，則使得成立的n的最大值為（

）A．32 B．33 C．44 D．458．已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9．已知復數(shù)均不為0，則（

）A． B．C． D．10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．C．的圖象關于點對稱D．在區(qū)間上單調遞增11．在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是某個函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉函數(shù)”.那么（

）A．存在旋轉函數(shù)B．旋轉函數(shù)一定是旋轉函數(shù)C．若為旋轉函數(shù)，則D．若為旋轉函數(shù)，則第二卷非選擇題（92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12．已知，則的值為．13．若實數(shù)，且，則.14．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關于x的方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15．已知函數(shù)的部分圖象如圖.(1)求函數(shù)的解析式;(2)將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，當時，求值域.16．的內角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)若角的平分線交于點，求的長．17．已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求證.18．已知，，為偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)求證：時，有且只有一個根，且；(3)若恒成立，求a.19．對于一個四元整數(shù)集，如果它能劃分成兩個不相交的二元子集和，滿足，則稱這個四元整數(shù)集為“有趣的”．(1)寫出集合的一個“有趣的”四元子集：(2)證明：集合不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集：(3)證明：對任意正整數(shù)，集合不能劃分成個兩兩不相交的“有趣的”四元子集．1．A【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為全集，集合，所以，又，所以，故選：A.2．A【分析】根據(jù)充分不必要條件的知識確定正確答案.【詳解】不等式成立的一個充分不必要條件是，是的必要不充分條件，是的非充分非必要條件，是的充分必要條件.故選：A3．B【分析】根據(jù)存在量詞命題，否定為，即可解得正確結果.【詳解】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是“任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)”.故選：B4．C【分析】根據(jù)給定等式，利用均值不等式變形，再解一元二次不等式作答.【詳解】，當且僅當時取等號，因此，即，解得，所以當時，取得最小值2.故選：C5．D【分析】根據(jù)三角恒等變換得到，再利用誘導公式求出答案.【詳解】因為，即，所以．故選：D6．D【分析】由平面向量的線性運算可得，即可求出，進而求出的值.【詳解】，所以，所以，所以，.故選：D.7．C【分析】分奇偶項討論，根據(jù)題意利用并項求和求，運算求解即可.【詳解】當為偶數(shù)時，，令，且n為偶數(shù)，解得，故n的最大值為44；當為奇數(shù)時，，令，且為奇數(shù)，解得，故n的最大值為43；綜上所述：n的最大值為44.故選：C.【點睛】方法點睛：并項求和適用的條件和注意事項：1.適用條件：數(shù)列中出現(xiàn)等形式時，常用利用并項求和求；2.注意分類討論的應用，比如奇偶項，同時還需注意起止項的處理.8．A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.9．BCD【分析】設出、，結合復數(shù)的運算、共軛復數(shù)定義及復數(shù)的模的性質逐個計算即可得.【詳解】設、；對A：設，則，，故A錯誤；對B：，又，即有，故B正確；對C：，則，，，則，即有，故C正確；對D：，，故，故D正確.故選：BCD.10．ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，先求得，然后求得，根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、單調性確定正確答案.【詳解】，，由于，所以，所以A選項正確，B選項錯誤.，當時，得，所以關于對稱，C選項正確，，當時，得在上遞增，則在區(qū)間上單調遞增，所以D選項正確.故選：ACD11．ACD【分析】對A，舉例說明即可；對B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質，結合“旋轉函數(shù)”的定義逐個判斷即可；對CD，將旋轉函數(shù)轉化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個交點，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點個數(shù)判斷即可.【詳解】對A，如滿足條件，故A正確；對B，如傾斜角為的直線是旋轉函數(shù)，不是旋轉函數(shù)，故B錯誤；對C，若為旋轉函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質可得，逆時針旋轉后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個以上的交點.故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個交點.即與至多1個交點.聯(lián)立可得.當時，最多1個解，滿足題意；當時，的判別式，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故.故C正確；對D，同C，與的交點個數(shù)小于等于1，即對任意的，至多1個解，故為單調函數(shù)，即為非正或非負函數(shù).又，故，即恒成立.即圖象在上方，故，即.當與相切時，可設切點，對求導有，故，解得，此時，故.故D正確.故選：ACD12．32【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，則,故答案為：13．0【分析】由，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則，，又由換底公式推論可得，設，則，故，由換底公式，則.故答案為：014．【分析】設，由題可得當時，有兩個零點，進而可得有兩個正數(shù)解，利用數(shù)形結合即可求得的取值范圍.【詳解】令，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，由題意可知當時，有兩個零點，當時，，，即當時，，由，可得，即方程在上有兩個正數(shù)解，∵函數(shù)的導函數(shù)為在上恒成立，∴作出函數(shù)與直線大致圖象如下圖∵方程在上有兩個正數(shù)解，恒過點，∴，由相切，設切點為，由可得，故切線的斜率為，所以切線的方程為，由切線過，可得，解得或（舍去），故切線的斜率為，即，所以當時，直線與曲線由兩個交點，綜上可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：（1）直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．一是轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．15．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)圖象由函數(shù)最值求得，由函數(shù)周期求得，由特殊點求得，即可求得解析式；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得的解析式，再利用整體法求函數(shù)值域即可.【詳解】（1）由圖象可知，的最大值為，最小值為，又，故，

周期，，，則，從而，代入點，得，則，，即，，又，則..（2）將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，故可得；再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象故可得；，，，.16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦定理整理得到，再利用三角形的內角及正弦函數(shù)的性質即可求解；（2）利用正弦定理得出，再由余弦定理求出，，再根據(jù)三角形的面積建立等式求解．【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理可得，則，所以，整理得，因為均為三角形內角，所以，因此，所以．（2）因為是角的平分線，，所以在和中，由正弦定理可得，，因此，即，所以，又由余弦定理可得，即，解得，所以．又，即，即，所以．17．（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）列關于首項與公差的方程組，求解首項與公差，可得數(shù)列的通項公式，再由，可得當時，，聯(lián)立求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）知，驗證時，；當時，利用可證結論．【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，依題知：，解得或（舍．．，①當時，，②①②得，．又當時，滿足上式，；證明：（2）由（1）知．當時，；當時，．．綜上，．【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求和，訓練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．18．(1)(2)證明見解析(3)1【分析】（1）兩式相加可得，即可根據(jù)偶函數(shù)求解，（2）構造函數(shù)，求導判斷函數(shù)單調性，即可結合零點存在性定理求解，（2）分離參數(shù)，構造，求導確定函數(shù)單調性，即可求解.【詳解】（1）由，可得，由于為偶函數(shù)，故，進而可得，由于不恒為0，故，解得，故（2）令，當時，則，令，則，令則，故在0,+∞單調遞增，故，故hx在0,+∞又，故存在唯一的，且，得證，（3）由可得當時，，當時，，令，則，故在單調遞減，在0,+∞單調遞減，故時，，此時，故，當時，，此時，故，要使對任意的，都有成立，故，故，【點睛】方法點睛：對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結合思想的應用.19．(1)（符合要求即可）(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)四元整數(shù)集定義寫出即可；（2）假設可以劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個子集中均有兩個偶數(shù)證明不成立即可；（3）假設可以劃分為個兩兩不相交的“有趣的”四元子集，再根據(jù)每個子集中均有兩個偶數(shù)證明不成立即可.【詳解】（1）（符合要求即可）：（2）假設可以劃分，和一定是