數(shù)軸上的九類(lèi)動(dòng)態(tài)模型解讀與提分精練（學(xué)生版）

數(shù)軸上的九類(lèi)動(dòng)態(tài)模型數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題屬于七年級(jí)上冊(cè)必考?jí)狠S題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時(shí)，一般遵循“點(diǎn)、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動(dòng)點(diǎn)的出發(fā)位置，移動(dòng)方向和速度，用含t的式子表示動(dòng)點(diǎn)，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動(dòng)點(diǎn)的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（要檢驗(yàn)解是否符合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍）。TOC\o"1-4"\h\z\u模型1.動(dòng)態(tài)規(guī)律（左右跳躍）模型 2模型2.單（多）動(dòng)點(diǎn)勻速模型 5模型3.單（多）動(dòng)點(diǎn)變速模型 9模型4.動(dòng)點(diǎn)往返運(yùn)動(dòng)模型 13模型5.動(dòng)態(tài)中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型 17模型6.動(dòng)態(tài)定值（無(wú)參型）模型 21模型7.動(dòng)態(tài)定值（含參型）模型 24模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型 27模型9.數(shù)軸上的線段移動(dòng)模型 31 35【知識(shí)儲(chǔ)備】①若A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字是a、b，則AB兩點(diǎn)間的距離；AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)字是：。②數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要步驟：1）畫(huà)圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：運(yùn)動(dòng)方向和速度；2）寫(xiě)點(diǎn)——寫(xiě)出所有點(diǎn)表示的數(shù)：常用含t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示，向左運(yùn)動(dòng)用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值；4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。注意：要注意動(dòng)點(diǎn)是否會(huì)來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)，速度是否改變等。③分類(lèi)討論的思想：（1）數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，注意多種情況的分類(lèi)討論。（2）對(duì)于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，若點(diǎn)P、Q的左右位置關(guān)系不明確或有多種情況，可用p、q兩數(shù)差的絕對(duì)值表示PQ兩點(diǎn)距離，從而避免復(fù)雜分類(lèi)討論。模型1.動(dòng)態(tài)規(guī)律（左右跳躍）模型模型（1）：“1左1右”的等差數(shù)列式跳躍，兩個(gè)一組根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可；模型（2）：“2左2右”的等差數(shù)列式跳躍，四個(gè)一組根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可。例1．（2023·江蘇·泰州七年級(jí)階段練習(xí)）在如圖的數(shù)軸上，一動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒鐘4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度來(lái)回移動(dòng)，其移動(dòng)方式是先向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度…（1）求出2.5秒鐘后動(dòng)點(diǎn)Q所處的位置；（2）求出7秒鐘后動(dòng)點(diǎn)Q所處的位置；（3）如果在數(shù)軸上有一個(gè)定點(diǎn)A，且A與原點(diǎn)O相距48個(gè)單位長(zhǎng)度，問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，可能與點(diǎn)A重合嗎？若能，則第一次與點(diǎn)A重合需多長(zhǎng)時(shí)間？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．例2．（2023·浙江·七年級(jí)期末）一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動(dòng)，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度，表示第n秒時(shí)機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_______．變式1．（23-24七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)O出發(fā)開(kāi)始移動(dòng)，第1次向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第2次向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第3次向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第4次向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，第5次向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，…，點(diǎn)P按此規(guī)律移動(dòng)，則移動(dòng)第2022次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023變式2．（2023·福建龍巖·七年級(jí)期末）如圖，A點(diǎn)的初始位置在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)上，先對(duì)A做如下移動(dòng)：第一次向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，第二次從B點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，第三次從C點(diǎn)出發(fā)向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)D，第四次從D點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)E，……．以此類(lèi)推，按照以上規(guī)律第（

）次移動(dòng)到的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19模型2.單（多）動(dòng)點(diǎn)勻速模型模型（1）:動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A（點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是a）出發(fā)，以每秒v個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，t秒后，到達(dá)B點(diǎn)，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是：a+vt。模型（1）:動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A（點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是a）出發(fā)，以每秒v個(gè)單位的速度向左移動(dòng)，t秒后，到達(dá)C點(diǎn)，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是：a-vt。例1．（23-24七年級(jí)上·江西吉安·期中）【閱讀材料】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美的結(jié)合，某數(shù)學(xué)興趣小組探究數(shù)軸發(fā)現(xiàn)了一些重要的規(guī)律．規(guī)律1：如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，則A、B兩點(diǎn)間的距離可表示為：①（即用右邊點(diǎn)B表示的數(shù)減去左邊點(diǎn)A表示的數(shù)）；②（即兩點(diǎn)表示的數(shù)之差的絕對(duì)值）．規(guī)律2：數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M表示的數(shù)為【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)A在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為4，P是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)．（1）則A、B兩點(diǎn)間的距離________，A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M表示的數(shù)為_(kāi)_______；（2）若A、P兩點(diǎn)間的距離，則點(diǎn)P表示的數(shù)為_(kāi)_______．【拓展運(yùn)用】如圖2，已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，分別表示的數(shù)為，8，點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．（3）用含t的式子填空：點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_______；點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)t秒后所在位置的點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_______；此時(shí)A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M表示的數(shù)為_(kāi)_______．（4）按上述方式運(yùn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)多少秒會(huì)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度．變式1．（23-24七年級(jí)上·河南商丘·期中）如圖，相距的A、B兩地間有一條筆直的馬路，C地位于A、B兩地之間且距A地，小明同學(xué)騎自行車(chē)從A地出發(fā)沿馬路以每小時(shí)的速度向B地勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)B地后立即以原來(lái)的速度返回，到達(dá)A地時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（小時(shí)），小明的位置為點(diǎn)P．

(1)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以從A到B為正方向，用1個(gè)單位長(zhǎng)度表示畫(huà)數(shù)軸，指出點(diǎn)A所表示的有理數(shù)；(2)在（1）的數(shù)軸上，求時(shí)點(diǎn)P表示的有理數(shù)；(3)當(dāng)小明距離C地1km時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的t值變式2．（22-23七年級(jí)上·重慶江北·階段練習(xí)）如圖，A，B（A在B的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣4，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M，N始終為，的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．(1)當(dāng)P，Q重合時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)M，N也隨之停止運(yùn)動(dòng)，將線段沿?cái)?shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度滑動(dòng)，從此刻開(kāi)始，經(jīng)過(guò)t秒后滿足時(shí)，求t的值．模型3.單（多）動(dòng)點(diǎn)變速模型例1．（2023·重慶九龍坡·七年級(jí)期末）已知數(shù)軸上的點(diǎn)，，，所表示的數(shù)分別是，，，，且．（1）求，，，的值；（2）點(diǎn)，沿?cái)?shù)軸同時(shí)出發(fā)相向勻速運(yùn)動(dòng)，秒后兩點(diǎn)相遇，點(diǎn)的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；（3），兩點(diǎn)以（2）中的速度從起始位置同時(shí)出發(fā)，向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向數(shù)軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在秒時(shí)有，求的值；（4），兩點(diǎn)以（2）中的速度從起始位置同時(shí)出發(fā)相向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)起始位置時(shí)，迅速以原來(lái)速度的2倍返回；到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后，保持改后的速度又折返向點(diǎn)起始位置方向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)起始位置時(shí)馬上停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，兩點(diǎn)相遇，求點(diǎn)，相遇時(shí)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）．變式1．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，點(diǎn)、、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是、、，且、滿足，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的倍，之后立刻恢復(fù)原速，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）____，____，、兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)___個(gè)單位；（2）①若動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求的值；②當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時(shí)，求相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）當(dāng)___時(shí)，、兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等．變式2．（2023·廣東·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)軸上相距20個(gè)長(zhǎng)度單位，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，它們?cè)凇八铰肪€”射線BA和射線CD上的運(yùn)動(dòng)速度相同均為2個(gè)單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問(wèn)：(1)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B需要的時(shí)間為_(kāi)_____秒；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要的時(shí)間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等時(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)．模型4.動(dòng)點(diǎn)往返運(yùn)動(dòng)模型例1．（2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，分別表示的數(shù)為，，且．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它到達(dá)B點(diǎn)后立即以相同的速度返回往A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并持續(xù)在A，B兩點(diǎn)間往返運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向左勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q達(dá)到A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)．（1）填空：，；（2）求運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間后，點(diǎn)P，Q第一次相遇，以及相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；（3）求當(dāng)點(diǎn)P，Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P所在的位置表示的數(shù)；（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q一共相遇了幾次．（直接寫(xiě)出答案）變式1．（23-24七年級(jí)上·福建三明·期中）已知數(shù)軸上有、、三個(gè)點(diǎn)，分別表示有理數(shù)、、，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒．若用，，分別表示點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的距離，試回答以下問(wèn)題．

(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，______，______，______；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示到點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的距離：______，______，______；(3)經(jīng)過(guò)幾秒后，點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等？此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)是多少？(4)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立即以同樣速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)．在點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，、兩點(diǎn)之間的距離能否為個(gè)單位長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)表示的數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式2．（2023·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)期末）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為．如：點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，則．問(wèn)題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，A、B兩點(diǎn)之間的距離______，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____．(2)拓展探究：若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)．以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）。①用含t的式子表示：t秒后，點(diǎn)Р表示的數(shù)為_(kāi)_____；點(diǎn)Q表示的數(shù)為_(kāi)_____；②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫(xiě)出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．(3)類(lèi)比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點(diǎn)相遇后按照原來(lái)的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)各自到達(dá)線段AB的端點(diǎn)后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，并以原來(lái)的速度在線段AB上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，那么再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)第二次相遇．請(qǐng)直接寫(xiě)出所需要的時(shí)間和此時(shí)相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．模型5.動(dòng)態(tài)中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型例1．（2023·山東·七年級(jí)期末）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱(chēng)點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)．例如：如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為－1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2.表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是【A，B】的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D就不是【A，B】的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是【B，A】的美好點(diǎn)．如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為－7，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2(1)點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點(diǎn)的是；寫(xiě)出【N，M】美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是．(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開(kāi)始出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，P，M和N中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)？變式1．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，；③時(shí)，；

④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不變．A．2個(gè) B．1個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)變式2．（2023·安徽滁州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別是、，則、兩點(diǎn)間的距離可以表示為，例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，利用上述結(jié)論，解決問(wèn)題：(1)若，則=_____；(2)若有一個(gè)半徑為的圓上有一點(diǎn)，與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)周，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____用含有的代數(shù)式表示；(3)，為數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，且，點(diǎn)C表示的數(shù)為，若點(diǎn)、、、三點(diǎn)中的某一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求、的值．模型6.動(dòng)態(tài)定值（無(wú)參型）模型設(shè)未知數(shù)并表示各動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，若是行程問(wèn)題一般設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，從而表示出兩點(diǎn)之間的距離。當(dāng)代數(shù)式的計(jì)算結(jié)果中不含有未知數(shù)t，則代數(shù)式為定值。例1．（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期中）已知數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、3、5，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的距離表示為，點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離表示為．

(1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試判斷：的值是否發(fā)生變化？若不變化，求出這個(gè)定值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．（2023·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）如圖，射線上有三點(diǎn)，滿足cm，cm，cm.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以2cm/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為3cm/秒，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩點(diǎn)相遇?(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的位置恰好是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度;(3)自點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，分別取和的中點(diǎn)，求的值.變式2．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，數(shù)軸上線段（單位長(zhǎng)度），（單位長(zhǎng)度），點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16．若線段以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，A點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)________，此時(shí)_________；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到（單位長(zhǎng)度）時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（3）P是線段上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，若關(guān)系式成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段的長(zhǎng)：________．模型7.動(dòng)態(tài)定值（含參型）模型例1．（2023·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，滿足，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)是．(1)直接寫(xiě)______，______，______用含的代數(shù)式表示；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，①問(wèn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)？②問(wèn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)與點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度？并求出此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)；(3)點(diǎn)、以（2）中的速度同時(shí)分別從點(diǎn)、向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從原點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)，使得的值為定值，若存在請(qǐng)求出值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．（2023·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知a、b滿足，，且有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C．(1)則______，______，______．(2)點(diǎn)D是數(shù)軸上A點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別為中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變，請(qǐng)求出其值；(3)若點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒3個(gè)單位和每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)請(qǐng)問(wèn)：是否存在一個(gè)常數(shù)m使得不隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的改變而改變?nèi)舸嬖?，?qǐng)求出m和這個(gè)不變化的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型例1．（2023·江蘇·七年級(jí)期中）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)中兩種重要的圖形變化，閱讀并回答下列問(wèn)題：（一）平移：在平面內(nèi)，講一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移．（1）把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖的位置表示的數(shù)是；（2）一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸上原點(diǎn)出發(fā)，并在數(shù)軸上移動(dòng)2次，每次移動(dòng)2個(gè)單位后到達(dá)B點(diǎn)，則B點(diǎn)表示的數(shù)是；（3）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，點(diǎn)P從5出發(fā)，若P，A兩點(diǎn)的距離是A，B兩點(diǎn)距離的2倍，則需將點(diǎn)P向左移動(dòng)個(gè)單位．（二）翻折：將一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊的運(yùn)動(dòng)．（4）若折疊紙條，表示?3的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)重合，則表示?4的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；（5）若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離為10，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，折痕與數(shù)軸相交于表示?1的點(diǎn)，則A點(diǎn)表示的數(shù)為；（6）在數(shù)軸上，點(diǎn)M表示是的數(shù)為4，點(diǎn)N表示的數(shù)為x，將點(diǎn)M，N兩點(diǎn)重合后折疊，得折痕①，折痕①與數(shù)軸交于P點(diǎn)；將點(diǎn)M與點(diǎn)P重合后折疊，得折痕②，折痕②與數(shù)軸交于Q點(diǎn)．若此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)Q的距離為2，則x＝．變式1．（2023·山東·七年級(jí)月考）在數(shù)軸上，已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則4表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；（2）若-1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，-3表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；（3）若數(shù)p表示的點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時(shí)折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是______；（3）若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為m個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A表示的有理數(shù)是a，并且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)折線與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的有理數(shù)是______．變式2．（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期中）【思考背景】數(shù)軸是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，幫助我們更加直觀的思考問(wèn)題．平移和翻折是數(shù)學(xué)中兩種重要的圖形變化，從變化的角度觀察數(shù)軸，可以提出很多有趣的問(wèn)題：【問(wèn)題情境】（1）平移運(yùn)動(dòng)：如圖1，數(shù)軸上的一點(diǎn)向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)．①______（用含的代數(shù)式表示）；②將點(diǎn)沿著數(shù)軸先向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，求點(diǎn)表示的數(shù)；③一機(jī)器人從原點(diǎn)開(kāi)始，第1次向左移動(dòng)1個(gè)單位，緊接著第2次向右移動(dòng)2個(gè)單位，第3次向左移動(dòng)3個(gè)單位，第4次向右移動(dòng)4個(gè)單位，…，以此規(guī)律，當(dāng)它移動(dòng)2023次時(shí)，所在數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是______．（2）翻折變換：①若在原點(diǎn)處折疊數(shù)軸使之兩側(cè)重合，數(shù)軸上的點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，則點(diǎn)與點(diǎn)表示的數(shù)、滿足關(guān)系：______；②若以表示的點(diǎn)為折點(diǎn)，折疊數(shù)軸使之兩側(cè)重合，與表示的點(diǎn)重合的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______；③如圖2，一條數(shù)軸上有點(diǎn)、、，其中點(diǎn)、表示的數(shù)分別是、8，現(xiàn)以點(diǎn)為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折重合，若點(diǎn)、對(duì)應(yīng)重合的點(diǎn)分別為點(diǎn)、，點(diǎn)與點(diǎn)相距2個(gè)單位長(zhǎng)度，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)表示的數(shù)．【遷移拓展】請(qǐng)你結(jié)合以上情境，思考并提出一個(gè)合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題．（不要求作答）模型9.數(shù)軸上的線段移動(dòng)模型例1．（2023·廣東佛山·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有兩條線段，（單位長(zhǎng)度），（單位長(zhǎng)度）在數(shù)軸上，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，線段的長(zhǎng)=______；（2）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？（3）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度？變式1．（2023·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的長(zhǎng)度；(2)小亮把木棒m、n同時(shí)沿x軸正方向移動(dòng)，m、n的速度分別為4個(gè)單位/s和3個(gè)單位/s，設(shè)平移時(shí)間為t（s）①若在平移過(guò)程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)，則t＝（s）；②在平移過(guò)程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求t的值．變式2．（2023·河南信陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┮阎狹，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，且m，n滿足：|m﹣12|+（n+3）2＝0（1）則m＝，n＝；（2）①情境：有一個(gè)玩具火車(chē)AB如圖所示，放置在數(shù)軸上，將火車(chē)沿?cái)?shù)軸左右水平移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為n．則玩具火車(chē)的長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度：②應(yīng)用：一天，小明問(wèn)奶奶的年齡，奶奶說(shuō)：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢；你若是我現(xiàn)在這么大，我已是老壽星，116歲了!”小明心想：奶奶的年齡到底是多少歲呢？聰明的你能幫小明求出來(lái)嗎？（3）在（2）①的條件下，當(dāng)火車(chē)AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q從N、M出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左和向右運(yùn)動(dòng)．記火車(chē)AB運(yùn)動(dòng)后對(duì)應(yīng)的位置為A′B′．是否存在常數(shù)k使得3PQ﹣kB′A的值與它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)關(guān)？若存在，請(qǐng)求出k和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2023·北京·七年級(jí)期末）已知有理數(shù)滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，下列結(jié)論①；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，若點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變．其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④2．（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）已知點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)、、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，，，且，滿足，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以2單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，之后立刻恢復(fù)原速，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，、兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等．3．（2023·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我們規(guī)定：數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，如果數(shù)軸上存在某點(diǎn)，到點(diǎn)的距離是的整數(shù)倍，就把點(diǎn)稱(chēng)作點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)所表示的數(shù)是時(shí)，(1)如果存在點(diǎn)的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則_______；點(diǎn)所表示的數(shù)是_______；(2)如果點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)，若存在點(diǎn)最大的倍關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則_______．4．（23-24七年級(jí)上·陜西·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是數(shù)軸上三點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為．(1)點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_________，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_________．(2)動(dòng)點(diǎn)分別同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．請(qǐng)用含的代數(shù)式分別表示點(diǎn)、點(diǎn)所表示的數(shù)．

5．（2023·廣東深圳·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，M、N、P為數(shù)軸上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，速度為M點(diǎn)的3倍，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位．(1)若點(diǎn)M向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)，求多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)M與點(diǎn)N相距46個(gè)單位？(2)若點(diǎn)M、N、P同時(shí)都向右運(yùn)動(dòng)，求多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離相等？(3)當(dāng)時(shí)間t滿足時(shí)，M、N兩點(diǎn)之間，N、P兩點(diǎn)之間，M、P兩點(diǎn)之間分別有47個(gè)、37個(gè)、10個(gè)整數(shù)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t1，t2的值．6．（2023·河南南陽(yáng)·七年級(jí)期中）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)是最小的正整數(shù)，且滿足．（1）求的值；（2）若將數(shù)軸折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)_______表示的點(diǎn)重合；（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即返回，仍然以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)表示的有理數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)表示的有理數(shù)與點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的值．7．（2023·福建廈門(mén)·七年級(jí)?？计谥校┮阎欣頂?shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，且滿足，．(1)分別求a，b，c的值；(2)若點(diǎn)D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)A、D間距離是B、C間距離的4倍時(shí)，請(qǐng)求出x的值；(3)若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在一個(gè)常數(shù)k，使得的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的改變而改變？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023福建·七年級(jí)期末）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，在左邊兩個(gè)單位長(zhǎng)度處，在右邊個(gè)單位處。；；；若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)___表示的點(diǎn)重合；點(diǎn)開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度和個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過(guò)后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，則__，__，___；（用含的代數(shù)式表示）請(qǐng)問(wèn):的值是否隨著時(shí)間的變化而改變﹖若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其值．9．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·期中）【閱讀材料】若數(shù)軸上點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別為，（），則、兩點(diǎn)間的距離可表示為，記作．【解決問(wèn)題】一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始，先向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，再向右移動(dòng)10個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)．(1)請(qǐng)畫(huà)出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出、兩點(diǎn)的位置；(2)若動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒（）．①用含的代數(shù)式表示：秒時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____，點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____；②為何值時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)與點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)？③為何值時(shí)，，兩點(diǎn)之間的距離為4？10．（23-24七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）閱讀下面材料：若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，則兩點(diǎn)之間的距離表示為，且；回答下列問(wèn)題：(1)①數(shù)軸上表示和2的兩點(diǎn)和之間的距離是；②在①的情況下，如果，那么為；(2)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是．(3)若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示數(shù)，是最大的負(fù)整數(shù)，且，①直接寫(xiě)出的值．②點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過(guò)后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．請(qǐng)問(wèn)：的值是否隨著時(shí)間的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其值．

11．（2023·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與________表示的點(diǎn)重合．(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：①5表示的點(diǎn)與數(shù)________表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間距離為10（A在B左側(cè)），且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)為_(kāi)_______，點(diǎn)B表示的數(shù)為_(kāi)_______；(3)操作三：點(diǎn)E以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從數(shù)5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，且兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)直接寫(xiě)出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合．12．（2023·山東·七年級(jí)期中）已知，如圖，、、分別為數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為60，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，并且與點(diǎn)的距離為30，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)到距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的4倍．（1）求出數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)及的距離．（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以3單位/秒的速度項(xiàng)終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①點(diǎn)點(diǎn)在之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，則_______．（用含的代數(shù)式表示）；②點(diǎn)在點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，何時(shí)、、三點(diǎn)中其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)？求出相應(yīng)的時(shí)間．③當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)以5單位/秒速度從點(diǎn)出發(fā)，也向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即原速返回到點(diǎn)，那么點(diǎn)在往返過(guò)程中與點(diǎn)相遇幾次？直接寫(xiě)出相遇是點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)．13．（2023·成都市·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)軸上相距20個(gè)長(zhǎng)度單位，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，它們?cè)凇八铰肪€”射線BA和射線CD上的運(yùn)動(dòng)速度相同均為2個(gè)單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問(wèn)：(1)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B需要的時(shí)間為_(kāi)_____秒；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要的時(shí)間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等時(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)．14．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，18，且a、b滿足.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，線段為“變速區(qū)”，規(guī)則為：從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，之后也立刻恢復(fù)原速.當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)，，；(2)M，N兩點(diǎn)相遇時(shí)，求相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù).(3)點(diǎn)D為線段中點(diǎn)，當(dāng)t為多少秒時(shí)，？15．（22-23七年級(jí)上·四川成都·期中）已知數(shù)軸上有、、三點(diǎn)分別表示數(shù)，，，兩只電子螞蟻甲、乙分別從、兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的