2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第5章-平面向量與復(fù)數(shù)-第4課時(shí)-復(fù)數(shù)練習(xí)-理

PAGE好教育云平臺(tái)——好教育云平臺(tái)——教育因你我而變呵呵復(fù)活復(fù)活復(fù)活第4課時(shí)復(fù)數(shù)1．假設(shè)(x＋i)2是純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)，那么x＝()A．±1 B．2C．－1 D．1答案A解析(x＋i)2＝x2－1＋2xi，因?yàn)?x＋i)2是純虛數(shù)，所以x＝±1.2．(2024·河北辛集中學(xué)月考)假設(shè)復(fù)數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，那么b等于()A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2答案C解析eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(〔2－bi〕〔1－2i〕,〔1＋2i〕〔1－2i〕)＝eq\f(2－2b－〔4＋b〕i,5)，由題意得eq\f(2－2b,5)－eq\f(4＋b,5)＝0，得b＝－eq\f(2,3).3．(2024·課標(biāo)全國Ⅱ，理)eq\f(3＋i,1＋i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i答案D解析eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(〔3＋i〕〔1－i〕,〔1＋i〕〔1－i〕)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，選擇D.4．(2024·課標(biāo)全國Ⅲ，理)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，那么|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2答案C解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i〔1－i〕,〔1＋i〕〔1－i〕)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).5．(2024·山東，文)i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi＝1＋i，那么z2＝()A．－2i B．2iC．－2 D．2答案A解析∵zi＝1＋i，∴z＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1,i)＋1＝1－i.∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.選A.6.(2024·湖北黃岡期末)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，z1＝3＋4i，將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，那么eq\o(z,\s\up6(－))2＝()A．3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4i答案B解析由題意知A(3，4)，B(－4，3)，即z2＝－4＋3i，eq\o(z,\s\up6(－))2＝－4－3i.7．(2024·滄州七校聯(lián)考)z是純虛數(shù)，eq\f(z＋2,1－i)是實(shí)數(shù)，那么z等于()A．2i B．iC．－i D．－2i答案D解析設(shè)純虛數(shù)z＝bi(b≠0)，代入eq\f(z＋2,1－i)eq\r()＝eq\f(bi＋2,1－i)＝eq\f(〔bi＋2〕〔1＋i〕,〔1－i〕〔1＋i〕)＝eq\f(〔2－b〕＋〔b＋2〕i,2)，由于其為實(shí)數(shù)，∴b＝－2.8．(2024·江西，理)eq\o(z,\s\up6(－))是z的共軛復(fù)數(shù)，假設(shè)z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝2，(z－eq\o(z,\s\up6(－)))i＝2(i為虛數(shù)單位)，那么z＝()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案D9．設(shè)a是實(shí)數(shù)，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是實(shí)數(shù)，那么a＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)答案A解析eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a〔1－i〕,〔1＋i〕〔1－i〕)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(〔a＋1〕＋〔－a＋1〕i,2)，由于該復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，故－a＋1＝0，即a＝1.10．(2024·鄭州質(zhì)量預(yù)測)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z＝eq\f(5i,1＋2i)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，那么A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．1＋2i B．1－2iC．－2＋i D．2＋i答案C解析依題意得，復(fù)數(shù)z＝eq\f(5i〔1－2i〕,〔1＋2i〕〔1－2i〕)＝i(1－2i)＝2＋i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2，1)，因此點(diǎn)A(－2，1)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i，選C.11．(2024·宜昌調(diào)研)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1－z,1＋z)＝i(i是虛數(shù)單位)，那么|1＋z|＝()A．0 B．1C.eq\r(2) D．2答案C解析∵eq\f(1－z,1＋z)＝i，∴z＝eq\f(1－i,1＋i)＝－i，∴|z＋1|＝|－i＋1|＝eq\r(2).12．(2024·山東，理)a∈R，i是虛數(shù)單位．假設(shè)z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝4，那么a＝()A．1或－1 B.eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D.eq\r(3)答案A解析方法一：由題意可知eq\o(z,\s\up6(－))＝a－eq\r(3)i，∴z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.方法二：z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.13．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個(gè)命題：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i,p4：z的虛部為－1.其中的真命題為()A．p2，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4答案C解析∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共軛復(fù)數(shù)為－1＋i，z的虛部為－1，綜上可知p2，p4是真命題．14．(2024·課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，那么|x＋yi|＝()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2答案B解析因?yàn)?1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).應(yīng)選B.15．函數(shù)f(x)＝x2，i是虛數(shù)單位，那么在復(fù)平面中復(fù)數(shù)eq\f(f〔1－i〕,2＋i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析eq\f(f〔1－i〕,2＋i)＝eq\f(〔1－i〕2〔2－i〕,〔2＋i〕〔2－i〕)＝eq\f(－2i〔2－i〕,〔2＋i〕〔2－i〕)＝eq\f(－2－4i,5)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(－eq\f(2,5)，－eq\f(4,5))位于第三象限，應(yīng)選C.16．(2024·北京，理)設(shè)a∈R，假設(shè)復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，那么a＝________．答案－1解析(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由得a＋1＝0，解得a＝－1.17．(2024·河南許昌高中聯(lián)考)給出以下四個(gè)命題：①滿足：z＝eq\f(1,z)的復(fù)數(shù)有±1，±i；②假設(shè)a，b∈R且a＝b，那么(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)；③復(fù)數(shù)z∈R的充要條件是z＝eq\o(z,\s\up6(－))；④在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．其中正確的命題是________．答案③解析因?yàn)閕2＝－1，所以命題①不正確；對(duì)于命題②，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，不成立，命題②不正確；由共軛復(fù)數(shù)的定義知，命題③正確；虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外都表示純虛數(shù)，命題④不正確．18．i＋i2＋i3＋…＋i2019的值是________．答案－1解析原式＝eq\f(i〔1－i2019〕,1－i)＝eq\f(i〔1－i3〕,1－i)＝eq\f(i〔1＋i〕,1－i)＝i·i＝－1.19．計(jì)算：(1)eq\f(〔1＋2i〕2＋3〔1－i〕,2＋i)；(2)eq\f(1－i,〔1＋i〕2)＋eq\f(1＋i,〔1－i〕2)；(3)eq\f(1－\r(3)i,〔\r(3)＋i〕2).答案(1)eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i(2)－1(3)－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i解析(1)eq\f(〔1＋2i〕2＋3〔1－i〕,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i〔2－i〕,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(2)eq\f(1－i,〔1＋i〕2)＋eq\f(1＋i,〔1－i〕2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(3)eq\f(1－\r(3)i,〔\r(3)＋i〕2)＝eq\f(〔\r(3)＋i〕〔－i〕,〔\r(3)＋i〕2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(〔－i〕〔\r(3)－i〕,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.1．(2024·湖北八校聯(lián)考)設(shè)x∈R，那么“x＝1〞是“復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)〞的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析由純虛數(shù)的定義，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x＋1≠0，))所以x＝1.應(yīng)選C.2．復(fù)數(shù)eq\f(i,1＋2i)(i是虛數(shù)單位)的實(shí)部是()A.eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C.eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)答案A解析eq\f(i,1＋2i)＝eq\f(2＋i,5)，實(shí)部為eq\f(2,5).3．(2024·四川，理)設(shè)i是虛數(shù)單位，那么復(fù)數(shù)i3－eq\f(2,i)＝()A．－i B．－3iC．i D．3i答案C解析i3－eq\f(2,i)＝－i－eq\f(2i,i2)＝－i＋2i＝i，選C.4．(2024·湖南)eq\f(〔1－i〕2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，那么復(fù)數(shù)z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案D解析由題意得z＝eq\f(〔1－i〕2,1＋i)＝eq\f(－2i,1＋i)＝－i(1－i)＝－1－i，應(yīng)選D.6．(2024·課標(biāo)全國Ⅰ，理)eq\f(〔1＋i〕3,〔1－i〕2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案D解析先把分子、分母分別計(jì)算，再求解，或利用結(jié)論eq\f(1＋i,1－i)＝i.方法一：eq\f(〔1＋i〕3,〔1－i〕2)＝eq\f(〔1＋i〕〔1＋i〕2,－2i)＝eq\f(〔1＋i〕〔1＋i2＋2i〕,－2i)＝eq\f(〔1＋i〕2i,－2i)＝－1－i.應(yīng)選D.方法二：eq\f(〔1＋i〕3,〔1－i〕2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(2)(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．7．(2024·安徽，理)設(shè)i是虛數(shù)單位，z表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．假設(shè)z＝1＋i，那么eq\f(z,i)＋i·z＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i答案C解析先根據(jù)z求出z及eq\f(z,i)，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么求解．∵z＝1＋i，∴z＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(i2＋i,i2)＝1－i.∴eq\f(z,i)＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)＋(1＋i)＝2.應(yīng)選C.8．(2024·湖北，理)i為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為()A．i B．－iC．1 D．－1答案A解析i607＝i4×151·i3＝－i，又－i的共軛復(fù)數(shù)為i，選A.9．(2024·課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，那么a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3答案A解析(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，由條件，得a－2＝2a＋1，解得a＝－3.應(yīng)選A.10．(2024·課標(biāo)全國Ⅱ)z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)答案A解析由可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>－3，,m<1))?－3<m<1.應(yīng)選A.11．(2024·北京)復(fù)數(shù)eq\f(1＋2i,2－i)＝()A．i B．1＋iC．－i D．1－i答案A解析eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(〔1＋2i〕〔2＋i〕,〔2－i〕〔2＋i〕)＝eq\f(5i,5)＝i.12．對(duì)任意復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，i為虛數(shù)單位，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|答案D解析|z|＝eq\r(x2＋y2)≤eq\r(x2＋2|xy|＋y2)＝eq\r(〔|x|＋|y|〕2)＝|x|＋|y|，D正確，易知A，B，C錯(cuò)誤．13．(2024·天津，理)i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為________．答案－2解析由題意知，復(fù)數(shù)(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是純虛數(shù)，那么實(shí)部a＋2＝0，虛部1－2a≠0，解得a＝－2.14．(2024·天津)a，b∈R，i是虛數(shù)單位．假設(shè)(1＋i)(1－bi)＝a，那么eq\f(a,b)的值為________．答案2解析(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，eq\f(a,b)＝2.15．(20