安徽省淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文

PAGEPAGE20安徽省淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A={x|-1≤x≤1}和集合B={y|y=x2}，則A∩B等于（）A．{y|0<y<1}B．{y|0≤y≤1}C．{y|y>0} D．{(0，1)，(1，0)}2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在其次象限 B．C．的虛部為1 D．3．我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢(qián)五百七十六，買(mǎi)竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢(qián)576，買(mǎi)竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢(qián)，問(wèn)買(mǎi)大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢(qián)？則在這個(gè)問(wèn)題中大竹子每根的單價(jià)可能為（）A．6錢(qián) B．7錢(qián) C．8錢(qián) D．9錢(qián)4．已知二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，則的系數(shù)為（）A．14 B． C．240 D．5．函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．6．已知實(shí)數(shù)滿意，則下列關(guān)系式恒成立的是（）A．B．C． D．7．已知某三角函數(shù)的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是（）A．B．C．D．8．若等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，記則A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差也為dB．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為2dC．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為dD．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，的公差為9．已知，是與向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為A． B． C． D．10．我國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另始終角邊為股，斜邊為弦．若為直角三角形的三邊，其中為斜邊，則，稱這個(gè)定理為勾股定理．現(xiàn)將這肯定理推廣到立體幾何中：在四面體中，，為頂點(diǎn)所對(duì)面的面積，分別為側(cè)面的面積，則下列選項(xiàng)中對(duì)于滿意的關(guān)系描述正確的為A．B．C． D．11．已知點(diǎn)，，P為曲線上隨意一點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．12．已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都有（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)_________.14．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿意，則______.15．已知點(diǎn)在拋物線：上，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角的正弦值為_(kāi)_____.16．已知三棱錐中，二面角的大小為，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）求的取值范圍.18．四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面底面.（1）證明：平面平面；（2）若與底面所成的角為，求四棱錐的體積.19．某愛(ài)好小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園熬煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）

(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計(jì)值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．依據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表，推斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園熬煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

附：

K2=n20．如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其的左、右頂點(diǎn)分別是，，下、上頂點(diǎn)分別是，，是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線，的斜率，滿意.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.21．已知函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為.（1）當(dāng)時(shí)，探討的單調(diào)性；（2）設(shè)，方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))．(1)將曲線C的參數(shù)方程化為一般方程；(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．23．已知函數(shù)=.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求不等式≥3的解集；(Ⅱ)若≤的解集包含，求的取值范圍.參考答案1．B【分析】先由二次函數(shù)的值域求得集合B，再運(yùn)用集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)锽={y|y=x2}，所以B={y|y≥0}，A∩B={y|0≤y≤1}．故選：B．2．C【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)概念判定A，B，D錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)判定正確.【詳解】解：，其對(duì)應(yīng)的復(fù)平面點(diǎn)為位于第四象限，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，虛部為1，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算技巧：（1）復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．（2）復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．3．C【分析】依據(jù)題意設(shè)買(mǎi)大竹子，每根單價(jià)為，可得，由，解不等式組即可求解.【詳解】依題意可設(shè)買(mǎi)大竹子，每根單價(jià)為，購(gòu)買(mǎi)小竹子，每根單價(jià)為，所以，即，即，因?yàn)椋?，依?jù)選項(xiàng)，，所以買(mǎi)大竹子根，每根元.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式，考查了數(shù)據(jù)處理實(shí)力以及分析實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】先寫(xiě)二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式及綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，利用已知條件求得n值，再令綻開(kāi)式通項(xiàng)中的指數(shù)為，求得，計(jì)算該項(xiàng)的系數(shù)即可．【詳解】二項(xiàng)綻開(kāi)式的第項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，由綻開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2︰5，可得：，即，故，解得：.所以中，令，解得：，所以的系數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，學(xué)生簡(jiǎn)潔混淆二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)，而出現(xiàn)答題失誤.二項(xiàng)式系數(shù)是指綻開(kāi)式中每一項(xiàng)的組合數(shù)，而項(xiàng)的系數(shù)是指前面乘的全部常數(shù)（包括符號(hào)），因此做題時(shí)肯定要看清晰題中條件和要求.5．B【分析】分析四個(gè)圖像，從而推斷函數(shù)的性質(zhì)，利用解除法求解．【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上為連續(xù)函數(shù)，可解除A答案；由于，，，所以，可解除C答案；當(dāng)時(shí)，，故解除D答案；故答案選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的推斷與數(shù)形結(jié)合的思想方向的應(yīng)用，屬于中檔題6．D【分析】依據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，然后再逐項(xiàng)推斷.【詳解】因?yàn)?，所以由指?shù)函數(shù)的單調(diào)性得：A.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)閮绾瘮?shù)在R上是增函數(shù)，所以，故正確；故選：D7．C【解析】試題分析：,所以所以它的解析式可能是，選C.考點(diǎn)：三角函數(shù)解析式【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特別點(diǎn)求.8．D【分析】依據(jù)已知寫(xiě)出若等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，依據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)推斷即可得出結(jié)論.【詳解】由題可得，，則是關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故A，B錯(cuò)誤；由是關(guān)于n的一次函數(shù)，得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；又是關(guān)于n的一次函數(shù)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查等差數(shù)列,是關(guān)于的一次函數(shù)，公差為，嫻熟駕馭等差數(shù)列通項(xiàng)公式的函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9．B【分析】設(shè)，求出，，再依據(jù)向量在向量上的投影向量的定義列式求出，最終利用平面對(duì)量的夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥c向量方向相同的單位向量，設(shè)，則，所以，得，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队盀椋蚁蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，所以，所以，所以，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量在向量上的投影向量的定義以及平面對(duì)量的夾角公式求解是解題關(guān)鍵.10．C【分析】作四面體，，于點(diǎn)，連接，結(jié)合勾股定理可得答案．【詳解】作四面體，，于點(diǎn)，連接，如圖.即故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理，解題的關(guān)鍵是將勾股定理遷移到立體幾何中，屬于簡(jiǎn)潔題．11．A【分析】結(jié)合已知曲線方程，引入?yún)?shù)方程，然后結(jié)合和角正弦公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)則由可得，令，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵.12．D【分析】化簡(jiǎn)為，令，可得，得到，然后作出其函數(shù)圖象，將不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式的，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】因?yàn)?，所以即，設(shè)，令，可得，所以，則，令可得在上遞增，令可得在上遞減，所以在處取得極大值，作出函數(shù)如圖所示：又因?yàn)椋坏仁降慕饧星∮袃蓚€(gè)整數(shù)，等價(jià)于不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，由圖象知：當(dāng)時(shí)，不等式不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值及其圖象，不等式的解法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于較難題.13．或【分析】分和兩種狀況解方程，可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，得.因此，或，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)值求自變量的值，解題時(shí)要對(duì)自變量進(jìn)行分類探討，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而求出，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由題意，解得，所以，所以，則.故答案為：.15．【分析】求出，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，，依據(jù)向量可得，從而求出直線的傾斜角，即求.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，所以，得，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，所以，所以，設(shè)，，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橹本€的斜率，由，所以或，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.16．【分析】找到三棱錐外接球球心的位置，求得外接球的半徑，進(jìn)而求得三棱錐外接球的表面積.【詳解】依題意，三角形是等邊三角形，設(shè)其外心為，線段的中點(diǎn)設(shè)為，則，且在線段上、.三角形是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以其外心為.過(guò)在三角形內(nèi)作.所以是二面角的平面角，所以.設(shè)外接球球心為，則平面，平面，所以、，所以.在三角形中，，，,所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題.17．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)等式整理可得，又，可求，結(jié)合A為內(nèi)角即可求得A的值；（2）由三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得，可求的范圍，從而可求，即可得解.【詳解】（1）由正弦定理可得，，從而可得，，即，又B為三角形的內(nèi)角，所以，于是，又A為三角形內(nèi)角，因此，.（2）∵，由可知，，所以，從而，因此，，故的取值范圍為.18．（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）依據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)、平行四邊形形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（Ⅱ）連結(jié)，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可以證明出底面，這樣可以建立以，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）四邊形是平行四邊形.又，.又面面，面面，面面且面平面平面.（Ⅱ）連結(jié)，，為中點(diǎn)，又平面，平面平面，平面平面，底面，∠PCF=eq\f(π,3),PF=eq\r(6),V=eq\f(\r(6),2)19．【答案】解：(1)P1=2+16+25100=43100(2)x(3)完成2×2列聯(lián)表如下：

人次≤400人次>400合計(jì)空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830合計(jì)5545100則K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d=100(33×8-37×22)【解答】解：(1)P1=2+16+25100=43100(2)x(3)完成2×2列聯(lián)表如下：

人次≤400人次>400合計(jì)空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830合計(jì)5545100則K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d=100(33×8-37×22)20．（1）；（2）.【分析】（1）由可得，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入后列出關(guān)于的方程組求解可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)，到直線的距離在，再由直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，表示出四邊形面積為的函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，則.又，所以.①又由橢圓過(guò)點(diǎn)得，②由①②得，，故橢圓方程為.（2），，設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，到直線，的距離分別為，.又由得，所以.四邊形的面積.由得.故四邊形面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交的面積問(wèn)題．解題時(shí)列出關(guān)于的方程組是求方程的關(guān)鍵．直線與橢圓相交問(wèn)題可設(shè)出直線方程為，把面積用表示，然后由函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍．21．（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求導(dǎo)得，再分和探討即可得的單調(diào)性；（2）令函數(shù)，