高中數(shù)學(xué) 2.3 等比數(shù)列（第2課時）練習(xí) 新人教B版必修5

第二章2.3第2課時一、選擇題1．在等比數(shù)列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，則a8＋a9等于()A．90 B．30C．70 D．40[答案]D[解析]∵q2＝eq\f(a6＋a7,a4＋a5)＝2，∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.2．(·重慶理，2)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列[答案]D[解析]設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵eq\f(a6,a3)＝eq\f(a9,a6)＝q3，∴aeq\o\al(2,6)＝a3a9，∴a3，a6，a9成等比數(shù)列，故選D.3．等比數(shù)列{an}各項為正數(shù)，且3是a5和a6的等比中項，則a1·a2·…·a10＝()A．39 B．310C．311 D．312[答案]B[解析]由已知，得a5a6＝9，∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9，∴a1·a2·…·a10＝95＝310.4．在等比數(shù)列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，則eq\f(a\o\al(2,9),a11)的值為()A．9 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]a3a5a7a9a11＝aeq\o\al(5,1)q30＝243，∴eq\f(a\o\al(2,9),a11)＝eq\f(a1q82,a1q10)＝a1q6＝eq\r(5,243)＝3.5．已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．16[答案]C[解析]∵a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5＋b9＝2b7＝8.6．在等比數(shù)列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，則eq\f(a6,a16)等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6) D．6[答案]A[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7·a11＝a4·a14＝6,a4＋a14＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝3,a14＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝2,a14＝3)).又∵an>an＋1，∴a4＝3，a14＝2.∴eq\f(a6,a16)＝eq\f(a4,a14)＝eq\f(3,2).二、填空題7．(·江蘇，7)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________．[答案]4[解析]本題考查等比數(shù)列的通項及性質(zhì)．設(shè)公比為q，因為a2＝1，則由a8＝a6＋2a4得q6＝q4＋2q2，q4－q2－2＝0，解得q2＝2，所以a6＝a2q4＝4.在等比數(shù)列中an＝am·qn－m.8．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,3)，則eq\f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)等于________．[答案]－3[解析]eq\f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)＝eq\f(a1＋a3＋a5＋a7,a1q＋a3q＋a5q＋a7q)＝eq\f(1,q)＝－3.三、解答題9．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.[解析](1)∵a1a2a3＝216，∴∴a1a3＝36.又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1、a3是方程x2－15x＋36＝0的兩根3和12.當(dāng)a1＝3時，q＝eq\f(a2,a1)＝2，an＝3·2n－1；當(dāng)a1＝12時，q＝eq\f(1,2)，an＝12·(eq\f(1,2))n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，∴q4＝4，∴q＝±eq\r(2).一、選擇題1．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210 B．220C．216 D．215[答案]B[解析]設(shè)A＝a1a4a7…a28，B＝a2aC＝a3a6a公比為q10＝210，由條件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.2．如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么()A．?dāng)?shù)列{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{2an}是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{lgan}是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列{nan}是等比數(shù)列[答案]A[解析]設(shè)bn＝aeq\o\al(2,n)，則eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝(eq\f(an＋1,an))2＝q2，∴{bn}成等比數(shù)列；eq\f(2an＋1,2an)＝2an＋1－an≠常數(shù)；當(dāng)an<0時lgan無意義；設(shè)cn＝nan，則eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f(n＋1an＋1,nan)＝eq\f(n＋1q,n)≠常數(shù)．3．在等比數(shù)列{an}中，公比為q，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)q>1時，{an}為遞增數(shù)列B．當(dāng)0<q<1時，{an}為遞增數(shù)列C．當(dāng)n∈N＋時，anan＋2>0成立D．當(dāng)n∈N＋時，anan＋2an＋4>0成立[答案]C[解析]如等比數(shù)列－1，－2，－4，－8，…，的公比q＝2，而該數(shù)列為遞減數(shù)列，排除A；如等比數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…，的公比q＝eq\f(1,2)，而該數(shù)列為遞減數(shù)列，排除B；如等比數(shù)列－1,1，－1,1，－1，…，中a1a3a5<0，排除D，故選C.4．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，則a，b，c()A．成等差數(shù)列不成等比數(shù)列B．成等比數(shù)列不成等差數(shù)列C．成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既不成等差數(shù)列又不成等比數(shù)列[答案]A[解析]解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－b.解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴選A.二、填空題5．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝________.[答案]16[解析]∵2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq\o\al(2,7)＝4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝beq\o\al(2,7)＝16.6．在3和一個未知數(shù)間填上一個數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項減去6則成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是__________．[答案]3或27[解析]設(shè)此三數(shù)為3、a、b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b,a－62＝3b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15,b＝27)).∴這個未知數(shù)為3或27.三、解答題7．{an}為等比數(shù)列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.[解析]∵{an}為等比數(shù)列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的兩個根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，當(dāng)a3＝4時，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.當(dāng)a3＝16時，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝eq\f(5,4)，∴q4＝eq\f(1,4).∴a11＝a3q8＝64或1.8．設(shè){an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比數(shù)列的通項公式an.[解析]由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1·a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，得log2(eq\f(2,q))·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴l(xiāng)og2q＝±2.解得q＝4或eq\f(1,4)，∴所求等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.9．(·全國大綱理，17)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝aeq\o\al(2,2)，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求{an}的通項公式．[解析]設(shè){an}的公差為d.由S3＝aeq\o\al(2,2)，得3a2＝aeq\o\al(2