初中數(shù)學(xué)《二次函數(shù)圖像與系數(shù)的六種關(guān)系》含解析

二次函數(shù)圖像與系數(shù)的六種關(guān)系題型01a與圖像的關(guān)系1(23-24九年級上·河北保定·期末)二次函數(shù)y=ax的值可能為2a()A.2B.0C.-1-2Ay=ax2故選項ABCD不符合題意，故選：Aa>0，12(2024九年級·全國·專題練習(xí))y=ax2y=ax2y=ax2的，112233aaa的大小關(guān)系為．123a>a>a#a<a<a332112a的值決定的，a握拋物線的開口方向和開口大小由a的值決定是解題的關(guān)鍵．a(chǎn)aa為正數(shù)，123又由開口大小可得，a>a>a，321故答案為：a>a>a1323(23-24九年級上·福建廈門·階段練習(xí))已知y=k+2x24增大而增大．x<0時，隨的xy求kk=-3x<0時，y隨xy=k+2x24x<0k+k-4=2時，隨yx，k+2<0解得：k=-3或k=2(舍去)；二次函數(shù)的解析式為y=-x2，如圖所示：213131(23-24九年級上·山東青島·階段練習(xí))圖中與拋物線y=x2y=2x2y=-x2y=-2x2，，象對應(yīng)的是()A.①②④③BB.②①④③C.①②③④②①③④a和aa的大小即可確定拋物線的開口的寬窄．∵a>0，∵②的開口最寬，13∴y=x2是②，y=2x2是①，∵a<0，∵④的開口最寬，13∴y=-x2是④，y=-2x2是③，故選：B2(23-24九年級上·吉林松原·階段練習(xí))二次函數(shù)y=k+2x的取值范圍是2k．3k>-2k+2>0k的取值范圍．k+2>0，解得k>-2．故答案為：k>-2．y=ax的系數(shù)為負數(shù)時，2aa拋物線開口向下；a3(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))已知函數(shù)y=(m+3)x22是關(guān)于的二次函數(shù)．x(1)求m的值；(2)當(dāng)m(3)當(dāng)m(4)試說明函數(shù)的增減性．(1)m=-4或m=1(2)當(dāng)m=-4(3)當(dāng)m=1(4)見解析m+3m-2=2m+3≠0(1)由二次函數(shù)的定義可得故可求m的值．(2)m+3<0(1)m的值；(3)m+3>0(1)m(4)根據(jù)(1)中求得的mm+3m-2=2(1)，m+3≠0m=-4,m=1m≠-312解得，∴當(dāng)m=-4或m=1(2)∵圖像開口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，4∴當(dāng)m=-4(3)∵函數(shù)有最小值，∴m+3>0，則m>-3，∴m=1，∴當(dāng)m=1(4)當(dāng)m=-4y=-x2y軸，當(dāng)x<0時，y隨xx>0時，y隨x的增大而減??；當(dāng)m=1y=4x軸，2y當(dāng)x<0時，y隨xx>0時，y隨x的增大而增大．a(chǎn)>0a<0題型02b與圖像的關(guān)系1(21-22九年級上·安徽合肥·開學(xué)考試)已知二次函數(shù)y=-x+2m-1x-3x>1時，隨的xym的取值范圍是()32321212A.m<B.m≤C.m≤m<-B2m-22m-1象的對稱軸為x=≤122y=-x+2m-3x-3中，，，，a=-1<0b=2m-1c=-32m-12×-12m-1∴x=-=，2∵當(dāng)x>1時，y隨x的增大而減小，2m-1∴≤1，232解得，m≤故選：B，2(2023·九年級上·西藏日喀則·)已知拋物線γ=x2+mx的對稱軸為直線x=2．則m的值是(A.-4B.1C.4-1)5Ay=ax+bx+cy=ax+bx+cb線x=-2ab2am2×1m2γ=x2+mx的對稱軸為直線：x=-=-=-，m∴-=22解得：m=-4故選：A3(23-24九年級上·安徽淮北·階段練習(xí))拋物線y=-x+2ax+3的對稱軸位于yx軸交于點AB(點B在點A的右邊)AB=4．(1)此拋物線的頂點坐標為(2)當(dāng)-1≤x≤m時，-5≤y≤4m的值為1,4(1)令y=0x-2ax-3=0．設(shè)x-x=4x-x=x+x-4xx=16a．．4Ax,0Bx,0x+x=2axx=-3，．根據(jù)AB=4，12121222121112(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=1時，y取得最大值4．求出當(dāng)x=-1時，y=0>-5-5≤y≤4出m>1x=m時，y=-5(1)令y=0-x+2ax+3=0x-2ax-3=0．設(shè)Ax,0Bx,0x+x=2axx=-3．121212∵AB=4，∴x-x=4，21∴x-x=x+x-4xx=16，221112∴4a+12=16，∴a=±1．∵拋物線的對稱軸位于ya=1，∴y=-x+2x+3=-x-1+4，∴拋物線的頂點坐標為1,4．(2)∵y=-x+2x+3=-x-1+4，∴當(dāng)x=1時，y取得最大值4．∵當(dāng)x=-1時，y=0>-5-5≤y≤4，∴m>1，∴當(dāng)x=m時，y=-5，∴-m+2m+3=-5，∴m=4或m=2(舍去)．6故答案為：1,44．x1(22-23九年級上·福建廈門·期中)已知拋物線y=-x+6-2mx-3的對稱軸在xy>2時，y的值隨著xm的取值范圍是()A.m≥1B.m<3C.-3<m≤11≤m<3Dx=3-my=-x+6-2mx-3y的對稱軸在軸的右m<3x>2時，y的值隨著xm≥1∵拋物線y=-x+6-2mx-3的對稱軸在軸的右側(cè)，yb2a6-2m∴x=-==3-m>0，2解得：m<3，又∵a=1<0當(dāng)x>2時，y的值隨著x值的增大而減小，則3-m≤2，解得：m≥1，綜上所述，1≤m<3，故選：D．2(23-24九年級上·重慶合川·期末)關(guān)于x的二次函數(shù)y=x+a-1x-1在軸的右側(cè)，隨的xyya-12-y1y的分式方程19+=2有非負數(shù)解的所有整數(shù)a的值之和．y-2先確定出aaaa-12-y16-a2+=2可得y=，y-2a-12-y1∵關(guān)于y的分式方程+=2有非負數(shù)解，y-26-a26-a2∴y=≥0且y=≠2，∴a≤6且a≠2，∵y=x+a-1x-1，1-a2∴x=，71-a2∴當(dāng)x>，y隨x的增大而增大．∵在x>0時，y隨x的增大而增大，1-a∴≤0a≥1．2綜上1≤a≤6且a≠2，∴滿足條件的整數(shù)a的值為13456．∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是1+3+4+5+6=19．故答案為：19．3(23-24九年級上·浙江寧波·期末)y=x+ax+2的圖象經(jīng)過點E1,5．(1)求a的值和圖象的頂點坐標．(2)若點Fm,n在該二次函數(shù)圖象上．①當(dāng)m=-2n的值．②若n≤2m的取值范圍．(1)a=2-1,1(2)①n=2-2≤m≤0(1)把點E(1,5)代入y=x+ax+2a；(2)①把m=-2代入解析式即可求n的值；②由n≤2m即可．(1)把點E(1,5)代入y=x+ax+2中，∴a=2，∴y=x+2x+2=(x+1)+1，∴頂點坐標為(-1,1)；(2)①把m=-2代入n=m+2m+2=(m+1)+1n=2，②∵n≤2x=-1，∴-2≤m≤0．1(23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí))關(guān)于二次函數(shù)y=x-6x+5下列說法中錯誤的是8()A.用配方法可化成y=x-3-4B.將它的圖象向下平移5當(dāng)x<3時，y隨x的增大而減小C.5Cx=0可求得與yy=x-6x+5=x-3-9+5=x-3-4A∴其對稱軸為直線x=33-4，∴-4x<3時，y隨xCD意；令x=0可得y=5，∴與y軸的交點坐標為05，∴將它的圖象向下平移5B故選：C2(2023·九年級上·上海楊浦·)將拋物線y=x-2x+3向下平移m=2mx軸．它的頂點恰好落在x0∵y=x-2x+3=(x-1)+2，∴該拋物線向下平移m個單位后的解析式為y=(x-1)+2-m，∴此時頂點坐標為(12-m)．∵此時它的頂點恰好落在x軸上，∴2-m=0，解得：m=2．故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“上加下3(23-24九年級上·四川瀘州·期中)寫出拋物線y=-2x-4x+5指出拋物線y=-2x-4x+5可由拋物線y=-2x2怎樣平移得到．y=-2x-4x+5x=-1-1,7y=-2x-4x+5可由y=-2x向上平移個單位長度得到．271y=ax29+bx+c的性質(zhì)及掌握拋物線平移規(guī)律．先將拋物線y=-2x-4x+5經(jīng)配方轉(zhuǎn)換為y=-2x+1+7y=-2x2到y(tǒng)=-2x-4x+5=-2x+1+7的平移過程．-4x+5=-2x+1+7，y=-2x則可根據(jù)拋物線性質(zhì)得：拋物線y=-2x-4x+5x=-1∵-1,7，∴y=-2x-4x+5=-2x+1+7可由y=-2x2向上平移71個單位長度得到1(23-24九年級上·安徽合肥·期末)若將拋物線y=ax(a>0)向右平移h(h>0)線y=ax+bx+cy=bx+c的圖象可能是()A.B.C.C斷b<0,c>0∵將拋物線y=ax(a>0)向右平移h(h>0)y=ax+bx+c，∴y=ax+bx+c對稱軸在yy軸的正半軸，∴b<0,c>0，∴y=bx+c故選：C2(22-23九年級上·浙江寧波·期末)將拋物線y=x+3x-6向上平移mm的值可能是()A.1B.3C.57D10y=x+3x-6向上平移-6+m≥0，m即可得出結(jié)果．∵將拋物線y=x+3x-6向上平移m∴-6+m≥0，∴m≥6，∴m的值可能是7，故選：D．3(21-22九年級上·廣東中山·階段練習(xí))已知二次函數(shù)y=x-2x-3(1)請寫出函數(shù)圖象頂點坐標和對稱軸∶．(2)當(dāng)函數(shù)值yx的取值范圍∶(3)將該函數(shù)圖象向右平移14(1)1,-4x=1(2)x<-1或x>3(3)y=x-22的關(guān)鍵．(1)(2)求得x-2x-3=0(3)(1)∵y=x-2x-3=x-1-4．∴對稱軸為直線x=11,-4．(2)x-2x-3=0，解得x=-1,x=3，12∵y=x-2x-3=x-1-4開口向上，故當(dāng)x<-1或x>3時，y>0．(3)∵y=x-2x-3=x-1-4．平移后的解析式為y=x-1-1-4+4即y=x-22題型04ab與圖像的關(guān)系1(23-24九年級上·浙江金華·期末)已知二次函數(shù)y=-mx+2mx+4m>0經(jīng)過點A-2,y1B1,yC3,yyyy的大小關(guān)系為()32123A.y<y<yB.y<y<yC.y<y<yy<y<y31212313223111B距離比較二次函數(shù)值大小的方法是解決問題的關(guān)鍵．2my=-mx+2mx+4m>0x=--2m=1，∴y越大，∵二次函數(shù)y=-mx+2mx+4m>0經(jīng)過點A-2,yB1,yC3,y，312∴三個點ABC到對稱軸的距離為302，∴y<y<y，132故選：B．134532(23-24九年級上·廣東廣州·期中)若點A-,y1B-1,y2C,y3為二次函數(shù)y=-ax-4ax+5a<0yyy的大小關(guān)系是．123y>y>y231x=-213A-,y關(guān)于直線x=-2的對稱點54,y在拋物線y=-ax-4ax+5a<0411∵y=-ax-4ax+5a<0，-4a∴-a>0x=-=-2，2×-a∴拋物線開口向上，13454∴點A-,y關(guān)于直線x=-2的對稱點,y在拋物線y=-ax-4ax+5a<0上，115453∵-2<-1<<，∴y>y>y，312故答案為：y>y>y2313(23-24九年級上·云南昆明·階段練習(xí))已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx+3m+1x+3．(1)mmx+3m+1x+3=0總有實數(shù)根；(2)若拋物線與x軸交于兩個不同的整數(shù)點，mPx,y與Qx+n,y在拋物線上(點P,2111Q不重合)y=y4x+12xn+5n+16n+8的值．1211(1)證明見解析；(2)24(1)用根的判別式可以直接證明；1m(2)令y=0mx+1x+3=0x=-3或x=-mm的12PQy=yxx+nn的1211式子表示出x1(1)m≠0，∵Δ=b-4ac=(3m+1)-4m×3=(3m-1)≥0∴此方程總有實數(shù)根；m(2)y=0mx+1x+3=01m解得：x=-3x=-，12因為拋物線與xm為正整數(shù)，所以m=1，所以拋物線為y=x+4x+3．∵點PQy=y，12∴x+4x+3=(x+n)+2(x+n)+31111∴2xn+n+4n=0即：n(2x+n+4)=0，∵PQ不重合，∴n≠0，∴2x=-n-4∴4x+12xn+5n+16n+8=(2x)+2x?6n+5n+16n+81111=(n+4)+6n(-n-4)+5n+16n+8=24所以代數(shù)式4x1+12xn+5n+16n+8的值為241(23-24九年級上·浙江杭州·期末)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax-4axa>0．若Pm,n和Q5,bn>bm的取值范圍為()A.m<-1CB.m>5C.m<-1或m>5-1<m<5稱軸為直線x=2鍵．∵二次函數(shù)y=ax-4axa>0．-4a∴x=-=2，2a∵Pm,n和Q5,b是拋物線上的兩點，13∴當(dāng)n=b時，m=-1，∵∴n>b時，m的取值范圍為m<-1或m>5；故選：C．2(23-24九年級上·浙江杭州·期末)已知二次函數(shù)y=ax-4ax+2(aa≠0)(1)若函數(shù)圖象過點1,0a的值；(2)當(dāng)2≤x≤5MNM-N=18a的值．23(1)a=(2)a=±2(1)將點1,0的坐標代入表達式求解即可；(2)分類討論a(1)1,0得a-4a+2=023解得：a=(2)由y=ax-4ax+2可知對稱軸為直線x=2①當(dāng)a>02≤x≤5時當(dāng)x=2x=5時取最大值∴M=5a+2N=-4a+2∵M-N=5a+2--4a+2=9a=18解得a=2②當(dāng)a<02≤x≤5時當(dāng)x=2x=5時取最小值∴M=-4a+2N=5a+2∴M-N=-4a+2-5a+2=-9a=18解得a=-2滿足題意．綜上所述：a=±2．3(23-24九年級上·安徽合肥·階段練習(xí))y=ax+bx+4(a≠0)經(jīng)過點，，A(-10)點B(40)y軸交于點CACBC．點M是線段OB上不與點OBM作DM⊥xDBC于點E．14(1)求拋物線的表達式；(2)過點D作DF⊥BCF．設(shè)M點的坐標為M(m0)m的代數(shù)式表示線段DF的長，并求出當(dāng)m為何值時DF(1)拋物線的表達式為：y=-x+3x+4(2)當(dāng)m=2時，DF有最大值為22(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．2(2)先求出B,C所在直線解析式可得∠OBC=∠OCB=45°DF=DE可表示DF長度的代數(shù)式，2再配方求解即可．(1)把點A(-10)B(40)分別代入y=ax+bx+4a≠0a-b+4=016a+4b+4=0a=-1b=3解得：∴拋物線的表達式為：y=-x+3x+4．(2)把x=0代入y=-x+3x+4中，得：y=4∴C0,4設(shè)BC所在直線解析式為y=kx+b,把B4,0,C0,4代入y=kx+b中，0=4k+b得：4=bk=-1b=4解得∴y=-x+4設(shè)Mm,0,則D(m,-m+3m+4)Em,-m+4∴DE=-m+3m+4+m-4=-m+4m∵OB=OC=4,OC⊥OB15∴∠OBC=∠OCB=45°∵DM⊥x軸∴∠DEF=∠BEM=45°又∵DF⊥BC222222∴DF=DE=-m+4m=-(m-2)+2222∵-<0∴當(dāng)m=2時，DF有最大值為22．的最值題型05ac與圖像的關(guān)系1(23-24九年級上·廣東梅州·期末)如圖所示是二次函數(shù)y=ax-x+a-1的值是a()12A.a=-1CB.a=C.a=1a=1或a=-10,00,0代入函數(shù)解析式得a2-1=0a的值．0,0，把點0,0代入函數(shù)解析式得a-1=0a=±1a>0；所以a=1．；故選：C．2(23-24九年級上·浙江麗水·期末)已知二次函數(shù)y=ax2+2x+ca≠0的圖象如圖所示．16(1)寫出c的值；(2)求出函數(shù)的表達式．(1)3(2)y=-x2+2x+3關(guān)鍵．(1)將點0,3代入y=ax2+2x+ca≠0即可求出c；(2)把點A3,0代入y=ax2+2x+3a≠0即可求出函數(shù)表達式．(1)解：∵二次函數(shù)y=ax2+2x+ca≠0的圖象經(jīng)過點0,3；∴將點0,3代入y=ax2+2x+ca≠0得；c=3．(2)y=ax2+2x+3a≠0；∵函數(shù)圖象經(jīng)過點A3,0；∴把點A3,0代入y=ax2+2x+3a≠0得；a=-1；∴函數(shù)的表達式為：y=-x2+2x+33(23-24九年級上·廣東廣州·階段練習(xí))y=ax-2x+c的圖象與軸交于點xA-3,0和點By軸交于點C0,3．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求By<0時，x的取值范圍；(1)y=-x-2x+3(2)B1,0x<-3或x>1．；17利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．(1)(2)根據(jù)當(dāng)y=0時，-x-2x+3=0B1,0(1)解：∵二次函數(shù)y=ax-2x+c的圖象經(jīng)過點9a+6+c=0，A-3,0C0,3，∴，c=3a=-1c=3解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為y=-x-2x+3；(2)(1)y=-x-2x+3，當(dāng)y=0時，-x-2x+3=0，解得x=1x=-3，12∴B1,0，y<0時，x的取值范圍為x<-3或x>11(23-24九年級上·廣西崇左·期末)已知二次函數(shù)y=m+2x+m-9則m的值為()A.±3B.3C.-3±4.5Cm<-2出m=±3∵二次函數(shù)的解析式為：y=m+2x+m-9有最大值，∴m+2<0，∴m<-2，∵二次函數(shù)y=m+2x+m-9的圖象經(jīng)過原點，∴m-9=0，∴m=-3或m=3，∵m<-2，∴m=-3．故選：C2(20-21九年級上·全國·單元測試)y=ax-x+c的圖象經(jīng)過兩點．A-1,0B0,-2181求此拋物線的解析式；2求此拋物線的頂點坐標和對稱軸；3x取何值時，y>0？21212941y=x-x-2x=,-3拋物線的對稱軸是直線當(dāng)x取x<-1或x>2時，y>0．(1)把A點和B點坐標代入y=ax-x+c得到關(guān)于、、即可得acac到拋物線解析式；(2)(3)先通過解方程x-x-2=0得到拋物線y=x-x-2與x軸的另一個交點的坐標為2,0．然后寫出函數(shù)圖象在x軸上方所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．1∵二次函數(shù)y=ax-x+c的圖象經(jīng)過A-1,0B0,-2，a+1+c=0c=-2a=1∴c=-2∴此二次函數(shù)的解析式是y=x-x-2；129422∵y=x-x-2=x--，121294∴拋物線的對稱軸是直線x=,-；3當(dāng)y=0時，x-x-2=0x=-1x=2y=x-x-2與x軸的另一個交點的坐標為122,0．所以當(dāng)x取x<-1或x>2時，y>0．?dāng)?shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵3(23-24九年級上·江蘇揚州·期末)y=ax+bx+3的圖象經(jīng)過點A10，B-2319(1)求a+b的值；(2)用無刻度直尺畫出拋物線的對稱軸l()(3)y≤3時，x的取值范圍是(1)a+b=-3．(2)見解析(3)x≤-2或x≥0(1)利用待定系數(shù)法求解即可；(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可得出拋物線的對稱軸；(3)a+b+3=0(1)A10B-23代入二次函數(shù)y=ax+bx+3得：，4a-2b+3=3a=-1b=-2解得：，∴a+b=-1+-2=-3；(2)l為所求對稱軸，，由(1)得二次函數(shù)的解析式為y=-x-2x+3=-x+1+4，20∴可以得出頂點坐標為-14x=-1；(3)y=3-x-2x+3=3，解得：x=0或x=-2，結(jié)合圖象得：x≤-2或x≥0時，y≤3，故答案為：x≤-2或x≥0題型06abc與圖像的關(guān)系1(23-24九年級上·山東濟南·期末)二次函數(shù)y=ax+bx+ca≠0abc<02a-b=0-2<x<3時，y<0x≥1時，y隨x是()A.1B.2C.34Ay軸的交abcy<0時，x∵二次函數(shù)的圖像開口向上，∴a>0，∵二次函數(shù)圖像的對稱軸在y軸的右側(cè)，b2a∴->0，∴b<0，∵拋物線與y軸交于負半軸，∴c<0，∴abc>0②∵a>0b<0，∴2a-b>0③∵x=1x軸的位于對稱軸左邊的交點的坐標為-2,0，21∴該圖像與x軸的位于對稱軸右邊的交點的坐標為4,0，∴當(dāng)-2<x<4時，y<0，∴當(dāng)-2<x<3時，y<0④∵x=1，∴當(dāng)x≥1時，y隨x∴正確的個數(shù)是1個．故選：A2(23-24九年級上·湖北隨州·期末)已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象如圖所示拋物線的頂點坐4a+b=1am+bm標是1,1a>0b-4ac>0Am,n+c≥a+b+c．其中正確的結(jié)論是．x∵拋物線的開口向上，∴a>0∵拋物線與x軸沒有交點，∴b-4ac<0∵頂點坐標為1,13,3，∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，8a+2b=2，∴4a+b=1∵當(dāng)x=1時y=a+b+c=1值最小，∴am+bm+c≥a+b+c3(23-24九年級上·河南洛陽·期末)已知二次函數(shù)y=ax+2ax-m．22(1)當(dāng)a=1y=ax+2ax-m的圖象與xm的取值范圍；(2)若二次函數(shù)y=ax+2ax-m的部分圖象如圖所示，①求二次函數(shù)y=ax+2ax-m圖象的對稱軸；②求關(guān)于x的一元二次方程ax+2ax-m=0的解．(1)m>-1(2)①直線x=-1x=1x=-312(1)將a=1代入二次函數(shù)y=ax+2ax-ma=1y=ax+2ax-m的圖象與x2-