3模塊培優(yōu).二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用.尖子班.教師版

PAGE1二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)模塊一實(shí)際應(yīng)用問題模塊一實(shí)際應(yīng)用問題知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航實(shí)際應(yīng)用問題主要考查漲降價(jià)、面積等問題，講解時(shí)要明確等量關(guān)系．夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，則求DE長的最小值． 如圖，連接DE．設(shè)則，∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝，∴∠DCE＝90°，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1．故答案為：1．能力提升能力提升(1)某商品的進(jìn)價(jià)為每件50元，售價(jià)為每件60元，每個(gè)月可賣出200件。如果每件商品的售價(jià)上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于72元）。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲元（為整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤為元，①求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍；②每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大月利潤是多少元？【解析】(1)①，即，其中；②當(dāng)時(shí)（滿足），每月可獲得最大利潤，即最大月利潤是2250元. (2)小明爸爸經(jīng)營的水果店出售一種優(yōu)質(zhì)熱帶水果，正在上初三的小明經(jīng)過調(diào)查和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)這種水果每月的銷售量y(千克)與銷售單價(jià)x（元）之間存在著一次函數(shù)關(guān)系：．下面是他們的一次對(duì)話：小明：“您要是告訴我咱家這種水果的進(jìn)價(jià)是多少？我就能幫你預(yù)測(cè)好多信息呢！”爸爸：“咱家這種水果的進(jìn)價(jià)是每千克20元”聰明的你，也來解答一下小明想要解決的三個(gè)問題：①若每月獲得利潤w(元）是銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的解析式．②當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？③如果想要每月從這種水果的銷售中獲利2000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)該定為多少元？【解析】(2)①②，∴時(shí)，每月獲得利潤最大；③當(dāng)時(shí)，∴解得，答：每月銷售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元.某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000t，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量與費(fèi)用之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖甲）；該產(chǎn)品的年銷量與銷售單價(jià)之間的函數(shù)圖象是線段（如圖乙），若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，問該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，所獲得的毛利潤最大．（毛利潤=銷售額-費(fèi)用） 設(shè)年產(chǎn)量（t）與費(fèi)用（萬元）之間函數(shù)解析式為，由題意可得，解得：，即：.設(shè)年銷量（t）與銷售單價(jià)（萬元/t）之間的函數(shù)解析式為，由題意，可得解得：，即：設(shè)毛利潤為萬元，由題意，可得（其中），因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，隨的增大而增大，因而在時(shí)，圖象達(dá)到最高點(diǎn)，故當(dāng)年產(chǎn)量為1000噸時(shí)，所獲得的毛利潤最大.模塊二建系解決實(shí)際問題模塊二建系解決實(shí)際問題知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航建系解決實(shí)際問題主要考查足球、籃球、羽毛球等運(yùn)動(dòng)軌跡，拱橋、橋洞等形狀類似于拋物線的實(shí)際問題，解題時(shí)，要合理建系，充分利用圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)解題．夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)(1)如圖，濟(jì)南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達(dá)式為．小強(qiáng)騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當(dāng)小強(qiáng)騎自行車行駛10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同，則小強(qiáng)騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需秒．設(shè)在10秒時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，在26秒時(shí)到達(dá)B，∵10秒時(shí)和26秒時(shí)拱梁的高度相同，∴A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱。則從A到B需要16秒，從A到D需要8秒?！鄰腛到D需要10+8=18秒?！鄰腛到C需要2×18=36秒。 (2)如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球 看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式. 已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離 為18m。①當(dāng)時(shí)，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）②當(dāng)時(shí)，球能否越過球網(wǎng)？球會(huì)不會(huì)出界？請(qǐng)說明理由；③若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍。①把，及代入到，即；∴當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為 ②當(dāng)時(shí)， ∵當(dāng)時(shí)，，∴球能越過網(wǎng)。 ∵當(dāng)時(shí)，即，解得(舍去)， ，∴球會(huì)過界。 ③把，代入到，得； 時(shí)，① 時(shí)，② 由①②解得； ∴若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，的取值范圍為。圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面寬為4米時(shí)，拱頂距離水面2米；當(dāng)水面高度下降1米時(shí)，水面寬度為多少米？ 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)二次函數(shù)的解析式為.∵圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，.∴.當(dāng)時(shí)，.答：當(dāng)水面高度下降1米時(shí)，水面寬度為米.能力提升能力提升如圖，小明在一次高爾夫球訓(xùn)練中，從山坡下P點(diǎn)打出一球向球洞A點(diǎn)飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當(dāng)球達(dá)到最大高度BD為12米時(shí)，球移動(dòng)的水平距離PD為9米．已知山坡PA與水平方向PC的夾角為30o，AC⊥PC于點(diǎn)C，P、A兩點(diǎn)相距米．請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系解決下列問題.（1）求水平距離PC的長；（2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從P點(diǎn)直接打入球洞A．（1）PC的長為12m.（2）以P為原點(diǎn)，PC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可知：頂點(diǎn)B(9，12),拋物線經(jīng)過原點(diǎn).∴設(shè)拋物線的解析式為.∴，求得.∴.（3）由（1）知C(12,0),易求得.∴.當(dāng)x=12時(shí)，.∴小明不能一桿把高爾夫球從P點(diǎn)直接打入球洞A.

為迎接第四屆世界太陽能大會(huì)，德州市把主要路段的路燈更換為太陽能路燈．已知太陽能路燈售價(jià)為5000元/個(gè)，目前兩個(gè)商家有此產(chǎn)品．甲商家用如下方法促銷：若購買路燈不超過100個(gè)，按原價(jià)付款；若一次購買100個(gè)以上，且購買的個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少10元，但太陽能路燈的售價(jià)不得低于3500元/個(gè)．乙店一律按原價(jià)的銷售．現(xiàn)購買太陽能路燈個(gè)，如果全部在甲商家購買，則所需金額為元；如果全部在乙商家購買，則所需金額為元.分別求出、與之間的函數(shù)關(guān)系式.由題意可知，當(dāng)時(shí)，購買一個(gè)需元，故；當(dāng)時(shí)，因?yàn)橘徺I個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少元，但售價(jià)不得低于元/個(gè)，所以．即時(shí)，購買一個(gè)需元，故；當(dāng)時(shí)，購買一個(gè)需元，故；所以，．忽略對(duì)x的取值范圍進(jìn)行討論.第03講精講：二次函數(shù)應(yīng)用題：建系原則探究二次函數(shù)應(yīng)用題有一類實(shí)際問題，解決此類問題的關(guān)鍵是如何把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即“數(shù)學(xué)建模”．拱橋、秋千等生活常見模型都可近似看為拋物線形，所以可把這些圖形抽象為拋物線．為此，建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)拋物線的有關(guān)知識(shí)和題目條件，來分析得出此類問題的答案．【變式1】如圖，橋拱是拋物線形，其函數(shù)解析式為，當(dāng)水位線在AB位置時(shí)，水面的寬為12米，這時(shí)水面離橋頂?shù)母叨萮是多少？【解析】水面線AB離橋頂?shù)母叨萮，就是拋物線上點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．由圖知，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6，把x＝6代入，得，所以h＝．即水面到橋頂?shù)母叨萮是9米．【變式2】如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為米．【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，求出繩子所在拋物線的函數(shù)關(guān)系式為；當(dāng)時(shí)，繩子的高度距地面最低為米.

【變式3】有一拋物線形拱橋，水位在最初的位置時(shí)，水面寬米，水位上升3米就到達(dá)警戒線，這時(shí)水面寬米，若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)0.25米速度上升，求水過警戒線后幾個(gè)小時(shí)淹到拱橋頂？【解析】以初水面線AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系如圖，則拋物線的頂點(diǎn)M在y軸上，且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，警戒線C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．設(shè)拋物線的解析式為①把B，D分別代入式①，得解得∴拋物線的解析式為，頂點(diǎn)M到AB的距離為6米．設(shè)：CD與y軸的交點(diǎn)為N∵ON＝3（已知）∴MN＝＝6－3＝3（米）．（小時(shí)）．答案水過警戒線后12小時(shí)淹到拱橋頂．【總結(jié)】本題中沒有直角坐標(biāo)系，為利用二次函數(shù)拋物線的有關(guān)知識(shí)，必須首先建立直角坐標(biāo)系．如何建立直角坐標(biāo)系呢？建立直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循怎樣的原則？此題中，以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，主要是因?yàn)閽佄锞€具有對(duì)稱性．另外，若以拋物線頂點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)，解析式更簡單，但是題中的已知條件不易利用．A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)不能直接得出，很難求出解析式．所以，在建立直角坐標(biāo)系時(shí)，一般遵循以下兩個(gè)原則：所建坐標(biāo)系使求出的二次函數(shù)解析式比較簡單．已知點(diǎn)所在位置選取適當(dāng)方法求解析式．

思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展訓(xùn)練(選講)某機(jī)械租賃公司有同一型號(hào)的機(jī)械設(shè)備套．經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每套機(jī)械設(shè)備的月租金為元時(shí)，恰好全部租出．在此基礎(chǔ)上，當(dāng)每套設(shè)備的月租金每提高元時(shí)，這種設(shè)備就少租出一套，且未租出的一套設(shè)備每月需要支出費(fèi)用（維護(hù)費(fèi)、管理費(fèi)等）元．設(shè)每套設(shè)備的月租金為（元），租賃公司出租該型號(hào)設(shè)備的月收益為元．⑴用含的代數(shù)式表示未租出的設(shè)備數(shù)（套）以及所有未租出設(shè)備（套）的支出費(fèi)用；⑵求與之間的函數(shù)關(guān)系式；⑶當(dāng)為何值時(shí)，租賃公司出租該型號(hào)設(shè)備的月收益最大？最大月收益是多少？⑴（套）；（元）⑵=3\*GB2⑶由⑵得∴當(dāng)時(shí)，有最大值．但是，當(dāng)月租金為元時(shí)，租出設(shè)備套數(shù)為，而不是整數(shù)，故租出設(shè)備應(yīng)為（套）或（套）．即當(dāng)月租金為元（租出套）或月租金為元（租出套）時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益均為元．點(diǎn)評(píng)：此題要考慮為整數(shù)，取離對(duì)稱軸最近的點(diǎn)取到最值.某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對(duì)歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價(jià)（元）與銷售月份（月）滿足關(guān)系式，而其每千克成本（元）與銷售月份（月）滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示．⑴試確定、的值；⑵求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤（元）與銷售月份（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；⑶“五·一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？⑴由題意：2524y22524y2（元）x（月）123456789101112O⑵；⑶∵，∴拋物線開口向下．在對(duì)稱軸左側(cè)隨的增大而增大．由題意，所以在4月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大．最大利潤（元）．如圖，現(xiàn)有一橫截面是一拋物線的水渠．一次，水渠管理員將一根長的標(biāo)桿一端放在水渠底部的點(diǎn)，另一端露出水面并靠在水渠邊緣的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)標(biāo)桿有浸沒在水中（），露出水面部分的標(biāo)桿（）與水面成的夾角（標(biāo)桿與拋物線的橫截面在同一平面內(nèi)），以水面所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．⑴求該水渠橫截面拋物線的解析式；⑵求當(dāng)水面再上升時(shí)的水面寬約為多少？（，結(jié)果精確到）．⑴由題可得，且為拋物線頂點(diǎn)，則設(shè)二次函數(shù)為過點(diǎn)，∴．∴．⑵由題意，，解得，∴距離米．

實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練知識(shí)模塊一實(shí)際應(yīng)用問題課后演練某批發(fā)市場批發(fā)甲、乙兩種水果，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和市場行情，預(yù)計(jì)夏季某一段時(shí)間內(nèi)，甲種水果的銷售利潤（萬元）與進(jìn)貨量（噸）近似滿足函數(shù)關(guān)系；乙種水果的銷售利潤（萬元）與進(jìn)貨量（噸）近似滿足函數(shù)關(guān)系（其中，為常數(shù)），且進(jìn)貨量為噸時(shí)，銷售利潤為萬元；進(jìn)貨量為噸時(shí)，銷售利潤為萬元．⑴求（萬元）與（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式．⑵如果市場準(zhǔn)備進(jìn)甲、乙兩種水果共噸，設(shè)乙種水果的進(jìn)貨量為噸，請(qǐng)你寫出這兩種水果所獲得的銷售利潤之和（萬元）與（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式．并求出這兩種水果各進(jìn)多少噸時(shí)獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少？⑴由題意，得：，解得，∴．⑵∴，∴時(shí)，有最大值為．∴（噸）．答：甲、乙兩種水果的進(jìn)貨量分別為噸和噸時(shí)，獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是萬元．某賓館有客房間，當(dāng)每間客房的定價(jià)為每天元時(shí)，客房會(huì)全部住滿．當(dāng)每間客房每天的定價(jià)每漲元時(shí)，就會(huì)有間客房空閑．如果旅客居住客房，賓館需對(duì)每間客房每天支出元的各種費(fèi)用．⑴請(qǐng)寫出該賓館每天的利潤（元）與每間客房漲價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；⑵設(shè)某天的利潤為元，元的利潤是否為該天的最大利潤？如果是，請(qǐng)說明理由；如果不是，請(qǐng)求出最大利潤，并指出此時(shí)客房定價(jià)應(yīng)為多少元？⑴由題意得：⑵元不是最大利潤．由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值8450，又∴元不是最大利潤，最大利潤是元，此時(shí)的客房定價(jià)應(yīng)為元．/成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤為w內(nèi)（元）．/受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，），當(dāng)月銷量為x（件）時(shí)，每月還需繳納x2

元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤為w外（元）（利潤

=

銷售額－成本－附加費(fèi)）．⑴當(dāng)x

=

1000時(shí)，y

=元/件，w內(nèi)

=元；⑵分別求出w內(nèi)，w外與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫x的取值范圍）；⑶當(dāng)x為何值時(shí)，在國內(nèi)銷售的月利潤最大？若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求a的值.⑴140，57500；⑵w內(nèi)

==x2＋130x，w外=x2＋（）x．⑶當(dāng)x

=

=

6500時(shí)，w內(nèi)最大；由題意得，解得a1

=

30，a2

=

270（不合題意，舍去）．所以a

=

30．知識(shí)模塊二建系解決實(shí)際問題課后演練如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡易的秋千．拴繩子的地方距地面高都是米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為米．．如圖，有一座拋物線形的拱橋，橋下面處在目前的水位時(shí)，水面寬，如果水位上升，就將達(dá)到警戒線，這時(shí)水面的寬為．若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)的速度上升，經(jīng)過多少小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂?（延慶期末）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的頂點(diǎn)在軸上，且、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，設(shè)拋物線的解析式為．由、兩點(diǎn)在拋物線上，有解這個(gè)方程組，得所以，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為則，所以，若洪水到來，水位以每小時(shí)的速度上升，經(jīng)過小時(shí)會(huì)達(dá)到拱頂．

課后測(cè)課后測(cè)如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度（m）與水平距離（m）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是m．某校初三年級(jí)的一場籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手點(diǎn)離地面高，與籃圈中心點(diǎn)的水平距離為，當(dāng)球出手后水平距離為時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，已知離地面的高度為，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈距離地面．⑴建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？⑵此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前面處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為，那么乙能否獲得成功？⑴由題可得為頂點(diǎn)，，設(shè)拋物線為，把代入解析式得，即．∵點(diǎn)橫坐標(biāo)為7，∴，，∴拋物線過，即能夠投中．⑵時(shí)，，所以可以成功．朝著目標(biāo)努力，成功會(huì)到手一個(gè)叫泰莉的空中小姐，很喜歡環(huán)游世界。另一個(gè)空中小姐寶玲也一樣，但她還希望有自己的事業(yè)，最好與旅游有關(guān)。寶玲每到一個(gè)地方，就不停地記下她經(jīng)歷到的一切，尤其是當(dāng)?shù)氐穆灭^及餐廳狀況，并不時(shí)把自己的經(jīng)驗(yàn)提供給乘客。終于，她被調(diào)到旅游行程安排的部門，因?yàn)樗拖褚槐净铐摪倏迫珪?/p>