三角形的五心-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

平面幾何是培養(yǎng)嚴(yán)密推理能力的很好數(shù)學(xué)分支，且因其證法多種多樣：除了幾何證法外，還有三角函數(shù)法、解析法、復(fù)數(shù)法、向量法等許多證法，這方面的問題受到各種競賽的青睞，現(xiàn)在每一屆的聯(lián)賽的第二試都有一道幾何題.平面幾何的知識(shí)競賽要求：三角形的邊角不等關(guān)系;面積及等積變換;三角形的心（內(nèi)心、外心、垂心、重心、旁心）及其性質(zhì);四個(gè)重要定理;幾個(gè)重要的極值：到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)--費(fèi)馬點(diǎn),到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)--重心,三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)-----重心;簡單的等周問題。平面幾何中的知識(shí)點(diǎn)《高中數(shù)學(xué)競賽大綱》中平面幾何的要求幾個(gè)重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理．三角形中的幾個(gè)特殊點(diǎn)：旁心、費(fèi)馬點(diǎn)，歐拉線．幾何不等式．幾何極值問題．幾何中的變換：對稱、平移、旋轉(zhuǎn)．圓的冪和根軸．面積方法，復(fù)數(shù)方法，向量方法，解析幾何方法．三角形的五心（一）——三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心旁心：旁切圓的圓心，是三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線和另外兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線的交點(diǎn)1、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.OABC圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。若A,B,C三點(diǎn)不共線，P點(diǎn)與A,B,C的三點(diǎn)距離相等，則P點(diǎn)為三角形ABC的外心1、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等。推論1：在同一弧或等弧所對的圓周角中，它們的角度相等；在同一圓或等圓中，對應(yīng)的圓周角相等，則其所對的弧亦相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角為直角，而90°的圓周角所對的弦為直徑。推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則該三角形為直角三角形，并且D是該三角形的外接圓圓心，DC=DA=DB。折疊例1過等腰△ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對稱點(diǎn)P1.試證：P1點(diǎn)在△ABC外接圓上.例2.A、B、C三點(diǎn)共線，O點(diǎn)在直線外，O1，O2，O3分別為△OAB，△OBC，△OCA的外心.求證：O，O1，O2，O3四點(diǎn)共圓.判定“四點(diǎn)共圓”的方法:（1)若對角互補(bǔ)，則四點(diǎn)共圓；（2）若線段同一側(cè)的兩點(diǎn)對線段的張角相等，則四點(diǎn)共圓；（3）圓的割線定理成立，則四點(diǎn)共圓；（4）相交弦定理的逆定理成立，則四點(diǎn)共圓；（5）托勒密定理的逆定理成立，則四點(diǎn)共圓（6）西姆松定理逆定理成立，則四點(diǎn)共圓“四點(diǎn)共圓”概念：點(diǎn)對圓的冪已知圓O，如果點(diǎn)P在圓O外，過P點(diǎn)作圓O的割線，它與圓O交于A,B兩點(diǎn)：切割線定理：切割線定理是指從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的等比中項(xiàng)逆定理：共端點(diǎn)P但不共線的兩條射線，其中一條上有兩點(diǎn)A,B，另一條上有一點(diǎn)C，若滿足,則ABC和射線PC相切于C

用于證明圓與直線相切概念：點(diǎn)對圓的冪割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離之積相等即：過P點(diǎn)另作一條圓的割線A1B1，由切割線定理，有：逆定理：共端點(diǎn)P但不共線的兩條射線上有兩點(diǎn)A,B和C,D，若滿足則A,B,C,D四點(diǎn)共圓若P點(diǎn)在圓O內(nèi)，則有：

概念：點(diǎn)對圓的冪相交弦定理：經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩線段的積相等。逆定理：兩條線段AB，CD交于P點(diǎn)，若，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓結(jié)論：點(diǎn)P無論在圓O外還是在圓O內(nèi)，過P點(diǎn)作圓O的割線，也無論它與圓O如何相交，始終為常數(shù)，我們把該常數(shù)叫做點(diǎn)P對

的冪，記作：概念：點(diǎn)對圓的冪考慮特殊的割線（過圓心的割線EF）即：P在圓外，P在圓上，P在圓內(nèi)，圓冪定理：相交弦定理、切割線定理、割線定理例3.如圖，已知的弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PA=4,PB=3,PC=6,EA切于點(diǎn)A，AE與CD的延長線交于點(diǎn)E，EA=，求PE的長例4.過三角形ABC的頂點(diǎn)A的直線，與其旁切圓交于PQ兩點(diǎn)，T為切點(diǎn)，求證：AP+AQ>C△ABC弦切角定理弦切角定理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧對應(yīng)的圓周角度數(shù)。頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角例5：AB為半圓O的直徑，其弦AF、BE相交于Q，過E、F分別作半圓的切線得交點(diǎn)P，求證：PQ⊥AB.輔助線：連接AE，BF，EF，延長PQ交AB于H；延長EP于K點(diǎn)，使得PK=EP，連接KF2、重心

三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心，記為G.(1)頂點(diǎn)與重心G的連線(中線)必平分對邊.(2)重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的2倍.3.垂心

三角形三條高的交點(diǎn)，稱為三角形的垂心

可以用來證明線線垂直問題