7.1.1角的推廣課件高一數(shù)學人教B版

第七章三角函數(shù)角的推廣人教B版

數(shù)學

必修第三冊課程標準1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角,理解并掌握“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的定義.2.掌握所有與角α終邊相同的角(包括角α)的表示方法.3.體會運動變化的觀點,深刻理解推廣后的角的概念.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1任意角1.角的概念:一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一位置所形成的圖形.

角的終邊角的始邊

2.角的分類:按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類

類型定義圖示正角按照

方向旋轉(zhuǎn)而成的角

負角按照

方向旋轉(zhuǎn)而成的角

零角當射線沒有旋轉(zhuǎn)時,也把它看成一個角,稱為零角逆時針

順時針3.角的加減法運算的幾何意義:α+β表示在角α的基礎(chǔ)上,

旋轉(zhuǎn)β角度;α-β表示在角α的基礎(chǔ)上,

旋轉(zhuǎn)β角度.

名師點睛1.正角、負角、零角是根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向確定的.2.角的加減法運算可通過旋轉(zhuǎn)的辦法作圖實現(xiàn).逆時針

順時針過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)始邊與終邊重合的角一定是零角.(

)(2)小于90°的角是銳角.(

)××2.[北師大版教材習題]時針走了1h20min,則分針轉(zhuǎn)過的角是

.

3.將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角度數(shù)為

,將35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角度數(shù)為

.-480°-25°395°知識點2象限角1.象限角將角放在平面直角坐標系中,約定:角的頂點與

重合,角的始邊落在x軸的

上.這時,角的終邊在第幾象限,就把這個角稱為

.

如果終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何象限.坐標原點

正半軸第幾象限角2.終邊相同的角一般地,角α+k·360°(k∈Z)與角α的終邊相同,這只需把k·360°看成逆時針或者順時針方向旋轉(zhuǎn)若干周即可.任意兩個終邊相同的角,它們的差一定是360°的整數(shù)倍.因此,所有與α終邊相同的角組成一個集合,這個集合可記為S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.不要遺漏

即集合S的每一個元素的終邊都與α的終邊相同,k=0時對應(yīng)元素為α.名師點睛對于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解應(yīng)注意三點(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三層含義:①特殊性:每取一個整數(shù)值就對應(yīng)一個具體的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),當k取正整數(shù)時,逆時針旋轉(zhuǎn);當k取負整數(shù)時,順時針旋轉(zhuǎn);當k=0時,沒有旋轉(zhuǎn).(3)集合中“k·360°”與“α”之間用“+”連接,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),表示與-30°角終邊相同的角.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)鈍角是第二象限角.(

)(2)第二象限角是鈍角.(

)(3)第二象限角大于第一象限角.(

)√××2.與-525°角的終邊相同的角可表示為(

)A.525°-k·360°(k∈Z)B.185°+k·360°(k∈Z)C.195°+k·360°(k∈Z)D.-195°+k·360°(k∈Z)C解析

-525°=195°-2×360°,所以-525°角的終邊與195°角的終邊相同,所以與-525°角的終邊相同的角可表示為195°+k·360°(k∈Z).故選C.3.[北師大版教材習題]已知角α=-130°,則角α的終邊落在第

象限.

三

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一角的有關(guān)概念【例1】

(1)下列說法正確的是(

)A.終邊相同的角一定相等B.第一象限的角一定是銳角C.終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍D.大于90°的角都是鈍角分析

根據(jù)角的概念、終邊相同角的集合等概念解題,特別注意銳角、直角、鈍角等特殊的角.C解析

終邊相同的角不一定相等,故A錯;因為銳角的集合是{α|0°<α<90°},而第一象限的角的集合是{α|k·360°<α<k·360°+90°},故B錯;C正確;鈍角的集合是{α|90°<α<180°},當α≥180°時,均大于90°,但角α不是鈍角,所以大于90°的角不一定都是鈍角,故D錯.(2)若α是第四象限角,則180°+α的終邊所在象限為(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限分析

可以看作將角α逆時針旋轉(zhuǎn)180°.B解析

α是第四象限角,逆時針旋轉(zhuǎn)180°是第二象限角,故終邊所在象限為第二象限.規(guī)律方法

判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)解決此類問題的關(guān)鍵在于正確理解象限角、銳角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.(2)本例(1)也可采用排除法,這時需掌握判斷說法是否正確的技巧.判斷說法正確需要證明,而判斷說法錯誤只需舉一反例即可.變式訓練1(1)[北師大版教材習題]若角β是第四象限角,則180°-β是第

象限角.

三

解析

β是第四象限角,-β是第一象限角,所以180°-β是第三象限角.①

②(2)分別求出圖中從OA旋轉(zhuǎn)到OB,OB1,OB2時所成的角度.解

圖①中的角是一個正角,α=390°,圖②中的角是一個正角、一個負角,β=60°,γ=-150°.探究點二終邊相同的角的表示及應(yīng)用【例2】

(1)[2023江蘇崇川校級開學考試]已知α=-2015°,則與角α終邊相同的最小正角為

,最大負角為

.

145°-215°解析

與-2

015°角終邊相同的角為-2

015°+k·360°,k∈Z,當k=6時,與-2

015°角終邊相同的最小正角是145°,當k=5時,與-2

015°角終邊相同的最大負角是-215°.(2)已知α=1690°.①把α表示成k·360°+β的形式,其中k∈Z,0°≤β<360°;②求θ,使θ與α的終邊相同,且-720°≤θ<-360°.解

①α=1

690°=4×360°+250°.②由①知α=4×360°+250°,θ與α的終邊相同,設(shè)θ=360°n+250°,n∈Z,則-720°≤360°n+250°<-360°,∵n∈Z,則n=-2,故θ=-470°.(3)[人教A版教材例題]寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些?解

如圖,在平面直角坐標系中畫出直線y=x,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是45°,在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個:45°,225°.因此,終邊在直線y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}.S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β有45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.規(guī)律方法

運用終邊相同的角的注意事項所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°+α(k∈Z)表示,在運用時需注意以下幾點:(1)k是整數(shù),這個條件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同,終邊相同的角有無數(shù)個,它們相差周角的整數(shù)倍.變式訓練2(1)[2023上海長寧校級期末]2023°是第

象限角.

三

解析

因為α=2

023°=360°×5+223°,而180°<223°<270°,所以α的終邊在第三象限.(2)[北師大版教材例題]寫出與60°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合-360°≤β<720°的元素β寫出來.解

S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β<720°的元素應(yīng)滿足-360°≤60°+k·360°<720°.又k∈Z,所以k=-1,0,1.所求元素分別是60°+(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.(3)如圖所示,寫出終邊落在直線

上的角的集合.解

終邊落在

(x≥0)上的角的集合為S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},終邊落在

(x≤0)上的角的集合為S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊落在直線

上的角的集合為S=S1∪S2={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}.因為{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.探究點三象限角及其應(yīng)用角度1.區(qū)域(間)角的表示【例3】

[2023遼寧沈陽校級開學考試]寫出角α在下列位置時的集合S.(1)角的終邊在如圖1所示的陰影中(包括邊界);(2)角的終邊在如圖2所示的陰影中(包括邊界).圖1圖2解

(1)由題圖1得角α的集合為{α|n·360°+90°≤α≤n·360°+120°,n∈Z}或{α|360°·n+270°≤α≤300°+n·360°,n∈Z}={α|k·180°+90°≤α≤k·180°+120°,k∈Z}.(2)由題圖2得角α的集合為{α|-60°+k·360°≤α≤60°+k·360°,k∈Z}.規(guī)律方法

區(qū)域角表示的步驟(1)借助圖形,在直角坐標平面內(nèi)找出角的范圍所對應(yīng)的區(qū)域.(2)確定-360°<α<360°范圍內(nèi)的基本角,即區(qū)域起始及終止邊界所對應(yīng)的角.(3)寫出終邊相同的角的集合.解決終邊相同的角的集合問題,一般都是利用數(shù)形結(jié)合解題.變式訓練3表示出終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合S(包括邊界),并判斷2019°是不是集合S的元素.解

終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為S={α|k·360°+150°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}.因為2

019°=219°+5×360°,而2

019°與219°終邊相同,所以2

019°∈S.角度2.nα或

所在象限的判定【例4】

已知α為第二象限角,判斷下列角是第幾象限角.(1)2α;解

因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z,所以2α是第三或第四象限角,或是終邊落在y軸的非正半軸上的角.(2).解

(方法一)因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),(方法二)如圖,先將各象限分成2等份,再從x軸正向的上方起,依次將各區(qū)域標上一、二、三、四,則標有二的區(qū)域即為

的終邊所在的區(qū)域,故

為第一或第三象限角.變式探究(變結(jié)論)本例中條件不變,試判斷

是第幾象限角?解

因為α是第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,在已知角α的范圍求角2α的范圍時上述規(guī)律就不好用了,所以還應(yīng)該掌握求范圍的代數(shù)推導法.圖1圖2變式訓練4當α是第二象限角時,試討論

是哪個象限的角.成果驗收·課堂達標檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練18191.[探究點二·2023北京朝陽校級期末]在下列各角中,與1850°角終邊相同的角是(

)A.40°

B.50° C.320°

D.-400°B123456789101112131415161718192.[探究點一·2023江蘇高一課時練習]若α是第一象限角,則下列各角中屬于第四象限角的是(

)A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+αC解析

若α是第一象限角,則-α在第四象限,90°-α位于第一象限,90°+α位于第二象限,360°-α位于第四象限,180°+α位于第三象限,故選C.123456789101112131415161718193.(多選題)[探究點一·2023安徽高一專題練習]下列說法錯誤的是(

)A.小于90°的角是銳角B.鈍角是第二象限的角C.第二象限的角大于第一象限的角D.若角α與角β的終邊相同,那么α=βACD解析

小于90°的角可以是負角,負角不是銳角,故A不正確;鈍角是第二象限的角,故B正確;第二象限的角不一定大于第一象限的角,例如:150°是第二象限的角,390°是第一象限的角,故C不正確;若角α與角β的終邊相同,那么α=β+2kπ,k∈Z,故D不正確.故選ACD.123456789101112131415161718194.(多選題)[探究點三]如果α是第三象限的角,那么

可能是下列哪個象限的角(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限ACD解析

因為α是第三象限的角,則α∈(k·360°+180°,k·360°+270°),k∈Z,所以

∈(k·120°+60°,k·120°+90°),k∈Z,所以

可以是第一、第三、第四象限角.123456789101112131415161718195.[探究點二·2023上海寶山校級期末]終邊在直線y=-x上的角α構(gòu)成的集合可以表示為

.

{α|α=k·360°+135°,k∈Z}123456789101112131415161718196.[探究點三·2023廣西浦北校級月考]如圖所示,終邊落在陰影部分區(qū)域(包括邊界)的角α的集合是

.

{α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°,k∈Z}解析

分別與角40°,-50°終邊相同的角為40°+k·360°,-50°+k·360°(k∈Z),因此終邊落在陰影區(qū)域(包括邊界)的角的集合是{α|-50°+k·360°≤α≤40°+k·360°,k∈Z}.123456789101112131415161718197.[探究點二]如圖所示,若按逆時針旋轉(zhuǎn),終邊落在OA位置時的角的集合是

,終邊落在OB位置時的角的集合是

.

{α|α=60°+k·360°,k∈Z}{β|β=225°+k·360°,k∈Z}解析

由角的概念可得,終邊落在OA位置時的角的集合是{α|α=60°+k·360°,k∈Z};終邊落在OB位置時的角的集合是{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.123456789101112131415161718198.[探究點二]已知α=-1910°.(1)把α寫成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求角θ,使θ與α的終邊相同,且-720°≤θ<0°.解

(1)∵-1

910°=250°+(-6)×360°,又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k·360°<0°,∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.12345678910111213141516171819B級關(guān)鍵能力提升練9.若角α與45°角的終邊相同,角β與-135°角的終邊相同,則α與β之間的關(guān)系是(

)A.α+β=-50°B.α-β=180°C.α+β=180°+k·360°(k∈Z)D.α-β=180°+k·360°(k∈Z)D解析

α=45°+k1·360°(k1∈Z),β=-135°+k2·360°(k2∈Z),α-β=180°+k·360°,k∈Z.1234567891011121314151617181910.[2023上海黃浦校級期中]已知θ是第一象限角,那么

是(

)A.第一、二象限角B.第一、三象限角C.第三、四象限角D.第二、四象限角B1234567891011121314151617181911.(多選題)關(guān)于角度,下列說法正確的是(

)A.時鐘經(jīng)過兩個小時,時針轉(zhuǎn)過的角度是60°B.鈍角大于銳角C.三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D.若α是第三象限角,則

是第二或第四象限角BD解析

對于A,時鐘經(jīng)過兩個小時,時針轉(zhuǎn)過的角度是-60°,故錯誤;對于B,鈍角一定大于銳角,顯然正確;對于C,若三角形的內(nèi)角為90°,是終邊在y軸正半軸上的角,故錯誤;對于D,∵角α的終邊在第三象限,180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,90°+k·180°<<135°+k·180°,當k為偶數(shù)時,

是第二象限角,當k為奇數(shù)時,是第四象限角,故正確.故選BD.12345678910111213141516171819

ABC解析

因為α是銳角,所以0°<2α<180°,故選項A符合題意,選項D不符合題意;所以180°<180°+α<270°,即180°+α是第三象限角,故選項B符合題意;所以0°<<45°,即

是銳角,故選項C符合題意.故選ABC.1234567891011121314151617181913.若α=45°+k·360°,k∈Z,則

是

象限角.

第一或第三1234567891011121314151617181914.若角α與288°角的終邊相同,則在0°~360°內(nèi)終邊與角

終邊相同的角是

.

72°,162°,252°,342°解析

由題意,得α=288°+k·360°(k∈Z),

=72°+k·90°(k∈Z).又0°≤

<360°,所以k=0,1,2,3,相應(yīng)地有

=72°,162°,252°,342°.1234567891011121314151617181915.若α,β兩角的終邊互為反向延長線,且α=-120°,則β=

.

60°+k·360°,k∈Z解析

先求出β的一個角,β=α+180°=60°,再由終邊相同的角的概念知,β=60°+k·360°,k∈Z.1234567891011121314151617181916.[2023江蘇南京期末]如圖所示,終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的集合為

.

{α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}1234567891011121314151617181917.若角α,β的終邊關(guān)于直線x+y=0對稱,且α=-60°,求β.解

在-360°~0°范圍內(nèi),與-60°角關(guān)于直線x+y=0對稱的角為-30°角,所以β=-30°+k·360°(k∈Z).1234567891011121314151617181918.(1)寫出與α=-1910°終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式-720°≤β<360°的元素β寫出來.(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合.圖1圖2圖3(3)寫出終邊落在圖中陰影部分(包括邊界)的角的集合.12345678910111213141516171819解

(1)與α=-1

910°終邊相同的角的集合為{β|β=-1

910°+k·360°,k∈Z}.取k=4時,β=-470°,取k=5時,β=-110°,取k=6時,β=250°.(2)如題圖1,在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個,即0°和180°,因此,所有與0°角終邊相同的角構(gòu)成集合