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第一章勾股定理一、概念勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方abc勾股弦在西方又稱畢達哥拉斯定理二、定理的驗證方法一:1876年,美國總統(tǒng)伽菲爾德利用下圖驗證了勾股定理.你能利用它驗證勾股定理嗎?ccbbaa等面積法P72方法二:據(jù)傳當(dāng)年畢達哥拉斯借助如圖所示的兩個圖驗證了勾股定理,你能說說其中的道理嗎?abbbcaaabcababcP177(圖中每個小方格代表一個單位面積)SA+SB=SCCAB方法三:a2+b2=c2abc1.如圖所示,已知直角三角形的兩直角邊,則斜邊是多少?34c解:在直角三角形中,由勾股定理可知:例題2.
如圖,求等腰三角形ABC的面積.ABC6cm5cm5cm解:過點C作CD⊥AB于D.∵AC=BC,CD⊥AB∴AD=BD=3在Rt△ACD中,由勾股定理可知:CD2=AC2-AD2=52-32=16∵CD>0∴CD=4D3.求下列圖中字母所表示的正方形面積.(1)(2)225400AB22581拓展提升
如圖,直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關(guān)系?P176S1+S2=S3123如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.三、直角三角形判定:即如果三角形的三邊長a,b,c滿足
那么這個三角形是直角三角形.滿足的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù).例如:3、4、5;6、8、10;5、12、13;...哪條邊所對的角是直角?勾股數(shù)3,4,55,12,138,15,177,24,25直角三角形a、b、c三邊都擴大k倍后,得到的三角形還是直角三角形嗎?是?。〗猓涸凇鰽BD中,∵AB2+AD2=9+16=25=BD2,∴∠A=90°.如圖,已知各邊的長度,四邊形ABCD的面積是多少?在△BCD中,∵BD2+BC2=25+144=169=CD2,∴∠DBC=90°.例題四、勾股定理應(yīng)用類型一最短距離1.如圖,有一個底面半徑為3cm,高為12cm的圓柱,在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻,它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物,請問它需爬行的最短路程約是多少?(π取整數(shù)3)ABABC解:圓柱展開圖如右圖,則AB為最短距離.已知AC=12,BC=πd=9,在Rt△ABC中,由勾股定理可知:AB2=AC2+BC2=225∵AB>0,∴AB=15,
即最短路程約為15cm.
2.如圖,有一個無蓋的長方形盒子的長、寬、高分別為8cm,8cm,12cm,一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞cB,螞蟻要爬行的最短路程是多少?8cm8cm12cmBA解:設(shè)滑道AC的長度為x米,則AB的長度為x米,AE的長度為(x-1)米.在Rt△ACE中,由勾股定理得:
AE2+CE2=AC2
即(x-1)2+32=x2
解得x=5.故滑道AC的長度為5米.類型二利用勾股定理列方程1.如圖,若將AC水平放置,則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3cm,CD=1cm,試求滑道AC的長.AECDB31xx-12.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題,這個問題的意思是:有一個水池,水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的蘆葦,它高出水面1尺,如果把
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