2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用階段綜合測(cè)評(píng)練習(xí)含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE11-第五章階段綜合測(cè)評(píng)限時(shí)120分鐘分值150分戰(zhàn)報(bào)得分______一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一個(gè)正確選項(xiàng))1．設(shè)全集為R，集合A＝{1，2，3}，B＝{x|y＝eq\r(x－2)}，則A∩(RB)＝()A．{1，2} B．{1} C ．{1，3} D．{1，2，3}【解析】選B.因?yàn)閤－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞)，所以RB＝(－∞，2)，又A＝{1，2，3}，所以A∩(RB)＝{1}．2．若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，則“a＝2”是“B?A”的()A.充分不必要條件 B．必要不充分條件C.充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】選A.A＝{x|x2－5x＋4＜0}＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}．若B?A，則滿意解得2≤a≤3，所以“a＝2”是“B?A”的充分不必要條件．3．函數(shù)y＝eq\r(x)＋eq\f(1,x－1)的定義域?yàn)?)A.[0，1) B．(1，＋∞)C.(0，1)∪(1，＋∞) D．[0，1)∪(1，＋∞)【解析】選D.由題意，可得，解得0≤x<1或x>1.所以函數(shù)y＝eq\r(x)＋eq\f(1,x－1)的定義域?yàn)閇0，1)∪(1，＋∞).4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，則cx2＋bx＋a<0的解集是()A.(－∞，2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))【解析】選D.不等式ax2＋bx＋c>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，所以－eq\f(1,2)和2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩實(shí)數(shù)解，且a<0；由根與系數(shù)的關(guān)系知，，解得c＝－a，b＝－eq\f(3,2)a；所以不等式cx2＋bx＋a<0化為－ax2－eq\f(3,2)ax＋a<0，即2x2＋3x－2<0，解得－2<x<eq\f(1,2)，所以不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).5．已知0<x<1，則x(2021－2021x)的最大值為()A.eq\f(2021,3) B．eq\f(2021,2)C.eq\f(2021,4) D．eq\f(4042,3)【解析】選C.因?yàn)?<x<1，所以1－x>0，所以x＋(1－x)≥2eq\r(x（1－x）)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立，所以2eq\r(x（1－x）)≤1，整理得x(1－x)≤eq\f(1,4)，即x(2021－2021x)≤eq\f(2021,4).所以x(2021－2021x)的最大值為eq\f(2021,4).6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，則不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,8)x))>0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)【解析】選C.因?yàn)閒(logeq\f(1,8)x)>0＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))?f(logeq\f(1,8)x)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，又f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以|logeq\f(1,8)x|>eq\f(1,3)，所以logeq\f(1,8)x>eq\f(1,3)或logeq\f(1,8)x<－eq\f(1,3)，所以0<x<eq\f(1,2)或x>2，所以不等式f(logeq\f(1,8)x)>0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞).7．已知函數(shù)f(x)＝，若函數(shù)y＝f(x)－k有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()A.(－∞，2) B．(－∞，1)C.(2，＋∞) D．(1，＋∞)【解析】選D.由函數(shù)y＝log2x與y＝log2(4－x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，可得f(x)的圖象如圖所示，所以當(dāng)k>1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．8．定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＝2f(x)，且當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝，g(x)＝ax＋1，對(duì)?x1∈[－2，0]，?x2∈[－2，1]，使得g(x2)＝f(x1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))C.(0，8]D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,8)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))【解析】選A.由題知問題等價(jià)于函數(shù)f(x)在[－2，0]上的值域是函數(shù)g(x)在[－2，1]上的值域的子集．當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝，由二次函數(shù)及對(duì)勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)，得f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(9,2)))，由f(x＋2)＝2f(x)，可得f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋2)＝eq\f(1,4)f(x＋4)，當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，x＋4∈[2，4].則f(x)在[－2，0]上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(9,8))).當(dāng)a>0時(shí)，g(x)∈[－2a＋1，a＋1]，則有，解得a≥eq\f(1,8)；當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，不符合題意；當(dāng)a<0時(shí)，g(x)∈[a＋1，－2a＋1]，則有，解得a≤－eq\f(1,4).綜上所述，a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞)).二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分)9．下列計(jì)算正確的是()A.eq\r(12,（－3）4)＝eq\r(3,－3)B.21－log23＝eq\f(2,3)C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D.log3(－4)2＝4log32【解析】選BCD.eq\r(12,（－3）4)＝eq\r(12,34)＝eq\r(3,3)，A錯(cuò)誤；21－log23＝eq\f(2,2log23)＝eq\f(2,3)，B正確；eq\r(\r(3,9))＝(9eq\f(1,3))eq\f(1,2)＝(3eq\f(2,3))eq\f(1,2)＝3eq\f(1,3)＝eq\r(3,3)，C正確；log3(－4)2＝log316＝log324＝4log32，D正確．10．對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的隨意x1，x2(x1≠x2)，當(dāng)f(x)＝lgx時(shí)，下述結(jié)論中正確的是()A.f(0)＝1B.f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)C.f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)D.eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0【解析】選CD.對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)，故f(0)無意義，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x1＝1，x2＝2時(shí)，f(x1＋x2)＝f(3)＝lg3，f(x1)·f(x2)＝lg1·lg2＝0，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，f(x1·x2)＝lg(x1·x2)＝lgx1＋lgx2＝f(x1)＋f(x2)，所以C正確；對(duì)于D，f(x)＝lgx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則對(duì)隨意的0<x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，即eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，所以D正確．11．下列說法正確的是()A.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在定義域上是減函數(shù)B.函數(shù)f(x)＝2x－x2有且只有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)y＝2|x|的最小值是1D.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x與y＝2－x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【解析】選CD.對(duì)于A，f(x)＝eq\f(1,x)在定義域上不具有單調(diào)性，故說法錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)f(x)＝2x－x2有三個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)負(fù)值，兩個(gè)正值，故說法錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閨x|≥0，所以2|x|≥20＝1，所以函數(shù)y＝2|x|的最小值是1，故說法正確；對(duì)于D，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x與y＝2－x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，說法正確．12．對(duì)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)有如下結(jié)論，其中結(jié)論正確的是()A.函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)是減函數(shù)C.函數(shù)f(x)的最小值是lg2D.f(x)無最大值，也無最小值【解析】選AC.f(－x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝f(x)，所以A正確；f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|＋\f(1,|x|)))，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，所以B錯(cuò)；|x|＋eq\f(1,|x|)≥2，lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|＋\f(1,|x|)))≥lg2，C正確，D錯(cuò)．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13．命題“?x∈R，x2－2x－3>0”的否定是________．【解析】命題“?x∈R，x2－2x－3>0”的否定是“?x∈R，x2－2x－3≤0”．答案：?x∈R，x2－2x－3≤014．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，設(shè)g(x)＝f(x)＋a，若g(x)的最大值為M，最小值為m，且M＋m＝5，則實(shí)數(shù)a的值為________．【解析】因?yàn)間(x)＝f(x)＋a，所以f(x)＝g(x)－a，所以f(x)max＝g(x)max－a，f(x)min＝g(x)min－a，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max－a＋g(x)min－a＝0，所以M＋m＝2a＝5，所以a＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)15．已知函數(shù)f(x)＝log6(x＋1)，則f(1)＋f(2)＝______；f(x)>0的解集為______．【解析】因?yàn)閒(x)＝log6(x＋1)，所以f(1)＋f(2)＝log62＋log63＝log66＝1.由f(x)>0可得log6(x＋1)>0，所以x＋1>1，所以x>0.答案：1(0，＋∞)16．已知函數(shù)f(x)＝lg(2x－b)(b為常數(shù))，若x∈[1，＋∞)時(shí)，f(x)≥0恒成立，則b的取值范圍是______．【解析】因?yàn)橐筬(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)時(shí)，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立．又因?yàn)間(x)＝2x在定義域上是增函數(shù)，所以只要2≥b＋1成馬上可，解得b≤1.答案：(－∞，1]四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，求A∪B；(2)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)榧螦＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}，當(dāng)m＝－1時(shí)，B＝{x|－2<x<2}，所以A∪B＝{x|－2<x<3}．(2)由A∩B＝?，得：當(dāng)B＝?時(shí)，2m≥1－m，即m≥eq\f(1,3)，符合題意；當(dāng)B≠?時(shí)，或，解得0≤m<eq\f(1,3)或?，即0≤m<eq\f(1,3)，綜上，m的取值范圍是m≥0.18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－(m＋1)x＋m＋1.(1)若關(guān)于x的不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式f(x)<1.【解析】(1)因?yàn)閒(x)≥0，即關(guān)于x的不等式x2－(m＋1)x＋m＋1≥0恒成立，所以Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)≤0，解得－1≤m≤3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是－1≤m≤3.(2)原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)－1<0，即x2－(m＋1)x＋m＝(x－m)(x－1)<0，當(dāng)m>1時(shí)，1<x<m；當(dāng)m<1時(shí)，m<x<1；當(dāng)m＝1時(shí)，不等式無解；綜上可得，當(dāng)m>1時(shí)，不等式的解集為{x|1<x<m}；當(dāng)m<1時(shí)，不等式的解集為{x|m<x<1}；當(dāng)m＝1時(shí)，不等式無解．19．(12分)已知x>0，a為大于2x的常數(shù)．(1)求函數(shù)y＝x(a－2x)的最大值；(2)求y＝eq\f(1,a－2x)－x的最小值．【解析】(1)因?yàn)閤>0，a>2x，所以y＝x(a－2x)＝eq\f(1,2)·2x(a－2x)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋a－2x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2,8)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝a－2x時(shí)，即x＝eq\f(a,4)時(shí)，等號(hào)成立，因此，函數(shù)y＝x(a－2x)的最大值為eq\f(a2,8).(2)因?yàn)閍>2x，則a－2x>0，所以y＝eq\f(1,a－2x)－x＝eq\f(1,a－2x)＋eq\f(a－2x,2)－eq\f(a,2)≥2eq\r(\f(1,a－2x)·\f(a－2x,2))－eq\f(a,2)＝eq\r(2)－eq\f(a,2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a－2x)＝eq\f(a－2x,2)時(shí)，即當(dāng)x＝eq\f(a－\r(2),2)時(shí)，等號(hào)成立，因此，函數(shù)y＝eq\f(1,a－2x)－x的最小值為eq\r(2)－eq\f(a,2).20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在區(qū)間(－2，＋∞)上為增函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：對(duì)隨意x∈(－∞，－2)，f(x)>x－2恒成立．【解析】(1)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝eq\f(a（x＋2）＋1－2a,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，因?yàn)閒(x)在(－2，＋∞)上為增函數(shù)，而y＝eq\f(1,x＋2)為減函數(shù)，所以1－2a<0，即a>eq\f(1,2)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)f(x)－(x－2)＝eq\f(ax＋1,x＋2)－eq\f(x2－4,x＋2)＝eq\f(－x2＋ax＋5,x＋2)，設(shè)g(x)＝－x2＋ax＋5＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋5＋eq\f(a2,4)，由(1)知a>eq\f(1,2)，g(x)的對(duì)稱軸x＝eq\f(a,2)>－2，開口向下，所以g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x<－2時(shí)，g(x)<g(－2)，g(－2)＝－(－2)2－2a＋5＝1－2a，因?yàn)閍>eq\f(1,2)，所以g(－2)<0，所以?x∈(－∞，－2)，g(x)<0，又x＋2<0，所以f(x)－(x－2)>0，所以?x∈(－∞，－2)，f(x)>x－2恒成立．21．(12分)已知函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，記f(x)＝eq\f(ax,ax＋2).(1)求a的值；(2)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2021)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2021)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2020,2021)))的值．【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，而函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，所以a＋a2＝20，解得a＝4或a＝－5(舍去)，所以a＝4.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(4x,4x＋2)，所以f(x)＋f(1－x)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(41－x,41－x＋2)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(\f(4,4x),\f(4,4x)＋2)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(4,2×4x＋4)＝eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(2,4x＋2)＝1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2021)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2021)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2020,2021)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2020,2021)))))＋[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2021)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019,2021)))]＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1010,2021)))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1011,2021)))))＝1010.22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的圖象過點(diǎn)P(0，2).(1)求k的值并求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)h(x)＝2f(x)－a·2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋1))，是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)隨意x1∈[0，4]，存在x2∈[0，2]使|h(x1)|≥f(x2)＋2成立？若存在，求出