一次函數(shù)的綜合與新定義函數(shù)問題壓軸題七種模型全攻略（學(xué)生版）

一次函數(shù)的綜合與新定義函數(shù)問題壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一次函數(shù)與三角形的面積問題】 1【考點(diǎn)二一次函數(shù)與三角形全等問題】 9【考點(diǎn)三一次函數(shù)與三角形存在問題】 21【考點(diǎn)四一次函數(shù)中折疊問題】 28【考點(diǎn)五一次函數(shù)——分段函數(shù)】 35【考點(diǎn)六絕對(duì)值的一次函數(shù)】 39【考點(diǎn)七新定義型一次函數(shù)】 44【典型例題】【考點(diǎn)一一次函數(shù)與三角形的面積問題】例題：（23-24八年級(jí)下·北京西城·開學(xué)考試）如圖，直線與軸交于點(diǎn)A，與直線交于點(diǎn)B，且直線與軸交于點(diǎn)C，求的面積．

【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·安徽宿州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則的面積是．本號(hào)資料全部來源于微信#公眾號(hào)：數(shù)學(xué)2．（23-24八年級(jí)上·貴州貴陽·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，且兩個(gè)函數(shù)圖象相交于點(diǎn)．(1)填空：______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，諸求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且；（按下列題目要求，自行補(bǔ)出需要的圖形）

(1)求的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接，若的面積為s，求s與t之間的關(guān)系式（不用寫出t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，過P作直線的垂線，垂足為D，直線與y軸交于點(diǎn)E，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)?shù)拿娣e等于8時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．4．（22-23八年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段和射線上運(yùn)動(dòng)．(1)求直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)求的面積；(3)是否存在點(diǎn)，使的面積與的面積相等？若存在求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)二一次函數(shù)與三角形全等問題】例題：（22-23八年級(jí)下·北京平谷·期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交與A，B兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)A，若點(diǎn)C是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與全等，則的長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上不與點(diǎn)、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．在軸上存在（

）個(gè)點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與全等．

A．2 B．4 C．5 D．62．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)A，若點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以P，Q，A為頂點(diǎn)的三角形與全等，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．3．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·期末）如圖，直線與軸，軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)的長(zhǎng)為_____________，的長(zhǎng)為_____________；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得與全等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（23-24八年級(jí)上·浙江紹興·期末）已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若直線上有一點(diǎn)P，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)直線上方是否存在一點(diǎn)M，使得M、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與全等？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（23-24八年級(jí)上·廣東梅州·期中）如圖：直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上與、不重合的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)作直線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積被直線分成的兩部分；本號(hào)資料全部來源于#：數(shù)學(xué)(3)過點(diǎn)的另一直線與軸相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【考點(diǎn)三一次函數(shù)與三角形存在問題】例題：（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，．點(diǎn)F是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），連接．設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)求的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)當(dāng)?shù)拿娣e．①判斷此時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；②第四象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使是以為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級(jí)豐順縣豐順中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：與軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)，.(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)求原點(diǎn)O到直線的距離；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得是直角三角形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).2．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線：交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．(1)求，的值；(2)已知是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)四一次函數(shù)中折疊問題】例題：（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：相交于點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)(1)填空：______，______，______；本號(hào)資料全部來源于微信*公眾號(hào)：數(shù)學(xué)(2)如圖2．點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交軸于點(diǎn)．①求線段的長(zhǎng)度；②當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；③若為直角三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·平洲一中八年級(jí)期中）已知：直線y＝x+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AO上．將△ABO沿BC折疊后，點(diǎn)O恰好落在AB邊上點(diǎn)D處，(1)求A點(diǎn)的坐標(biāo)和B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求AB的長(zhǎng)？(3)求出OC的長(zhǎng)？2．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與直線：交于點(diǎn)A，兩直線與x軸分別交于點(diǎn)和．(1)求直線和的表達(dá)式．(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點(diǎn)F，若為直角三角形，求點(diǎn)D坐標(biāo)．【考點(diǎn)五一次函數(shù)——分段函數(shù)】例題：在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程．小紅對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了如下探究，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀探究過程并解答：（1）請(qǐng)同學(xué)們把小紅所列表格補(bǔ)充完整，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象：x…-10123456…y…

﹣2

﹣1

0

2

2

2…（2）根據(jù)函數(shù)圖象，以下判斷該函數(shù)性質(zhì)的說法，正確的有．①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②此函數(shù)無最小值；③當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥3時(shí)，y的值不變．（3）若直線y＝x+b與函數(shù)y＝的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則b＝．【變式訓(xùn)練】1．我們學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究函數(shù)y＝|x|的圖象與性質(zhì)．（1）我們知道，請(qǐng)利用以前所學(xué)知識(shí)在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象；（2）通過觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：；（3）利用學(xué)過的平移知識(shí)，說說函數(shù)y＝|x﹣4|＋1是怎樣由函數(shù)y＝|x|平移得來的？并利用（1）中給出的平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)y＝|x﹣4|＋1圖象．【考點(diǎn)六絕對(duì)值的一次函數(shù)】例題：（2022·河南·長(zhǎng)葛市教學(xué)研究室八年級(jí)期末）小慧根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．本號(hào)資料*全部來源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)x…－10123…y…b1012…下面是小慧的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完成：(1)函數(shù)的自變量x的取值范圍是______；(2)列表，找出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．其中，b＝_____；(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；(4)函數(shù)的最小值為____________．(5)結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)（一條即可）：_________________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·河南漯河·八年級(jí)期末）有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y＝|x＋1|的圖象與性質(zhì)．下面是小明的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)函數(shù)y＝|x＋1|的自變量x的取值范圍是；(2)下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…432m01234…m的值為；(3)在如圖網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，描出表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象；(4)小明根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出此函數(shù)的兩條性質(zhì)．2．（2022·山西大同·八年級(jí)期末）某學(xué)習(xí)小組探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．下面是該組同學(xué)的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：(1)函數(shù)中自變量的取值范圍是______．(2)下表是與的幾組對(duì)應(yīng)值．…－6－5－4－3－2－1012……4320134…填空：______，______．(3)在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，描出以上表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，并畫出該函數(shù)的圖象．(4)根據(jù)所畫函數(shù)圖象，你能得出哪些合理的結(jié)論？（寫出一條即可）【考點(diǎn)七新定義型一次函數(shù)】例題：（2023上·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于的點(diǎn)，叫做該函數(shù)圖象的“n階和點(diǎn)”．例如，為一次函數(shù)的“3階和點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)是y關(guān)于x的正比例函數(shù)的“n階和點(diǎn)”，則______，______；(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一次函數(shù)圖象的“7階和點(diǎn)”，求k的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建南平·八年級(jí)順昌縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：對(duì)于一次函數(shù)，我們稱函數(shù)為函