一次函數(shù)的綜合與新定義函數(shù)問題壓軸題七種模型全攻略（學(xué)生版）

一次函數(shù)的綜合與新定義函數(shù)問題壓軸題七種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一次函數(shù)與三角形的面積問題】 1【考點二一次函數(shù)與三角形全等問題】 9【考點三一次函數(shù)與三角形存在問題】 21【考點四一次函數(shù)中折疊問題】 28【考點五一次函數(shù)——分段函數(shù)】 35【考點六絕對值的一次函數(shù)】 39【考點七新定義型一次函數(shù)】 44【典型例題】【考點一一次函數(shù)與三角形的面積問題】例題：（23-24八年級下·北京西城·開學(xué)考試）如圖，直線與軸交于點A，與直線交于點B，且直線與軸交于點C，求的面積．

【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·安徽宿州·期末）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，則的面積是．本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學(xué)2．（23-24八年級上·貴州貴陽·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，的圖象與軸，軸分別交于點，且兩個函數(shù)圖象相交于點．(1)填空：______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，諸求出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．A、B兩點的坐標分別為、，且；（按下列題目要求，自行補出需要的圖形）

(1)求的長；(2)點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．連接，若的面積為s，求s與t之間的關(guān)系式（不用寫出t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，過P作直線的垂線，垂足為D，直線與y軸交于點E，連接，連接并延長交于點F，在點P運動的過程中，當?shù)拿娣e等于8時，請求出點F的坐標．4．（22-23八年級上·江蘇蘇州·期末）如圖在平面直角坐標系中，過點的直線與直線相交于點，動點在線段和射線上運動．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求的面積；(3)是否存在點，使的面積與的面積相等？若存在求出此時點的坐標；若不存在，說明理由．【考點二一次函數(shù)與三角形全等問題】例題：（22-23八年級下·北京平谷·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交與A，B兩點，射線于點A，若點C是射線上的一個動點，點D是x軸上的一個動點，且以A，C，D為頂點的三角形與全等，則的長為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·廣東深圳·期中）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，于點，點為直線上不與點、重合的一個動點．在軸上存在（

）個點，使得以、、為頂點的三角形與全等．

A．2 B．4 C．5 D．62．（23-24八年級上·河南鄭州·期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，射線于點A，若點P是射線上的一個動點，點Q是x軸上的一個動點，且以P，Q，A為頂點的三角形與全等，則點P的坐標為．3．（23-24八年級上·陜西西安·期末）如圖，直線與軸，軸分別交于A，B兩點，點的坐標為，連接，過點作于點，點為線段上一個動點．

(1)的長為_____________，的長為_____________；(2)上是否存在一點，使得與全等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）已知：如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸，y軸交于點A，B，點C的坐標是．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)若直線上有一點P，且，求點P的坐標；(3)直線上方是否存在一點M，使得M、B、C三點構(gòu)成的三角形與全等？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．5．（23-24八年級上·廣東梅州·期中）如圖：直線與軸、軸分別交于、兩點，，點是直線上與、不重合的動點．

(1)求直線的解析式；(2)作直線，當點運動到什么位置時，的面積被直線分成的兩部分；本號資料全部來源于#：數(shù)學(xué)(3)過點的另一直線與軸相交于點，是否存在點使與全等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．【考點三一次函數(shù)與三角形存在問題】例題：（2023春·八年級課時練習）如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點，．點F是線段上的一個動點（不與A，B重合），連接．設(shè)點F的橫坐標為x．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)當?shù)拿娣e．①判斷此時線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②第四象限內(nèi)是否存在一點P，使是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級豐順縣豐順中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，直線AB：與軸交于點C，且點，.(1)點C的坐標為(2)求原點O到直線的距離；(3)在x軸上是否存在一點P，使得是直角三角形?若存在，求出點P的坐標.2．（2023秋·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線：交軸于點，交軸于點，點在直線上．(1)求，的值；(2)已知是軸上的動點，當以，，為頂點的三角形是直角三角形時，求點的坐標．【考點四一次函數(shù)中折疊問題】例題：（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在同一平面直角坐標系中，直線：與直線：相交于點．與軸交于點，直線與軸交于點(1)填空：______，______，______；本號資料全部來源于微信*公眾號：數(shù)學(xué)(2)如圖2．點為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交軸于點．①求線段的長度；②當點落在軸上時，求點的坐標；③若為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點的坐標．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·平洲一中八年級期中）已知：直線y＝x+6與x軸、y軸分別相交于點A和點B，點C在線段AO上．將△ABO沿BC折疊后，點O恰好落在AB邊上點D處，(1)求A點的坐標和B點的坐標；(2)求AB的長？(3)求出OC的長？2．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系xoy中，點O是坐標原點，直線：與直線：交于點A，兩直線與x軸分別交于點和．(1)求直線和的表達式．(2)點P是y軸上一點，當最小時，求點P的坐標．(3)如圖2，點D為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點F，若為直角三角形，求點D坐標．【考點五一次函數(shù)——分段函數(shù)】例題：在一次函數(shù)學(xué)習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程．小紅對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了如下探究，請同學(xué)們認真閱讀探究過程并解答：（1）請同學(xué)們把小紅所列表格補充完整，并在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象：x…-10123456…y…

﹣2

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2…（2）根據(jù)函數(shù)圖象，以下判斷該函數(shù)性質(zhì)的說法，正確的有．①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱；②此函數(shù)無最小值；③當x＜3時，y隨x的增大而增大；當x≥3時，y的值不變．（3）若直線y＝x+b與函數(shù)y＝的圖象只有一個交點，則b＝．【變式訓(xùn)練】1．我們學(xué)習了正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究函數(shù)y＝|x|的圖象與性質(zhì)．（1）我們知道，請利用以前所學(xué)知識在給出的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)圖象；（2）通過觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；（3）利用學(xué)過的平移知識，說說函數(shù)y＝|x﹣4|＋1是怎樣由函數(shù)y＝|x|平移得來的？并利用（1）中給出的平面直角坐標系畫出函數(shù)y＝|x﹣4|＋1圖象．【考點六絕對值的一次函數(shù)】例題：（2022·河南·長葛市教學(xué)研究室八年級期末）小慧根據(jù)學(xué)習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行了探究．本號資料*全部來源于微信公眾#號：數(shù)學(xué)x…－10123…y…b1012…下面是小慧的探究過程，請補充完成：(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是______；(2)列表，找出y與x的幾組對應(yīng)值．其中，b＝_____；(3)在平面直角坐標系xOy中，描出以上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象；(4)函數(shù)的最小值為____________．(5)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：_________________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南漯河·八年級期末）有這樣一個問題：探究函數(shù)y＝|x＋1|的圖象與性質(zhì)．下面是小明的探究過程，請補充完整：(1)函數(shù)y＝|x＋1|的自變量x的取值范圍是；(2)下表是x與y的幾組對應(yīng)值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…432m01234…m的值為；(3)在如圖網(wǎng)格中，建立平面直角坐標系xOy，描出表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象；(4)小明根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出此函數(shù)的兩條性質(zhì)．2．（2022·山西大同·八年級期末）某學(xué)習小組探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．下面是該組同學(xué)的探究過程，請補充完整：(1)函數(shù)中自變量的取值范圍是______．(2)下表是與的幾組對應(yīng)值．…－6－5－4－3－2－1012……4320134…填空：______，______．(3)在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，建立合適的平面直角坐標系，描出以上表中各組對應(yīng)值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象．(4)根據(jù)所畫函數(shù)圖象，你能得出哪些合理的結(jié)論？（寫出一條即可）【考點七新定義型一次函數(shù)】例題：（2023上·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）定義：在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)圖象上到兩坐標軸的距離之和等于的點，叫做該函數(shù)圖象的“n階和點”．例如，為一次函數(shù)的“3階和點”．(1)若點是y關(guān)于x的正比例函數(shù)的“n階和點”，則______，______；(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一次函數(shù)圖象的“7階和點”，求k的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建南平·八年級順昌縣第一中學(xué)?？茧A段練習）定義：對于一次函數(shù)，我們稱函數(shù)為函