拋物線與幾何問(wèn)題的參考答案

拋物線與幾何問(wèn)題的參考答案【典型例題】【例1】(浙江杭州)（1）∵平移的圖象得到的拋物線的頂點(diǎn)為,∴拋物線對(duì)應(yīng)的解析式為:.∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴.令,得，,∴)()|,即,所以當(dāng)時(shí),存在拋物線使得.--2分(2)∵,∴,得:,解得.在中,1)當(dāng)時(shí),由,得,當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí),二次函數(shù)解析式為;當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí)，二次函數(shù)解析式為++.2)當(dāng)時(shí),由,將代,可得,,（也可由代，代得到）所以二次函數(shù)解析式為+–或.【例2】(江蘇常州)（1）∵∴A(-2,-4)（2）四邊形ABP1O為菱形時(shí)，P1(-2,4)四邊形ABOP2為等腰梯形時(shí)，P1()四邊形ABP3O為直角梯形時(shí)，P1()四邊形ABOP4為直角梯形時(shí)，P1()（3）由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8,所以直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x①當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，x<0,△POB的面積∵△AOB的面積，∴∵，∴即∴∴x的取值范圍是②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限是，x>0,過(guò)點(diǎn)A、P分別作x軸的垂線，垂足為A′、P′則四邊形POA′A的面積∵△AA′B的面積∴∵，∴即∴∴x的取值范圍是BOAPM（第24題）【例3】（浙江麗水）BOAPM（第24題）∵（2，4），∴,,∴所在直線的函數(shù)解析式為（2）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且在線段上移動(dòng)，∴（0≤≤2）.∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).∴拋物線函數(shù)解析式為.∴當(dāng)時(shí)，（0≤≤2）.∴點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，）.②∵==，又∵0≤≤2，∴當(dāng)時(shí)，PB最短（3）當(dāng)線段最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為.假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)，使.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.①當(dāng)點(diǎn)落在直線的下方時(shí)，過(guò)作直線//，交軸于點(diǎn)，∵，，DOABPMCE∴，∴，DOABPMCE∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），∴直線的函數(shù)解析式為.∵，∴點(diǎn)落在直線上.∴=.解得，即點(diǎn)（2，3）.∴點(diǎn)與點(diǎn)重合.∴此時(shí)拋物線上不存在點(diǎn)，使△與△的面積相等.②當(dāng)點(diǎn)落在直線的上方時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱稱點(diǎn)，過(guò)作直線//，交軸于點(diǎn)，∵，∴，∴、的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），∴直線函數(shù)解析式為.∵，∴點(diǎn)落在直線上.∴=.解得：，.代入，得，.∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)，使△與△的面積相等.綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，使△與△的面積相等.【例4】（廣東省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得解得：所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：（2）存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為： ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（2，－3）符合∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）（3）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），代入拋物線的表達(dá)式，解得②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r>0），則N（r+1，－r），代入拋物線的表達(dá)式，解得∴圓的半徑為或．（4）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G（2，－3），直線AG為．設(shè)P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【例5】（山東濟(jì)南）(1)設(shè)拋物線的解析式為將A(－1，0)代入:∴∴拋物線的解析式為，即：（2）是定值，∵AB為直徑，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE∴△APM∽△ABE，∴①同理:②①+②:（3）∵直線EC為拋物線對(duì)稱軸，∴EC垂直平分AB∴EA=EB∵∠AEB=90°∴△AEB為等腰直角三角形．∴∠EAB=∠EBA=45° 7分如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BE于H，由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形，∴PH=ME且PH∥ME在△APM和△PBH中∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°∴PH=BH且△APM∽△PBH∴∴①在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF∴②由①、②知：【學(xué)力訓(xùn)練】1、（廣東梅州）（1）DC∥AB，AD=DC=CB，∠CDB=∠CBD=∠DBA，∠DAB=∠CBA，∠DAB=2∠DBA，∠DAB+∠DBA=90，∠DAB=60，∠DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=，A（-1，0），D（0，），C（2，）．（2）根據(jù)拋物線和等腰梯形的對(duì)稱性知，滿足條件的拋物線必過(guò)點(diǎn)A（－1，0），B（3，0），故可設(shè)所求為=（+1）（-3）將點(diǎn)D（0，）的坐標(biāo)代入上式得，=．所求拋物線的解析式為=其對(duì)稱軸L為直線=1．（3）PDB為等腰三角形，有以下三種情況：①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個(gè)交點(diǎn)P1，P1D=P1B，P1DB為等腰三角形；②因?yàn)橐訢為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個(gè)交點(diǎn)P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB為等腰三角形；③與②同理，L上也有兩個(gè)點(diǎn)P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5．由于以上各點(diǎn)互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有5個(gè)．2、（廣東肇慶）（1）由5=0， （1分）得，．∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）、（，0）． （3分）（2）當(dāng)a=1時(shí)，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分別過(guò)點(diǎn)A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則有=S--=--=5（個(gè)單位面積）（3）如：．事實(shí)上，=45a2+36a．3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）]=45a2+36a．∴．3、（青海西寧）（1）圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，，……1分二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得方程組解得：二次函數(shù)解析式為（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．是的切線，為切點(diǎn)，（圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑）．yAHFMyAHFMOP1P2O1xB為銳角，，在中，．．點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)切線的函數(shù)解析式為，由題意可知，切線的函數(shù)解析式為（3）存在．①過(guò)點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)．可得（兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似），②過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．可得（兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角開(kāi)相似）在中，，，在中，，，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)有，4、（遼寧12市）解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．，點(diǎn)都在拋物線上，拋物線的解析式為頂點(diǎn)（2）存在AOxyAOxyBFC圖9HBM理由：解法一：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．點(diǎn)在拋物線上，在中，，，，在中，，，，設(shè)直線的解析式為解得解得在直線上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，此時(shí)．5、（四川資陽(yáng)）(1)∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，圖10∴∠OCA=∠OBC圖10又∵∠AOC=∠COB=90°，∴ΔAOC∽ΔCOB，∴．又∵A(–1，0)，B(9，0)，∴，解得OC=3(負(fù)值舍去)．∴C(0，–3)，設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x–9)，∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，∴二次函數(shù)的解析式為y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3．(2)∵AB為O′的直徑，且A(–1，0)，B(9，0)，∴OO′=4，O′(4，0)，∵點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D，∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，連結(jié)O′D交BC于點(diǎn)M，則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．∴D(4，–5)．圖10答案圖1∴設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（圖10答案圖1∴解得∴直線BD的解析式為y=x–9.(3)假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)P，使得∠PDB=∠CBD，設(shè)射線DP交⊙O′于點(diǎn)Q，則．分兩種情況(如答案圖1所示)：①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．∴把點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)C與點(diǎn)Q1重合，因此，點(diǎn)Q1(7，–4)符合，∵D(4，–5)，Q1(7，–4)，∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y=x–．解方程組得∴點(diǎn)P1坐標(biāo)為(，)，[坐標(biāo)為(，)不符合題意，舍去]．②∵Q1(7，–4)，∴點(diǎn)Q1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為Q2(7，4)也符合．∵D(4，–5)，Q2(7，4)．∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x–17．解方程組得∴點(diǎn)P2坐標(biāo)為(14，25)，[坐標(biāo)為(3，–8)不符合題意，舍去]．∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)：P1(，)，P2(14，25)．6、（遼寧沈陽(yáng)）（1）點(diǎn)在軸上理由如下：連接，如圖所示，在中，，，，由題意可知：點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上．（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在中，，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為由（1）知，點(diǎn)在軸的正半軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由題意，將，代入中得解得所求拋物線表達(dá)式為：（3）存在符合條件的點(diǎn)，點(diǎn)． 10分理由如下：矩形的面積以為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為．由題意可知為此平行四邊形一邊，又邊上的高為2依題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在拋物線上解得，，，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，yxODEyxODECFABM當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．7、（蘇州市）(1)OH＝1；k＝，b＝；(2)設(shè)存在實(shí)數(shù)a，是拋物線y＝a(x＋1)(x－5)上有一點(diǎn)E，滿足以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形與等腰直角△AOB相似∴以D、N、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類(lèi)，一類(lèi)是以DN為直角邊的等腰直角三角形，另一類(lèi)是以DN為斜邊的等腰直角三角形．①若DN為等腰直角三角形的直角邊，則ED⊥DN．由拋物線y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐標(biāo)是(2，3)．把E(2，3)代入拋物線解析式，得a＝∴拋物線解析式為y＝(x＋1)(x－5)即y＝x2＋x＋②若DN為等腰直角三角形的斜邊，則DE⊥EN，DE＝EN．∴E的坐標(biāo)為(3.5，1.5)把E(3.5，1.5)代入拋物線解析式，得a＝．∴拋物線解析式為y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x2＋x＋當(dāng)a＝時(shí)，在拋物線y＝x2＋x＋上存在一點(diǎn)E(2，3)滿足條件，如果此拋物線上還有滿足條件的E點(diǎn)，不妨設(shè)為E’點(diǎn)，那么只有可能△DE’N是以DN為斜邊的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．顯然E’不在拋物線y＝x2＋