隨機過程：第四章 白噪聲和正態(tài)隨機過程

隨機信號分析第四章白噪聲和正態(tài)隨機過程本章學習的主要內(nèi)容★多維正態(tài)隨機變量★正態(tài)隨機過程的分布特性★白噪聲和限帶噪聲4.1正態(tài)隨機變量★一維正態(tài)隨機變量★二維正態(tài)隨機變量★多維正態(tài)隨機變量★正態(tài)隨機變量的線性變換4.2正態(tài)隨機過程的分布特性★一般正態(tài)過程★平穩(wěn)正態(tài)過程4.3白噪聲和限帶噪聲★白噪聲的定義★白噪聲的特性★白噪聲通過線性系統(tǒng)★限帶噪聲本堂課的作業(yè)★第169頁習題4.124.134.1.1一維正態(tài)隨機變量★一維正態(tài)隨機變量如果隨機變量X的一維概率密度滿足式中m和σ為常數(shù)，則稱X服從正態(tài)分布。4.1.2二維正態(tài)隨機變量★定義設(shè)兩個隨機變量X1和X2，如果它們的聯(lián)合概率密度為

4.1.2二維正態(tài)隨機變量★定義（續(xù)）式中x1、x2分別表示X1與X2的某個取值，m1和m2分別為其均值，和分別為其方差，r表示X(t1)和X(t2)的相關(guān)系數(shù)。則稱X1與X2是聯(lián)合正態(tài)分布的。4.1.2二維正態(tài)隨機變量★定義（續(xù)）相應(yīng)的二維特征函數(shù)為4.1.2二維正態(tài)隨機變量★邊緣分布兩個隨機變量X1和X2的邊緣分布分別為4.1.2二維正態(tài)隨機變量★邊緣分布（續(xù)）上兩式說明，如果兩個隨機變量X1和X2是聯(lián)合正態(tài)的，則它們的邊緣分布也是正態(tài)分布的。

4.1.2二維正態(tài)隨機變量★邊緣分布（續(xù)）如果X1與X2互不相關(guān)，即r等于零，那么上式表示，兩個正態(tài)隨機變量如不相關(guān)，則必相互獨立。4.1.2二維正態(tài)隨機變量★條件分布兩個隨機變量X1和X2的條件分布為4.1.2二維正態(tài)隨機變量★條件分布（續(xù)）條件均值為條件方差為如果r=0，則4.1.2二維正態(tài)隨機變量★二維分布的矩陣形式對于二維以上的概率密度表達式，可以采用矩陣形式來表示。定義4.1.2二維正態(tài)隨機變量★二維分布的矩陣形式（續(xù)）隨機變量X1與X2的協(xié)方差矩陣為則K的行列式為

K的逆矩陣為

4.1.2二維正態(tài)隨機變量★二維分布的矩陣形式（續(xù)）

那么

式中T表示轉(zhuǎn)置。

4.1.2二維正態(tài)隨機變量★二維分布的矩陣形式（續(xù)）

如果把這些關(guān)系代入(4.1.1)式中，則X1與X2的二維概率密度可表示為

4.1.2二維正態(tài)隨機變量★二維分布的矩陣形式（續(xù)）

二維特征函數(shù)可用矩陣形式表示為

式中

4.1.3多維正態(tài)隨機變量★定義

設(shè)有n個隨機變量X1,X2,…,Xn，如果它們的n維聯(lián)合概率密度為

4.1.3多維正態(tài)隨機變量★定義（續(xù)）式中

K為n個隨機變量的協(xié)方差矩陣，Kii(i=1,2,…,n)為Xi的方差，而Kij=rijσiσj

(i,j=1,2,…,n;i≠j)則為Xi與Xj的協(xié)方差，則稱n個隨機變量X1,X2,…,Xn是聯(lián)合正態(tài)分布的。4.1.3多維正態(tài)隨機變量★定義（續(xù)）

X1,X2,…,Xn的n維聯(lián)合特征函數(shù)為

式中4.1.3多維正態(tài)隨機變量★特性如果隨機變量X1,X2,…,Xn彼此不相關(guān)，即i≠j時，Kij=0，則協(xié)方差矩陣為4.1.3多維正態(tài)隨機變量★特性（續(xù)）

于是有

和4.1.3多維正態(tài)隨機變量★特性（續(xù)）

代入(4.1.11)式中，得

4.1.3多維正態(tài)隨機變量★特性（續(xù)）

上式表明，如果隨機變量X1,X2,…,Xn彼此不相關(guān)，則它們的n維聯(lián)合概率密度等于它們各自的一維概率密度之積，即X1,X2,…,Xn是彼此獨立的。

4.1.4正態(tài)隨機變量的線性變換★正態(tài)隨機變量的線性變換設(shè)有一n維正態(tài)隨機向量X，定義如下線性變換其中4.1.4正態(tài)隨機變量的線性變換★正態(tài)隨機變量的線性變換（續(xù)）則由(4.1.16)式，可得式中L－1為L的逆矩陣。

由此可知隨機矢量的概率密度為

4.1.4正態(tài)隨機變量的線性變換★正態(tài)隨機變量的線性變換（續(xù)）式中，

J為雅可比行列式，它定義為

4.1.4正態(tài)隨機變量的線性變換★正態(tài)隨機變量的線性變換（續(xù)）由(4.1.17)式，可得

所以

4.1.4正態(tài)隨機變量的線性變換★正態(tài)隨機變量的線性變換（續(xù)）

可見，經(jīng)過(4.1.16)式的線性變換后，Y仍服從正態(tài)分布，其均值為Lm，協(xié)方差陣為LKLT。

4.2.1一般正態(tài)過程★定義

設(shè)隨機過程X(t)，如果它的任意n維分布都服從正態(tài)分布，則稱X(t)為正態(tài)過程。

4.2.1一般正態(tài)過程★一維分布

設(shè)X(t)為正態(tài)隨機過程，對于任意的時刻t1，X(t1)是一個正態(tài)隨機變量，它的概率分布密度為

式中x1為X(t1)的取值，m1和分別為X(t1)的均值和方差。

4.2.1一般正態(tài)過程★一維分布（續(xù)）

X(t)的一維特征函數(shù)為

將(4.2.1)式代入上式，得

4.2.1一般正態(tài)過程★一維分布（續(xù)）

隨機變量X(t1)的n階中心矩為

式中(n-1)!!表示奇數(shù)連乘。

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布

正態(tài)隨機過程X(t)在任意兩個時刻t1和t2，X(t1)和X(t2)是兩個聯(lián)合正態(tài)的隨機變量，它們的聯(lián)合概率密度為

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布（續(xù)）

式中x1、x2分別表示X(t1)與X(t2)的取值，m1和m2分別為其均值，和分別表示其方差，r12表示X(t1)和X(t2)的相關(guān)系數(shù)。

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布（續(xù)）

正態(tài)隨機過程X(t)相應(yīng)的二維特征函數(shù)為

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布（續(xù)）如果X(t1)與X(t2)互不相關(guān)，則r12等于零，那么4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布（續(xù)）

上式表示，兩個正態(tài)隨機變量如不相關(guān)，則必相互獨立，這時的特征函數(shù)為

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布的矩陣形式對于二維以上的概率密度表達式，可以采用矩陣形式來表示。定義4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布的矩陣形式（續(xù)）定義協(xié)方差矩陣為則K的行列式為

K的逆矩陣為

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布的矩陣形式（續(xù)）

那么

式中T表示轉(zhuǎn)置。

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布的矩陣形式（續(xù)）

如果把這些關(guān)系代入(4.2.4)式中，則X(t)的二維概率密度可表示為

4.2.1一般正態(tài)過程★二維分布的矩陣形式（續(xù)）

二維特征函數(shù)可用矩陣形式表示為

式中

4.2.1一般正態(tài)過程★多維分布

X(t)的n維概率密度為

4.2.1一般正態(tài)過程★多維分布（續(xù)）式中

K為X(t)的協(xié)方差矩陣，Kii(i=1,2,…,n)為X(ti)的方差，而Kij=rijσiσj

(i,j=1,2,…,n;i≠j)則為X(ti)與X(tj)的協(xié)方差。4.2.1一般正態(tài)過程★多維分布（續(xù)）

X(t)的n維特征函數(shù)為

式中4.2.1一般正態(tài)過程★多維分布（續(xù)）

對于任意兩個時刻ti與tj(i≠j)，若隨機變量X(ti)與X(tj)不相關(guān)，即i≠j時，Kij=0，則協(xié)方差矩陣為

4.2.1一般正態(tài)過程★多維分布（續(xù)）

于是有

和4.2.1一般正態(tài)過程★多維分布（續(xù)）

代入(4.2.14)式中，得

4.2.1一般正態(tài)過程★多維分布（續(xù)）

上式表明，正態(tài)過程X(t)如果在不同時刻互不相關(guān)，則其n維概率密度等于n個一維概率密度之積。因此對于正態(tài)過程而言，不相關(guān)和獨立的概念是等價的。另外，正態(tài)過程的n維概率密度只取決于一、二階矩，因此它是比較簡單的過程。

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★定義

設(shè)X(t)是正態(tài)隨機過程，如果它的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)僅依賴于時間間隔τ(τ=t1-t2)，則稱X(t)為平穩(wěn)正態(tài)過程。

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★一維分布

平穩(wěn)正態(tài)過程X(t)的一維概率密度和特征函數(shù)與時間t無關(guān)，即有

式中m和σ2分別為X(t)的均值和方差。

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★二維分布

對于任意兩個時刻t1和t2，隨機變量X(t1)和X(t2)的協(xié)方差矩陣為

式中τ=t1-t2，r(τ)為X(t1)和X(t2)的相關(guān)系數(shù)

。

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★二維分布（續(xù)）

而r為相關(guān)系數(shù)矩陣，即

將(4.2.21)式代入(4.2.12)式，得出平穩(wěn)正態(tài)過程的二維概率密度為

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★二維分布（續(xù)）

式中

而r由(4.2.22)式給出。

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★二維分布（續(xù)）

同理可得二維特征函數(shù)為

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★n維分布

類似于二維分布，可直接寫出n維概率密度為

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★n維分布（續(xù)）

式中

其中4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★n維分布（續(xù)）

同理，n維特征函數(shù)為

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★平穩(wěn)正態(tài)過程統(tǒng)計特性分析

從(4.2.21)至(4.2.26)式可以看出，正態(tài)過程的統(tǒng)計特性只取決于一、二階矩，如果它滿足廣義平穩(wěn)性，即它的均值函數(shù)為常數(shù)，而相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，那么它的n維概率密度也只與時間間隔有關(guān)，而與時間的起點無關(guān)，即滿足狹義平穩(wěn)的條件。因此，對于正態(tài)過程而言，廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)的概念是等價的。

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★平穩(wěn)正態(tài)白噪聲

若平穩(wěn)正態(tài)過程具有均勻的功率譜密度，則稱此過程為平穩(wěn)正態(tài)白噪聲，也叫δ相關(guān)正態(tài)過程。例如，電子管的散彈噪聲的功率譜可達103MHz，因此一般都把這些噪聲作為平穩(wěn)正態(tài)白噪聲來處理。

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★平穩(wěn)正態(tài)白噪聲（續(xù)）假定X(t)是零均值、方差為σ2的平穩(wěn)正態(tài)白噪聲。根據(jù)白噪聲的特性，其相關(guān)函數(shù)為其中N0為常數(shù)。4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★平穩(wěn)正態(tài)白噪聲（續(xù)）

因此，對于任意兩個不同的時刻ti、tk，X(ti)與X(tk)是不相關(guān)的，對于正態(tài)隨機變量而言，不相關(guān)即等于獨立，所以，X(t)的n維概率密度為

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★平穩(wěn)正態(tài)白噪聲＋信號在實際應(yīng)用中常會遇到平穩(wěn)正態(tài)白噪聲N(t)與信號S(t)之和的隨機過程X(t)，即X(t)=N(t)+S(t)。

設(shè)N(t)的均值為零，方差為σ2，則X(t)的一維概率密度為

4.2.2平穩(wěn)正態(tài)過程★平穩(wěn)正態(tài)白噪聲＋信號（續(xù)）

從上式可以看出，X(t)仍為正態(tài)過程，但此時一維概率密度依賴于時間t。因此，一般平穩(wěn)正態(tài)噪聲與信號之和是非平穩(wěn)的正態(tài)過程。

4.3.1白噪聲的定義★引言隨機信號的功率譜密度從頻域反映了隨機信號的統(tǒng)計特性，它表示信號的平均功率在整個軸上的分布情況。在實際中，經(jīng)常遇到這樣的隨機信號，它的功率譜集中在某個頻帶內(nèi)，而在其他頻域內(nèi)為零，這種隨機信號稱為限帶信號。另外一種隨機信號，它的功率譜在很寬的頻率范圍內(nèi)為常數(shù)，這種隨機信號稱為白噪聲。4.3.1白噪聲的定義★白噪聲的定義設(shè)隨機信號X(t)的均值為零，如果其相關(guān)函數(shù)為

則稱為X(t)白噪聲，如果V(t1)=N0/2為常數(shù)，則是X(t)平穩(wěn)白噪聲，此時它的功率譜密度為即平穩(wěn)白噪聲的功率譜在整個頻率軸上的分布是均勻的。4.3.1白噪聲的特性★白噪聲的特性1、白噪聲在任意相鄰時刻的取值是不相關(guān)的（白噪聲隨時間的起伏變化極快）。2、白噪聲的平均功率是無限的。4.3.2白噪聲通過線性系