3模塊培優(yōu).二次函數(shù)實際應用.尖子班.教師版

PAGE1二次函數(shù)實際應用二次函數(shù)實際應用知識互聯(lián)網(wǎng)知識互聯(lián)網(wǎng)模塊一實際應用問題模塊一實際應用問題知識導航知識導航實際應用問題主要考查漲降價、面積等問題，講解時要明確等量關系．夯實基礎夯實基礎如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三角形△ACD和△BCE，則求DE長的最小值． 如圖，連接DE．設則，∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝，∴∠DCE＝90°，故，當時，取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．故答案為：1．能力提升能力提升(1)某商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件。如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于72元）。設每件商品的售價上漲元（為整數(shù)），每個月的銷售利潤為元，①求與的函數(shù)關系式，并直接寫出的取值范圍；②每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？【解析】(1)①，即，其中；②當時（滿足），每月可獲得最大利潤，即最大月利潤是2250元. (2)小明爸爸經(jīng)營的水果店出售一種優(yōu)質(zhì)熱帶水果，正在上初三的小明經(jīng)過調(diào)查和計算，發(fā)現(xiàn)這種水果每月的銷售量y(千克)與銷售單價x（元）之間存在著一次函數(shù)關系：．下面是他們的一次對話：小明：“您要是告訴我咱家這種水果的進價是多少？我就能幫你預測好多信息呢！”爸爸：“咱家這種水果的進價是每千克20元”聰明的你，也來解答一下小明想要解決的三個問題：①若每月獲得利潤w(元）是銷售單價x（元）的函數(shù)，求這個函數(shù)的解析式．②當銷售單價為多少元時，每月可獲得最大利潤？③如果想要每月從這種水果的銷售中獲利2000元，那么銷售單價應該定為多少元？【解析】(2)①②，∴時，每月獲得利潤最大；③當時，∴解得，答：每月銷售單價應定為30元或40元.某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000t，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量與費用之間的函數(shù)圖象是頂點在原點的拋物線的一部分（如圖甲）；該產(chǎn)品的年銷量與銷售單價之間的函數(shù)圖象是線段（如圖乙），若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能在當年銷售完，問該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少噸時，所獲得的毛利潤最大．（毛利潤=銷售額-費用） 設年產(chǎn)量（t）與費用（萬元）之間函數(shù)解析式為，由題意可得，解得：，即：.設年銷量（t）與銷售單價（萬元/t）之間的函數(shù)解析式為，由題意，可得解得：，即：設毛利潤為萬元，由題意，可得（其中），因為，所以當時，隨的增大而增大，因而在時，圖象達到最高點，故當年產(chǎn)量為1000噸時，所獲得的毛利潤最大.模塊二建系解決實際問題模塊二建系解決實際問題知識導航知識導航建系解決實際問題主要考查足球、籃球、羽毛球等運動軌跡，拱橋、橋洞等形狀類似于拋物線的實際問題，解題時，要合理建系，充分利用圖象上的點坐標解題．夯實基礎夯實基礎(1)如圖，濟南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達式為．小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需秒．設在10秒時到達A點，在26秒時到達B，∵10秒時和26秒時拱梁的高度相同，∴A，B關于對稱軸對稱。則從A到B需要16秒，從A到D需要8秒?！鄰腛到D需要10+8=18秒?！鄰腛到C需要2×18=36秒。 (2)如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球 看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x(m)滿足關系式. 已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離 為18m。①當時，求y與x的關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）②當時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；③若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。①把，及代入到，即；∴當時，y與x的關系式為 ②當時， ∵當時，，∴球能越過網(wǎng)。 ∵當時，即，解得(舍去)， ，∴球會過界。 ③把，代入到，得； 時，① 時，② 由①②解得； ∴若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，的取值范圍為。圖中是拋物線形拱橋，當水面寬為4米時，拱頂距離水面2米；當水面高度下降1米時，水面寬度為多少米？ 如圖所示，建立平面直角坐標系.設二次函數(shù)的解析式為.∵圖象經(jīng)過點，∴，.∴.當時，.答：當水面高度下降1米時，水面寬度為米.能力提升能力提升如圖，小明在一次高爾夫球訓練中，從山坡下P點打出一球向球洞A點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大高度BD為12米時，球移動的水平距離PD為9米．已知山坡PA與水平方向PC的夾角為30o，AC⊥PC于點C，P、A兩點相距米．請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼到鉀Q下列問題.（1）求水平距離PC的長；（2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從P點直接打入球洞A．（1）PC的長為12m.（2）以P為原點，PC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，可知：頂點B(9，12),拋物線經(jīng)過原點.∴設拋物線的解析式為.∴，求得.∴.（3）由（1）知C(12,0),易求得.∴.當x=12時，.∴小明不能一桿把高爾夫球從P點直接打入球洞A.

為迎接第四屆世界太陽能大會，德州市把主要路段的路燈更換為太陽能路燈．已知太陽能路燈售價為5000元/個，目前兩個商家有此產(chǎn)品．甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個，按原價付款；若一次購買100個以上，且購買的個數(shù)每增加一個，其價格減少10元，但太陽能路燈的售價不得低于3500元/個．乙店一律按原價的銷售．現(xiàn)購買太陽能路燈個，如果全部在甲商家購買，則所需金額為元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為元.分別求出、與之間的函數(shù)關系式.由題意可知，當時，購買一個需元，故；當時，因為購買個數(shù)每增加一個，其價格減少元，但售價不得低于元/個，所以．即時，購買一個需元，故；當時，購買一個需元，故；所以，．忽略對x的取值范圍進行討論.第03講精講：二次函數(shù)應用題：建系原則探究二次函數(shù)應用題有一類實際問題，解決此類問題的關鍵是如何把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即“數(shù)學建?！保皹颉⑶锴У壬畛Ｒ娔Ｐ投伎山瓶礊閽佄锞€形，所以可把這些圖形抽象為拋物線．為此，建立直角坐標系．根據(jù)拋物線的有關知識和題目條件，來分析得出此類問題的答案．【變式1】如圖，橋拱是拋物線形，其函數(shù)解析式為，當水位線在AB位置時，水面的寬為12米，這時水面離橋頂?shù)母叨萮是多少？【解析】水面線AB離橋頂?shù)母叨萮，就是拋物線上點B的縱坐標的絕對值．由圖知，點B的橫坐標為6，把x＝6代入，得，所以h＝．即水面到橋頂?shù)母叨萮是9米．【變式2】如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為米．【解析】如圖建立平面直角坐標系，求出繩子所在拋物線的函數(shù)關系式為；當時，繩子的高度距地面最低為米.

【變式3】有一拋物線形拱橋，水位在最初的位置時，水面寬米，水位上升3米就到達警戒線，這時水面寬米，若洪水到來時，水位以每小時0.25米速度上升，求水過警戒線后幾個小時淹到拱橋頂？【解析】以初水面線AB所在直線為x軸，AB中點為原點O，建立直角坐標系如圖，則拋物線的頂點M在y軸上，且A、B兩點的坐標分別為，，警戒線C、D兩點的坐標分別為，．設拋物線的解析式為①把B，D分別代入式①，得解得∴拋物線的解析式為，頂點M到AB的距離為6米．設：CD與y軸的交點為N∵ON＝3（已知）∴MN＝＝6－3＝3（米）．（小時）．答案水過警戒線后12小時淹到拱橋頂．【總結(jié)】本題中沒有直角坐標系，為利用二次函數(shù)拋物線的有關知識，必須首先建立直角坐標系．如何建立直角坐標系呢？建立直角坐標系時應遵循怎樣的原則？此題中，以AB所在直線為x軸，AB的中點為原點建立直角坐標系，主要是因為拋物線具有對稱性．另外，若以拋物線頂點M為坐標原點，以平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標系，可設，解析式更簡單，但是題中的已知條件不易利用．A，B，C，D四點的坐標不能直接得出，很難求出解析式．所以，在建立直角坐標系時，一般遵循以下兩個原則：所建坐標系使求出的二次函數(shù)解析式比較簡單．已知點所在位置選取適當方法求解析式．

思維拓展訓練(選講)思維拓展訓練(選講)某機械租賃公司有同一型號的機械設備套．經(jīng)過一段時間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當每套機械設備的月租金為元時，恰好全部租出．在此基礎上，當每套設備的月租金每提高元時，這種設備就少租出一套，且未租出的一套設備每月需要支出費用（維護費、管理費等）元．設每套設備的月租金為（元），租賃公司出租該型號設備的月收益為元．⑴用含的代數(shù)式表示未租出的設備數(shù)（套）以及所有未租出設備（套）的支出費用；⑵求與之間的函數(shù)關系式；⑶當為何值時，租賃公司出租該型號設備的月收益最大？最大月收益是多少？⑴（套）；（元）⑵=3\*GB2⑶由⑵得∴當時，有最大值．但是，當月租金為元時，租出設備套數(shù)為，而不是整數(shù)，故租出設備應為（套）或（套）．即當月租金為元（租出套）或月租金為元（租出套）時，租賃公司的月收益最大，最大月收益均為元．點評：此題要考慮為整數(shù)，取離對稱軸最近的點取到最值.某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進行了調(diào)查．調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價（元）與銷售月份（月）滿足關系式，而其每千克成本（元）與銷售月份（月）滿足的函數(shù)關系如圖所示．⑴試確定、的值；⑵求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤（元）與銷售月份（月）之間的函數(shù)關系式；⑶“五·一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？⑴由題意：2524y22524y2（元）x（月）123456789101112O⑵；⑶∵，∴拋物線開口向下．在對稱軸左側(cè)隨的增大而增大．由題意，所以在4月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大．最大利潤（元）．如圖，現(xiàn)有一橫截面是一拋物線的水渠．一次，水渠管理員將一根長的標桿一端放在水渠底部的點，另一端露出水面并靠在水渠邊緣的點，發(fā)現(xiàn)標桿有浸沒在水中（），露出水面部分的標桿（）與水面成的夾角（標桿與拋物線的橫截面在同一平面內(nèi)），以水面所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系．⑴求該水渠橫截面拋物線的解析式；⑵求當水面再上升時的水面寬約為多少？（，結(jié)果精確到）．⑴由題可得，且為拋物線頂點，則設二次函數(shù)為過點，∴．∴．⑵由題意，，解得，∴距離米．

實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練知識模塊一實際應用問題課后演練某批發(fā)市場批發(fā)甲、乙兩種水果，根據(jù)以往經(jīng)驗和市場行情，預計夏季某一段時間內(nèi)，甲種水果的銷售利潤（萬元）與進貨量（噸）近似滿足函數(shù)關系；乙種水果的銷售利潤（萬元）與進貨量（噸）近似滿足函數(shù)關系（其中，為常數(shù)），且進貨量為噸時，銷售利潤為萬元；進貨量為噸時，銷售利潤為萬元．⑴求（萬元）與（噸）之間的函數(shù)關系式．⑵如果市場準備進甲、乙兩種水果共噸，設乙種水果的進貨量為噸，請你寫出這兩種水果所獲得的銷售利潤之和（萬元）與（噸）之間的函數(shù)關系式．并求出這兩種水果各進多少噸時獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少？⑴由題意，得：，解得，∴．⑵∴，∴時，有最大值為．∴（噸）．答：甲、乙兩種水果的進貨量分別為噸和噸時，獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是萬元．某賓館有客房間，當每間客房的定價為每天元時，客房會全部住滿．當每間客房每天的定價每漲元時，就會有間客房空閑．如果旅客居住客房，賓館需對每間客房每天支出元的各種費用．⑴請寫出該賓館每天的利潤（元）與每間客房漲價（元）之間的函數(shù)關系式；⑵設某天的利潤為元，元的利潤是否為該天的最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并指出此時客房定價應為多少元？⑴由題意得：⑵元不是最大利潤．由當且僅當時，取得最大值8450，又∴元不是最大利潤，最大利潤是元，此時的客房定價應為元．/成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為w內(nèi)（元）．/受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納x2

元的附加費，設月利潤為w外（元）（利潤

=

銷售額－成本－附加費）．⑴當x

=

1000時，y

=元/件，w內(nèi)

=元；⑵分別求出w內(nèi)，w外與x間的函數(shù)關系式（不必寫x的取值范圍）；⑶當x為何值時，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求a的值.⑴140，57500；⑵w內(nèi)

==x2＋130x，w外=x2＋（）x．⑶當x

=

=

6500時，w內(nèi)最大；由題意得，解得a1

=

30，a2

=

270（不合題意，舍去）．所以a

=

30．知識模塊二建系解決實際問題課后演練如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為米．．如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時，水面寬，如果水位上升，就將達到警戒線，這時水面的寬為．若洪水到來時，水位以每小時的速度上升，經(jīng)過多少小時會達到拱頂?（延慶期末）以所在的直線為軸，中點為原點，建立直角坐標系，則拋物線的頂點在軸上，且、兩點的坐標分別為、，設拋物線的解析式為．由、兩點在拋物線上，有解這個方程組，得所以，頂點的坐標為則，所以，若洪水到來，水位以每小時的速度上升，經(jīng)過小時會達到拱頂．

課后測課后測如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度（m）與水平距離（m）之間的關系是．則他將鉛球推出的距離是m．某校初三年級的一場籃球比賽中，如圖隊員甲正在投籃，已知球出手點離地面高，與籃圈中心點的水平距離為，當球出手后水平距離為時到達最高點，已知離地面的高度為，設籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈距離地面．⑴建立如圖的平面直角坐標系，問此球能否準確投中？⑵此時，若對方隊員乙在甲前面處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為，那么乙能否獲得成功？⑴由題可得為頂點，，設拋物線為，把代入解析式得，即．∵點橫坐標為7，∴，，∴拋物線過，即能夠投中．⑵時，，所以可以成功．朝著目標努力，成功會到手一個叫泰莉的空中小姐，很喜歡環(huán)游世界。另一個空中小姐寶玲也一樣，但她還希望有自己的事業(yè)，最好與旅游有關。寶玲每到一個地方，就不停地記下她經(jīng)歷到的一切，尤其是當?shù)氐穆灭^及餐廳狀況，并不時把自己的經(jīng)驗提供給乘客。終于，她被調(diào)到旅游行程安排的部門，因為她就像一本活頁百科全書，