2021-2022學(xué)年浙江省嘉興市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年浙江省嘉興市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得，再求交集即可【詳解】，故故選：B2．已知直線l、m和平面．若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用線面平行定理及充分條件必要條件判斷即可．【詳解】解：充分性：，，，故充分性成立．必要性：，，，則與平行或異面，故必要性不成立．故“”是“”的充分不必要條件．故選：．3．已知平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．-1 B．-2 C． D．1【答案】A【分析】由向量垂直得向量的數(shù)量積為0可解得．【詳解】解：由已知，∵，∴，解得．故選：A．4．函數(shù)的部分圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除AB，再根據(jù)趨近于時(shí)的值判斷即可【詳解】因?yàn)椋蕿槠婧瘮?shù)，排除AB，又當(dāng)趨近于時(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于，所有函數(shù)逐漸趨近于0，排除D故選：C5．將A，B，C，D，E五個(gè)字母排成一排，且A，E均不排在兩端，則不同的排法共有（

）A．108種 B．72種 C．36種 D．18種【答案】C【分析】先確定字母A，E的位置，然后再排列其他字母即可.【詳解】因?yàn)樽帜窤，E不能排在兩端，則有種排列方式，B，C，D有種排列方式，所以不同的排法共有種排法.故選：C6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，然后作出函數(shù)的圖像，利用的圖像與的關(guān)系判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，可知有4個(gè)不同的根，即函數(shù)的圖像與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像如下：數(shù)形結(jié)合可知，只要，即，就有2個(gè)不同的交點(diǎn)，要使函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，需當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的根，又，如圖：需，解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D7．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有B．一元回歸模型分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1C．利用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)的中心D．由進(jìn)行分類變量獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)用不同的小概率值會(huì)推斷出不同的結(jié)論【答案】B【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率、條件概率可判斷A，由相關(guān)系數(shù)的概念可判斷B，根據(jù)最小二乘法所得線性回歸方程過(guò)判斷C，由獨(dú)立性檢驗(yàn)概念可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)有，根據(jù)條件概率公式可知，故A正確；一元回歸模型分析中，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，故B錯(cuò)誤；最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線必經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)的中心，故C正確；根據(jù)進(jìn)行分類變量獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)用不同的小概率值會(huì)推斷出不同的結(jié)論正確，故D正確.故選：B8．已知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)，利用換底公式等價(jià)變形，得，結(jié)合的單調(diào)性判斷，同理利用換底公式得，即，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，結(jié)合單調(diào)性，，繼而得解.【詳解】由，變形可知，利用換底公式等價(jià)變形，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增知，，即，排除C，D；其次，因?yàn)?，得，即，同樣利用的單調(diào)性知，，又因?yàn)?，得，即，所?故選：B.二、多選題9．在某次學(xué)科期末檢測(cè)后，從全部考生中選取100名考生的成績(jī)（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，六組后，得到頻率分布直方圖（如圖），60分以下視為不及格，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖中a的值為0.020B．不及格的考生人數(shù)為15人C．考生成績(jī)的平均分（精確到0.1）約為70.5分D．考生成績(jī)的第60百分位數(shù)為75分【答案】ACD【分析】利用頻率分布直方圖逐項(xiàng)求解.【詳解】由，解得，故A正確；不及格的人數(shù)為，故B錯(cuò)誤；，，故C正確；設(shè)考生成績(jī)的第60百分位數(shù)為x分，則，解得，故D正確.故選：ACD10．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（其中i是虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．z的虛部為 B．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C． D．【答案】BC【分析】先求解z的值，再根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義逐個(gè)計(jì)算判斷即可【詳解】由可得對(duì)A，z的虛部為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．設(shè)函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)在上的值域?yàn)镈．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是【答案】BD【分析】化簡(jiǎn)整理得，利用正弦函數(shù)的周期可判斷A；利用函數(shù)的奇偶性可判斷B；利用正弦型函數(shù)的值域可判斷C；利用函數(shù)的圖像變換原則及奇偶性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，函數(shù)的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，，，，即在上的值域?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，其為偶函數(shù)，所以所得，求得，則的最小值是，故D正確；故選：BD12．如圖，在平面四邊形中，，，M為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，得到三棱錐，記二面角的大小為，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在，使得B．存在，使得C．與平面所成角的正切值最大為D．記三棱錐外接球的球心為O，則的最小值為【答案】BCD【分析】利用反證法可排除A；翻折過(guò)程中點(diǎn)M為半圓上的一點(diǎn)，圓心為的中點(diǎn)N，可得進(jìn)而判斷B；由，知與平面所成的角也達(dá)到最大，進(jìn)而求得其夾角判斷C；找到三棱錐外接球的球心O，此時(shí)，要使最小，則O與G重合，進(jìn)而求得可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由條件知，沿翻折得到的幾何體是圓錐，若，則在平面上的射影，由線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理知，根據(jù)已知的長(zhǎng)度不可能，排除A；對(duì)于B，翻折過(guò)程中點(diǎn)M為半圓上的一點(diǎn)，圓心為的中點(diǎn)N，則必存在，使得，即，B正確；對(duì)于C，此時(shí)與圓相切于點(diǎn)M，即與平面所成的角也達(dá)到最大，因?yàn)閳A半徑為，切線長(zhǎng)為所以正切值為，C正確；對(duì)于D，首先設(shè)正的中心為G，過(guò)點(diǎn)G的直線平面，沿翻折過(guò)程中，過(guò)中點(diǎn)且垂直的平面必過(guò)點(diǎn)M且與直線l相交，交點(diǎn)即為三棱錐外接球的球心O，此時(shí)，要使切線長(zhǎng)最小，即最小，則O與G重合，易知，所以，D正確.故選：BCD三、填空題13．已知，，則________.【答案】【分析】由，可知，再結(jié)合，及，可求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．故答案為?14．已知，t為常數(shù)，，且，則________.【答案】【分析】令即可得到，進(jìn)而求得，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)定理的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】令，則，解得，而的通項(xiàng)公式為所以故答案為：15．已知隨機(jī)變量X，Y分別滿足，，且均值，方差，則________.【答案】0.2【分析】由二項(xiàng)分布和正態(tài)分布的期望、方差公式建立方程，求解即可.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X，Y分別滿足，，所以，，解得，故答案為：.16．在中，O是的外心，G是的重心，且，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)重心、外心的性質(zhì)，由數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，利用余弦定理及均值不等式求解即可.【詳解】記內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，取的中點(diǎn)D，如圖，則，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故答案為：四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求解；（2）由，利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，因?yàn)椋?，所以，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)因?yàn)椋?，得，所?18．一個(gè)袋子中有8個(gè)大小相同顏色不同的小球，其中4個(gè)紅球，3個(gè)白球，1個(gè)黃球，從袋中任意取出3個(gè)小球.(1)求其中恰有2個(gè)小球顏色相同的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X為取出的3個(gè)小球中紅球的個(gè)數(shù)，求X的均值和方差.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用超幾何分布概率公式，求出2個(gè)顏色相同的小球?yàn)榧t球和2個(gè)顏色相同的小球?yàn)榘浊驎r(shí)的概率，相加即可；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，從而得到分布列，計(jì)算出期望和方差.【詳解】(1)取到兩個(gè)紅球的概率：，取到兩個(gè)白球的概率：，故恰有2個(gè)小球顏色相同的概率為.(2)隨機(jī)變量X的取值為，1，2，3；，，，，分布列為：X0123P所以均值，方差，或.19．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大??；(2)若，，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理得解；（2）利用正弦定理得，再求出即得解.【詳解】(1)解：由正弦定理得，，∴，∵，∴.(2)解：因?yàn)?，∴，，代入已知得，，即，又∵，∴，?20．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，E是的中點(diǎn)，，，.(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得結(jié)論；（2）法一：利用線面角的定義求得；法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】(1)延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為F，連接，，由平面平面，平面平面，平面，又平面，，∵，，，∴，，是正三角形，又∵是直角梯形，∴，即也是正三角形，故為菱形，所以F，E，B三點(diǎn)共線，且，∴平面，又平面，從而.(2)幾何法：過(guò)A作，連接，∵，∴平面，即，所以就是平面與平面所成二面角的平面角，在中，，，得，，所以平面與平面夾角的余弦值是.坐標(biāo)法：由（1）知，以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），∴，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，又∵平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值是.21．如圖，已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)M作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓與圓于點(diǎn)A，B和點(diǎn)N.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，結(jié)合點(diǎn)，可求得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合的面積公式及基本不等式可求解.【詳解】(1)將點(diǎn)代入得，，又，，得，所以，，即.(2)因?yàn)?，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，且，則，，則，且，直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，∴，∴面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，此時(shí)，所以直線的方程為.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（），（?。┣笞C；（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（ⅱ）若滿足，求a的最大值.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論參數(shù)和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）（ⅰ）利用參數(shù)分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，數(shù)形結(jié)合即可證得結(jié)論；（ⅱ）由已知，設(shè)，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可求額，再利用的單調(diào)性可求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】(1)（1）求導(dǎo)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(2)（ⅰ）令，得，設(shè)，求導(dǎo)，令，解得，則x+0-極大值當(dāng)時(shí)，取得極大值，且且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，數(shù)形結(jié)合可知，即.（ⅱ）因?yàn)?，即，且，不妨設(shè)，將代入中，得，即.設(shè)，則，令，則，∴