高中數(shù)學 2-1-2 空間中直線與直線之間的位置關系能力強化提升 新人教A版必修2

【成才之路】高中數(shù)學2-1-2空間中直線與直線之間的位置關系能力強化提升新人教A版必修2一、選擇題1．異面直線是指()A．空間中兩條不相交的直線B．分別位于兩個不同平面內(nèi)的兩條直線C．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線D．不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線[答案]D[解析]對于A，空間兩條不相交的直線有兩種可能，一是平行(共面)，另一個是異面．∴A應排除．對于B，分別位于兩個平面內(nèi)的直線，既可能平行也可能相交也可異面，如右圖，就是相交的情況，∴B應排除．對于C，如右圖的a，b可看做是平面α內(nèi)的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，∴C應排除．只有D符合定義．∴應選D.規(guī)律總結：解答這類立體幾何的命題的真假判定問題，一方面要熟練掌握立體幾何中的有關概念和公理、定理；另一方面要善于尋找特例，構造相關特例模型，能快速、有效地排除相關的選擇項．2．a(chǎn)，b為異面直線，且a?α，b?β，若α∩β＝l，則直線l必定()A．與a，b都相交 B．與a，b都不相交C．至少與a，b之一相交 D．至多與a，b之一相交[答案]C[解析]若a，b與l都不相交，則a∥l，b∥l，即a∥b，與a，b是異面直線矛盾．故選C.3．直線a與直線b相交，直線c也與直線b相交，則直線a與直線c的位置關系是()A．相交 B．平行C．異面 D．以上都有可能[答案]D[解析]如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB與AA1相交，A1B1與AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD與AA1相交，所以AB與AD相交；又A1D1與AA1相交，所以AB與A1D14．正方體ABCD－A1B1C1D1中，與對角線AC1A．3條 B．4條C．6條 D．8條[答案]C[解析]畫一個正方體，不難得出有6條．5．下列命題中，正確的結論有()①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；④如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．A．1個 B．2個C．3個 D．4個[答案]B[解析]②④是正確的．6.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點，若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]A[解析]取AD的中點H，連FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，從而∠FEH＝30°，故選A.7．正方體A1B1C1D1－ABCD中，BD與B1A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]∵A1D∥B1C，∴A1D與BD所成的銳角(或直角)即為所求角，連接A1B.∵△A1DB∴∠A1DB＝60°.8．空間四邊形ABCD中，AB、BC、CD的中點分別為P、Q、R，且AC＝4，BD＝2eq\r(5)，PR＝3，則AC和BD所成的角為()A．90° B．60°C．45° D．30°[答案]A[解析]如圖，P、Q、R分別為AB、BC、CD中點，∴PQ∥AC，QR∥BD，∴∠PQR為AC和BD所成角又PQ＝eq\f(1,2)AC＝2，QR＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(5)，RP＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角為90°，故選A.二、填空題9．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關系是________，不平行的兩條直線的位置關系是________，兩條直線沒有公共點，則它們的位置關系是________，垂直于同一直線的兩條直線的位置關系為________．[答案]平行、相交、異面相交、異面平行、異面平行、相交、異面．10．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則下列結論：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③11．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a、M、N、P、Q分別為棱AB、BC、C1D1和CC1①MN與PQ的位置關系為________，它們所成的角為________．②DB1與MN的位置關系為________，它們所成的角是________．[答案]①相交60°②異面90°[解析]①連接AC、D1C由于P、Q分別為C1D1、C1所以PQ∥D1C同理MN∥AC，則AC與D1C所成角即為MN與PQ所成角，∠D1CA②連接AC、BD交于O，取BB1的中點H，連OH，則OH∥B1D，連AH，HC，則AH＝HC，∴OH⊥AC，又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.12．正方體ABCD－A1B1C1D1

①AC和DD1所成角是________度．②AC和D1C1③AC和B1D1所成的角是________度．④AC和A1B所成的角是________度．⑤O為B1D1中點，AC和BO所成角是________度．⑥A1B和B1D1所成角是________度．[答案]①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°.[解析]①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1與③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；④A1B∥D1C，△D1AC為等邊三角形，⑤在正方體中，∵O是B1D1中點，∴O為A1C1又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC與BO⑥B1D1∥BD，△A1BD為等邊三角形，∴成60°角．三、解答題13．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1內(nèi)有一點P，經(jīng)過點P作棱[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直線只需要平行于B1C[解析]如圖所示，在面A1C1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點E，交C1D1于點F，則直線理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥14．如圖所示，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，D、E分別是VB、VC的中點，求異面直線DE與AB所成的角．[解析]由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分別為VB、VC中點，∴DE∥BC，∴DE與AB所成的角為∠ABC＝45°.15．如右圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點．求異面直線BE與CD所成角的余弦值．[分析]根據(jù)異面直線所成角的定義，我們可以選擇適當?shù)狞c，分別引BE與DC的平行線，換句話說，平移BE(或CD)．設想平移CD，沿著DA的方向，使D移向E，則C移向AC的中點F，這樣BE與CD所成的角即為∠BEF或其補角，解△EFB即可獲解．[解析]取AC的中點F，連接BF、EF，在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補角)．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(\r(5),2).在等腰△EBF中，cos∠FEB＝eq\f(\f(1,2)EF,BE)＝eq\f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),10)，∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(10),10).16．如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分別為棱AD、AB、B1C1、C1D求證：∠EA1F＝∠E1CF1[證明]如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中點M，則BF＝A1M＝eq\f(1,2)AB.又∵BF∥A1M∴四邊形A1FBM為平行四邊形．∴A1F∥BM而F1、M分別為C1D1、A1B1的中點，則F1M綊C1B1而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝∴四邊形F1MBC為平行四邊形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥同理取A1D1的中點N，連接DN，E1N，則A1N綊DE，∴四邊形A1ND