2021年屆河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)高三下學(xué)期2月調(diào)研數(shù)學(xué)理試題解析

精選word文檔下載可編輯精選word文檔下載可編輯試卷第=22頁(yè)，總=sections44頁(yè)第\*MergeFormat1頁(yè)共S\*MergeFormat6頁(yè)2020屆河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)高三下學(xué)期2月調(diào)研數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合，由此求得，進(jìn)而求得的子集個(gè)數(shù).【詳解】由得，故，其子集個(gè)數(shù)為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查交集的概念和運(yùn)算，考查集合子集的個(gè)數(shù)求法，考查一元二次不等式的解法.2．若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則=()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，所以，所以，所以選B．3．已知直線，其中，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是或．故選A．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”章中有一道“兩鼠穿墻”問(wèn)題：有厚墻5尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，問(wèn)兩鼠在第幾天相遇？（）A．第2天 B．第3天 C．第4天 D．第5天【答案】B【解析】用列舉法求得前幾天挖的尺寸，由此求得第幾天相遇.【詳解】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故兩鼠相遇在第天.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查等比數(shù)列的概念，屬于基礎(chǔ)題.5．已知是雙曲線（，）的左頂點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，是的重心，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．與的取值有關(guān)【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故選B．【考點(diǎn)】1．雙曲線的幾何性質(zhì)；2．共線向量的性質(zhì)．6．的展開式中，的系數(shù)為（）A．240 B．241 C．-239 D．－240【答案】C【解析】，所以的系數(shù)為．故選C．7．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則此幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出多面體的直觀圖，將各面的面積相加可得出該多面積的表面積.【詳解】由三視圖得知該幾何體的直觀圖如下圖所示：由直觀圖可知，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，其面積為；側(cè)面是等腰三角形，且底邊長(zhǎng)，底邊上的高為，其面積為，且；側(cè)面是直角三角形，且為直角，，，其面積為，，的面積為；側(cè)面積為等腰三角形，底邊長(zhǎng)，，底邊上的高為，其面積為.因此，該幾何體的表面積為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的三視圖以及幾何體表面積的計(jì)算，再利用三視圖求幾何體的表面積時(shí)，要將幾何體的直觀圖還原，并判斷出各個(gè)面的形狀，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.8．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn)，設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)是上除點(diǎn)外的令一個(gè)三等分點(diǎn)，判斷出是三角形的重心，得出的比例，由此得出的值.【詳解】設(shè)是上除點(diǎn)外的令一個(gè)三等分點(diǎn)，連接，連接交于，則.在三角形中，是兩條中線的交點(diǎn)，故是三角形的重心，結(jié)合可知，由于是中點(diǎn)，故.所以，由此可知，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平行線分線段成比例，考查三角形的重心，考查比例的計(jì)算，屬于中檔題.9．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.10．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別取棱、、、、的中點(diǎn)、、、、，證明平面平面，從而動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域是平面，再求面積得解.【詳解】如圖，分別取棱、、、、的中點(diǎn)、、、、，則，，，平面平面，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若平面，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域是平面，正方體的棱長(zhǎng)為1，，，到的距離，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積：．故選．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．11．已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由此列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由解得或，故函數(shù)的定義域?yàn)榛?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，令，，所以在時(shí)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在時(shí)遞增，所以函數(shù)在時(shí)遞增，故在時(shí)遞減.由可知，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)不等式的解法，屬于中檔題.12．已知只有50項(xiàng)的數(shù)列滿足下列三個(gè)條件：①，；②；③．對(duì)所有滿足上述條件的數(shù)列，共有個(gè)兩兩不同的值，則（）A．10 B．11 C．6 D．7【答案】C【解析】設(shè)取值0的項(xiàng)數(shù)有項(xiàng)，再確定取值1的項(xiàng)數(shù)，取值的項(xiàng)數(shù)，代入化簡(jiǎn)③得【詳解】設(shè)，，…，中有項(xiàng)取值0，由條件②知，取值1的項(xiàng)數(shù)為，取值的項(xiàng)數(shù)為，必為奇數(shù)，再由條件③得，解得，又必為奇數(shù)，故，9，11，13，15，17．因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)6個(gè)不同的值，．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、簡(jiǎn)單推理，考查基本分析推理能力，屬中檔題.二、填空題13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______【答案】【解析】先求得函數(shù)在處切線的斜率，由此求得切線方程.【詳解】依題意，所以，故當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)為，也即在點(diǎn)處的切線的斜率為，故切線方程為.故答案為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查過(guò)曲線上一點(diǎn)切線方程的求法，考查除法的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14．當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】【詳解】試題分析：作出不等式組表示的區(qū)域如下圖所示的陰影部分區(qū)域，由圖可知：不等式在陰影部分區(qū)域恒成立，令可知，因?yàn)楫?dāng)，且當(dāng)時(shí)，不能使得恒成立；由得在點(diǎn)處取得最小值，即，在點(diǎn)處取得最大值，即，所以有解得．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；15．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，的面積為，則面積的最大值為_____.【答案】【解析】結(jié)合已知條件，結(jié)合余弦定理求得，然后利用基本不等式求得的最大值，進(jìn)而求得三角形面積的最大值.【詳解】由于三角形面積①，由余弦定理得②，由①②得，由于，所以.故，化簡(jiǎn)得，故，化簡(jiǎn)得.所以三角形面積.故答案為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查基本不等式求最值的方法，屬于中檔題.16．已知的外接圓圓心為O，，，若（為實(shí)數(shù)）有最小值，則參數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】首先求得，進(jìn)而用表示出，由此化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】先求：如圖所示，設(shè)是線段的中點(diǎn)，由于是三角形外接圓的圓心，故，所以，同理可得.由于故，即，解得，將上式代入并化簡(jiǎn)得，由于，依題意有最小值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，有最小值.由解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查圓的幾何性質(zhì)，考查方程的思想，考查二次函數(shù)在給定區(qū)間上有最小值問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.三、解答題17．在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，再令，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），.（2）【解析】（1）設(shè),,…,構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,其中,,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,則,進(jìn)而求解即可；（2）由（1）,利用錯(cuò)位相減法求解即可【詳解】（1）設(shè),,…,構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,其中,,,又,得,則,所以,（2）由（1）,,故,,上述兩式相減,得,整理得【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,考查運(yùn)算能力18．如圖，在四棱錐中，，底面四邊形為直角梯形，為線段上一點(diǎn)．(1)若，則在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)己知，若異面直線與成角，二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．【答案】（1）存在，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)；（2）2.【解析】(1)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．通過(guò)證明及，可得M為PB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)P．(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角夾角的余弦值即可得參數(shù)t的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，則平面.若平面，由平面平面，平面，則.由，，則，故點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).（2）∵，，，平面，平面，則平面以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸、軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，.由，得即，令，則，故.同理可求得.于是，則，解之得（負(fù)值舍去），故.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何的證明，空間向量在夾角問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，法向量的求法與用法，屬于中檔題．19．已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為,離心率為,且的面積為.（1）求橢圓的方程;（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且點(diǎn),位于軸的同側(cè),設(shè)直線與軸交于點(diǎn),,若,求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）離心率為,可得,的面積為,可得,根據(jù)橢圓：,可得,即可求得橢圓的方程;（2）設(shè)直線:,聯(lián)立橢圓方程和直線方程,通過(guò)韋達(dá)定理即可求得直線的方程.【詳解】（1）離心率為,可得┄①又的面積為,可得┄②根據(jù)橢圓：,可得┄③聯(lián)立①②③解得:,，橢圓方程為（2）設(shè)直線:，，，由,消掉得:，根據(jù)韋達(dá)定理:,,，，，，，故，，即，，即，解得（舍）或，直線:.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題,弦長(zhǎng)問(wèn)題,可用韋達(dá)定理解決.20．超級(jí)病菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來(lái)越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡．某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2)混合檢驗(yàn)，將其中(且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次，假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為．（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；（2）現(xiàn)取其中(且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．（i）試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，，，，．【答案】（1）；（2）（i）且，（ii）4.【解析】（1）利用排列組合知識(shí)以及古典概型的計(jì)算公式可得到結(jié)果.（2）（?。┯梢阎?，的所有可能取值只能為，，由期望運(yùn)算可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.（ⅱ）由題意可知，得，利用函數(shù)的單調(diào)性可得的最大值.【詳解】（1）設(shè)恰好經(jīng)過(guò)2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件，則，∴恰好經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率為；（2）（?。┯梢阎?，的所有可能取值為1，，∴，，∴，若，則，，∴，∴．∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．（ⅱ）由題意知，得，∵，∴，∴．設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)增減，又，，∴，，，∴，∴的最大值為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率的求解，排列組合知識(shí)的應(yīng)用，數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，涉及函數(shù)知識(shí)，屬于難題.21．已知函數(shù)（）．（Ⅰ）若，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)相異極值點(diǎn)，，求證：．【答案】（1）;（2）見解析.【解析】試題分析：（1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可，（2）函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，即導(dǎo)函數(shù)g′（x）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1、x2，對(duì)a進(jìn)行分類討論，令，構(gòu)造函數(shù)φ（t），利用函數(shù)φ（t）的單調(diào)性證明不等式．試題解析：（Ⅰ）由，恒有，即，對(duì)任意成立，記，，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，最大值為，∴，．（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)相異的極值點(diǎn)，，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，∴，不妨設(shè)，∵，∴，，，先證，即證，即證，令，即證，設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，∴，又，∴，∴．22．在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知圓的極坐標(biāo)方程為,圓的直角坐標(biāo)方程為