高中數(shù)學(xué) 1.4 數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用練習(xí) 北師大版必修5

第一章§4一、選擇題1．根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足Sn＝eq\f(n,90)·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是()A．5月、6月 B．6月、7月C．7月、8月 D．8月、9月[答案]C[解析]設(shè)第n個月份的需求量超過1.5萬件．則Sn－Sn－1＝eq\f(n,90)(21n－n2－5)－eq\f(n－1,90)[21(n－1)－(n－1)2－5]＞1.5，化簡整理，得n2－15n＋54＜0，即6＜n＜9.∴應(yīng)選C．2．通過測量知道，溫度每降低6℃，某電子元件的電子數(shù)目就減少一半．已知在零下34℃時，該電子元件的電子數(shù)目為3個，則在室溫A．860個 B．1730個C．3072個 D．3900個[答案]C[解析]由題設(shè)知，該元件的電子數(shù)目變化為等比數(shù)列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，eq\f(61,6)＝10eq\f(1,6)，可得，a11＝3·210＝3072，故選C．3．一個卷筒紙，其內(nèi)圓直徑為4cm，外圓直徑為12cm，一共卷60層，若把各層都視為一個同心圓，π＝3.14，則這個卷筒紙的長度為(精確到個位)()A．14m B．15mC．16m D．17m[答案]B[解析]紙的厚度相同，且各層同心圓直徑成等差數(shù)列，則l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·eq\f(4＋12,2)＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m，故選B．4．現(xiàn)存入銀行8萬元，年利率為2.50%，若采用1年期自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，則5年末的本利和是________萬元．()A．8×1.0253 B．8×1.0254C．8×1.0255 D．8×1.0256[答案]C[解析]定期自動轉(zhuǎn)存屬于復(fù)利計算問題，5年末的本利和為8×(1＋2.50%)5＝8×1.0255.5．某人從年1月1日起，且以后每年1月1日到銀行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不變，且每年至期后存款均自動轉(zhuǎn)為新一年定期，至年1月1日將所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)(單位為元)為()A．a(chǎn)(1＋r)7B．eq\f(a,r)[(1＋r)7－(1＋r)]C．a(chǎn)(1＋r)8D．eq\f(a,r)[(1＋r)8－(1＋r)][答案]B[解析]年1月1日，年1月1日，…年1月1日存入錢的本息分別為a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加即可．6．某廠在年年底制定生產(chǎn)計劃，要使年年底的總產(chǎn)量在原有基礎(chǔ)上翻兩番，則年平均增長率為()A．4eq\f(1,10)－1 B．2eq\f(1,10)C．4eq\f(1,11)－1 D．2eq\f(1,11)－1[答案]A[解析]設(shè)年增長率為x,年總產(chǎn)量為1，到年年底翻兩番后的總產(chǎn)量為4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝4eq\f(1,10)－1.二、填空題7．據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查，某區(qū)垃圾量的年增長率為b,年產(chǎn)生的垃圾量為a噸，由此預(yù)測，該區(qū)下一年的垃圾量為________噸，年的垃圾量為________噸．[答案]a(1＋b)a(1＋b)5[解析]年產(chǎn)生的垃圾量為a噸，下一年的垃圾量在年的垃圾量的基礎(chǔ)之上增長了ab噸，所以下一年的垃圾量為a(1＋b)噸；年是從年起再過5年，所以年的垃圾量是a(1＋b)5噸．8．某彩電價格在去年6月份降價10%之后經(jīng)10,11,12三個月連續(xù)三次回升到6月份降價前的水平，則這三次價格平均回升率是________．[答案]eq\r(3,\f(10,9))－1[解析]設(shè)6月份降價前的價格為a，三次價格平均回升率為x，則a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝eq\r(3,\f(10,9))，x＝eq\r(3,\f(10,9))－1.三、解答題9．已知某地教育儲蓄的月利率為0.21%，某人欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計1萬元，他每月應(yīng)存入多少元？[解析]設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲蓄的計算公式得eq\f(36x＋36x,2)×0.21%＋36x＝10000，解得x≈267.39元，即每月應(yīng)存入267.39元．10．某城市年底人口為500萬，人均居住面積為6平方米，如果該城市每年人口平均增長率為1%，每年平均新增住房面積為30萬平方米，到年底該城市人均住房面積是多少平方米？增加了還是減少了？說明了什么問題？(精確到0.01平方米)[解析]設(shè)年，年，…，年住房面積總數(shù)成等差數(shù)列{an}，人口數(shù)組成等比數(shù)列{bn}，則年：a1＝500×6＝3000(萬平方米)，b1＝500(萬)．年：a2＝a1＋d＝3000＋30＝3030(萬平方米)，b2＝b1×q＝500×(1＋1%)＝505(萬)．…年：a11＝a1＋10d＝3000＋10×30＝3300(萬平方米)，b11＝b1×q10＝500×(1＋1%)10＝500×1.0110≈552(萬)．所以人均住房面積是eq\f(3300,552)≈5.98(平方米)．答：該城市人均住房面積約5.98平方米，人均住房面積反而減少了，說明計劃生育的重要性.1.某企業(yè)在年年初貸款M萬元，年利率為m，從該年年末開始，每年償還的金額都是a萬元，并恰好在10年間還清，則a的值等于()A．eq\f(M1＋m10,1＋m10－1) B．eq\f(Mm,1＋m10)C．eq\f(Mm1＋m10,1＋m10－1) D．eq\f(Mm1＋m10,1＋m10＋1)[答案]C[解析]由已知條件和分期付款公式可得，a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，∴a＝eq\f(Mm·1＋m10,1＋m10－1).2．某工廠去年產(chǎn)值為a，計劃今后5年內(nèi)每年比上年產(chǎn)值增加10%，則從今年起到第5年，這個廠的總產(chǎn)值為()A．1.14a B．1.15aC．11×(1.15－1)a D．10(1.16－1)a[答案]C[解析]S＝a(1＋10%)＋a(1＋10%)2＋…＋a(1＋10%)5＝11×(1.15－1)A．二、填空題3．某大樓共有20層，有19人在第1層上了電梯，他們分別要去第2層至第20層，每層1人，而電梯只允許停1次，可只使1人滿意，其余18人都要步行上樓或下樓，假設(shè)乘客每向下走1層的不滿意度為1，每向上走一層的不滿意度為2，所有人的不滿意度之和為S，為使S最小，電梯應(yīng)當(dāng)停在________層．[答案]14[解析]設(shè)停在第x層，則S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]＝eq\f(3x2－85x,2)＋421，∴x＝eq\f(85,6)時取最小值，而x∈{2,3，…，20}，∴x＝14時取最小值．4．某工廠生產(chǎn)總值的月平均增比率為p，則年平均增長率為________．[答案](1＋p)12－1[解析]設(shè)年平均增長率為x，原來總產(chǎn)值為a，由題意得a(1＋x)＝a(1＋p)12，∴x＝(1＋p)12－1.三、解答題5．某工廠年生產(chǎn)某種機(jī)器零件100萬件，計劃到年把產(chǎn)量提高到每年生產(chǎn)121萬件．如果每一年比上一年增長的百分率相同，這個百分率是多少？年生產(chǎn)這種零件多少萬件？[解析]設(shè)每一年比上一年增長的百分率為x，則從年起，連續(xù)3年的產(chǎn)量依次為a1＝100，a2＝a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋x)，a3＝100(1＋x)2，成等比數(shù)列．由100(1＋x)2＝121得(1＋x)2＝1.21，∴1＋x＝1.1或1＋x＝－1.1，∴x＝0.1或x＝－2.1(舍去)，a2＝100(1＋x)＝110(萬件)，所以每年增長的百分率為10%,年生產(chǎn)這種零件110萬件．6．某林場年底森林木材儲存量為330萬立方米，若樹林以每年25%的增長率生長，計劃從年起，每年冬天要砍伐的木材量為x萬立方米，為了實現(xiàn)經(jīng)過20年木材儲存量翻兩番的目標(biāo)，每年砍伐的木材量x的最大值是多少？(lg2≈0.3)[解析]設(shè)從年起的每年年底木材儲存量組成的數(shù)列為{an}，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝330,an＋1＝an1＋25%－x＝\f(5,4)an－x))，則an＋1－4x＝eq\f(5,4)(an－4x)，即eq\f(an＋1－4x,an－4x)＝eq\f(5,4).∴{an－4x}是以330－4x為首項，公比為eq\f(5,4)的等比數(shù)列