模型23 勾股定理-趙爽弦圖模型-原卷版

第六講勾股定理模型（二十三）——趙爽弦圖模型◎結論1：在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，則四邊形EHGF是正方形【證明】在正方形中，BE=CF=GD=AH，∴AE=BF=CG=HD,又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴Rt△BEF≌Rt△CFG≌Rt△DGH≌Rt△AHE，∴EF＝FG＝GH＝HE,∠AHE＝∠BEF，∵∠AEH＋∠AHE＝90°∴∠AEH十∠BEF＝90°∴∠FEH＝90°∴四邊形EHGF是正方形.◎結論2：如圖所示，在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，則四邊形ORQP是正方形【證明】∵EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴四邊形AHPE、四邊形EBFQ、四邊形FCGP、四邊形HOGD均為長方形，∴△AEH≌△PHE≌△BFE≌△QEF≌△CGF≌△RFG≌△DHG≌△OGH,∴HP=EQ=FR=GO,EP=FQ=GR=HO,∴OP=PQ=QR=RO，且∠ROP=180°-∠HOG＝90°，∴四邊形ORQP為正方形.◎結論3：如圖所示，在正方形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA上分別取點E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，則（1）S正方形=4S十S正方形;（2）S正方形=4S十S正方形;（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.（4）2S正方形=S正方形十S正方形注：常見的勾股數組合①3,4,5；②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;1．（2022·福建·廈門雙十中學思明分校八年級期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結論：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③2．（2022·遼寧·丹東市第五中學七年級期末）如圖是“趙爽弦圖”，由個全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，設直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，則的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·鄭州經開區(qū)外國語女子中學八年級期末）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．如圖是由四個完全相同的直角三角形和一個小正方形進行的鑲嵌，其中直角三角形的一個角等于，若小正方形的邊長為，則大正方形的邊長為(

)A． B． C． D．1．（2022·北京十一晉元中學八年級期中）用四個全等的直角三角形鑲嵌而成的正方形如圖所示，已知大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，若x，y表示直角三角形的兩直角邊長（x＞y），給出下列四個結論正確的是_____．（填序號即可）①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9．2．（2022·河南南陽·八年級期末）把圖①中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖②，③所示的正方形（圖②中大正方形邊長為5，圖③中中間小正方形邊長為1），則圖①中菱形的面積為________．3．（2022·山西呂梁·八年級期末）如圖是一幅趙爽弦圖，利用此圖可以證明勾股定理．現連接BE，發(fā)現AB＝BE，若DE＝1，則正方形ABCD的面積為________．4．（2022·河南安陽·八年級期末）中國古代數學家們對于勾股定理的發(fā)現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了數學研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀我國漢代的數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個全等的直角三角形可以圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則的值是____________．1．（2022·四川宜賓·中考真題）我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為______．2．（2020·湖南婁底·中考真題）由4個直角邊長