9.1.1正弦定理課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

第九章解三角形正弦定理人教B版

數(shù)學(xué)

必修第四冊(cè)課標(biāo)要求1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.掌握三角形的面積公式.3.能夠運(yùn)用正弦定理處理一定條件下的解三角形問題.4.掌握正弦定理的變形式,并能進(jìn)行邊角互化.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1三角形的面積三角形的面積公式S=

=

=bcsinA.角A可以是銳角、直角、鈍角

名師點(diǎn)睛常用的三角形的面積公式過關(guān)自診

60°或120°又因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°或A=120°.知識(shí)點(diǎn)2正弦定理1.正弦定理的表示

文字語言在一個(gè)三角形中,各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的

的比相等

符號(hào)語言在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則

=________

=

正弦

2.正弦定理的變形

(5)在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB.名師點(diǎn)睛1.使用正弦定理的前提是在同一三角形中.2.正弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.3.由正弦定理可知三角形中每?jī)蛇吋皩?duì)應(yīng)角的正弦為知三求一的關(guān)系;常結(jié)合三角形的內(nèi)角和為180°、三角形中大邊對(duì)大角等對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行取舍.過關(guān)自診

知識(shí)點(diǎn)3解三角形1.習(xí)慣上,我們把三角形的3個(gè)角與3條邊都稱為三角形的

,已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為

.

2.利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題:(1)已知兩角和任意一邊求其他的兩邊和一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而求其他的邊和角.元素

解三角形

名師點(diǎn)睛1.應(yīng)用正弦定理,要明確角化邊(或邊化角)的方法,對(duì)三角形有幾個(gè)解必須清楚明了,防止出現(xiàn)漏解或增解.2.求角問題注意三角形中大邊對(duì)大角性質(zhì)的應(yīng)用,以便判斷解的個(gè)數(shù).過關(guān)自診

D2.[北師大版教材習(xí)題]在△ABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩解的是(

)A.a=7,b=14,A=30°B.a=30,b=25,A=150°C.a=72,b=50,A=135°D.a=30,b=40,A=26°D重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】

(1)[人教A版教材例題]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+,解這個(gè)三角形.解

由三角形內(nèi)角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°.(2)在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解這個(gè)三角形.規(guī)律方法

利用正弦定理解三角形的方法(1)已知兩角與任意一邊解三角形的方法:已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊解三角形時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出三角形的第三個(gè)角,再由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊

.(2)已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法:首先用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值,若這個(gè)角不是直角,則利用三角形中大邊對(duì)大角看能否判斷所求這個(gè)角是銳角,當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),不能判斷,此時(shí)就有兩組解,分別求解即可;然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角;最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊.變式探究2若將本例(2)中的“a=2”改為“a=3”,其他條件不變,求b.變式訓(xùn)練1(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,則b等于(

)C(2)在△ABC中,若A=30°,BC=4,AC=,則B等于(

)A.30°

B.45°或135°C.60° D.135°B(3)[人教A版教材習(xí)題]①在△ABC中,已知a=2,c=,A=120°,求b和C;②在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,求c.探究點(diǎn)二求三角形的面積又因?yàn)閠an

Atan

B=6,所以tan

A+tan

B=tan(A+B)·(1-tan

Atan

B)=-1×(1-6)=5.所以tan

A>0,tan

B>0,即A,B均為銳角.又因?yàn)閍>b,所以tan

A>tan

B,所以tan

A=3,tan

B=2.規(guī)律方法

1.三角形面積公式的選取依據(jù)求三角形的面積時(shí)通常以角為主,即在題目中已知哪個(gè)角或者涉及哪個(gè)角就以含有該角的公式進(jìn)行面積的求解.2.在解三角形問題時(shí)需要根據(jù)正弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟:第一步,定條件,即確定三角形中的已知和所求,在圖形中標(biāo)出來,然后確定轉(zhuǎn)化的方向;第二步,定工具,即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實(shí)施邊角之間的轉(zhuǎn)化;第三步,求結(jié)果.變式訓(xùn)練2在△ABC中,B=30°,AB=,AC=2,求△ABC的面積.探究點(diǎn)三邊角互化【例3】

在任意△ABC中,求證:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.證明由正弦定理,可知

=2R(R為△ABC外接圓的半徑),所以a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C,所以左邊=2R(sin

Asin

B-sin

Asin

C+sin

Bsin

C-sin

Bsin

A+sin

Csin

A-sin

Csin

B)=0=右邊,所以等式成立.規(guī)律方法

邊與角的互化方法正弦定理的變形公式a=2Rsin

A,b=2Rsin

B,c=2Rsin

C(R為△ABC外接圓的半徑)能夠使三角形邊與角的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練3在△ABC中,若b=acosC,試判斷該三角形的形狀.解因?yàn)閎=acos

C,

=2R(R為△ABC外接圓的半徑),所以sin

B=sin

Acos

C.因?yàn)锽=π-(A+C),所以sin(A+C)=sin

Acos

C,即sin

Acos

C+cos

Asin

C=sin

Acos

C,所以cos

Asin

C=0.因?yàn)锳,C∈(0,π),所以cos

A=0,所以A=,所以△ABC為直角三角形.探究點(diǎn)四正弦定理與三角恒等變換知識(shí)的綜合應(yīng)用【例4】

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=1,變式訓(xùn)練4在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1234567891011121314151617A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練18192021222324A1234567891011121314151617181920212223242.[探究點(diǎn)一]在△ABC中,A=30°,BC=1,AC=,則C=(

)A.90°

B.60°C.60°或120° D.90°或30°D123456789101112131415161718192021222324C123456789101112131415161718192021222324A123456789101112131415161718192021222324A123456789101112131415161718192021222324B1234567891011121314151617181920212223247.(多選題)[探究點(diǎn)三·2023江西萍鄉(xiāng)期末]在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,下列說法正確的是(

)B.若acosB=bcosA,則a=bC.若sin2A=sin2B,則△ABC是等腰三角形D.若△ABC為銳角三角形,則sinB>cosCABD1234567891011121314151617181920212223241234567891011121314151617181920212223248.[探究點(diǎn)二]在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊.若A=105°,B=45°,b=,則c=

,△ABC的面積為

.

21234567891011121314151617181920212223249.[探究點(diǎn)一]在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=45°,a=6,b=,則B為

.

30°12345678910111213141516171819202122232410.[探究點(diǎn)三]在△ABC中,若,則△ABC為

三角形.

等邊12345678910111213141516171819202122232411.[探究點(diǎn)四]在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若5acosA=bcosC+ccosB,則sin2A=

.

解析

因?yàn)?acos

A=bcos

C+ccos

B,所以由正弦定理得5sin

Acos

A=sin

Bcos

C+sin

Ccos

B=sin(B+C)=sin

A.123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324B級(jí)關(guān)鍵能力提升練13.在△ABC中,a=k,b=

(k>0),A=45°,則滿足條件的三角形有(

)A.0個(gè)

B.1個(gè)C.2個(gè)

D.無數(shù)個(gè)A123456789101112131415161718192021222324B123456789101112131415161718192021222324B12345678910111213141516171819202122232416.(多選題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若C=,c=3且該三角形有兩解,則a的值可以為(

)A.4 B.5

C.6

D.7AB12345678910111213141516171819202122232417.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,則cosB=

.

12345678910111213141516171819202122232418.在△ABC中,a=2,c=,sinA+cosA=0,則角B的大小為

.

12345678910111213141516171819202122232419.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是

.

12345678910111213141516171819202122232420.在△ABC中,B=120°,AB=,∠BAC的平分線AD=,則AC=

.

在△ABD中,已知B=120°,∠ADB=45°,則∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分線,故∠BAC=2∠BAD=30°.在△ABC中,B=120°,∠BAC=30°,則∠ACB=30°.123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324123456789101112131415161718192021222324(1