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平面向量共線的坐標(biāo)表示第二章

§2.3

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.2.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo),判斷向量是否共線.3.掌握三點(diǎn)共線的判斷方法.題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考1

知識(shí)點(diǎn)平面向量共線的坐標(biāo)表示上面幾組向量中,a,b有什么關(guān)系?答案答案(1)(2)中b=2a,(3)中b=-3a,(4)中b=-a.已知下列幾組向量:(1)a=(0,3),b=(0,6);(2)a=(2,3),b=(4,6);(3)a=(-1,4),b=(3,-12);思考2

以上幾組向量中,a,b共線嗎?答案答案共線.思考3

當(dāng)a∥b時(shí),a,b的坐標(biāo)成比例嗎?答案坐標(biāo)不為0時(shí)成正比例.思考4

如果兩個(gè)非零向量共線,你能通過(guò)其坐標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎?答案答案能.將b寫成λa形式,λ>0時(shí),b與a同向,λ<0時(shí),b與a反向.(1)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)如果用坐標(biāo)表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2),當(dāng)且僅當(dāng)____________時(shí),向量a,b(b≠0)共線.注意:對(duì)于(2)的形式極易寫錯(cuò),如寫成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不對(duì)的,因此要理解并熟記這一公式,可簡(jiǎn)記為:縱橫交錯(cuò)積相減.梳理x1y2-x2y1=0題型探究

類型一向量共線的判定與證明例1

(1)下列各組向量中,共線的是A.a=(-2,3),b=(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)C.a=(1,-2),b=(7,14)D.a=(-3,2),b=(6,-4)答案解析解析A選項(xiàng),(-2)×6-3×4=-24≠0,∴a與b不平行;B選項(xiàng),2×2-3×3=4-9=-5≠0,∴a與b不平行;C選項(xiàng),1×14-(-2)×7=28≠0,∴a與b不平行;D選項(xiàng),(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,∴a∥b,故選D.解答(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判斷

是否共線?如果共線,它們的方向相同還是相反?方法一∵(-2)×(-6)-3×4=0且(-2)×4<0,反思與感悟此類題目應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線坐標(biāo)的條件進(jìn)行判斷,特別是利用向量共線坐標(biāo)的條件進(jìn)行判斷時(shí),要注意坐標(biāo)之間的搭配.證明證明設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2).例2已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時(shí),ka+b與a-3b平行?類型二利用向量共線求參數(shù)解答解方法一ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),當(dāng)ka+b與a-3b平行時(shí),存在唯一實(shí)數(shù)λ,使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).方法二由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),∵ka+b與a-3b平行,引申探究1.若例2條件不變,判斷當(dāng)ka+b與a-3b平行時(shí),它們是同向還是反向?解答∴ka+b與a-3b反向.2.在本例中已知條件不變,若問(wèn)題改為“當(dāng)k為何值時(shí),a+kb與3a-b平行?”,又如何求k的值?解答解a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),∵a+kb與3a-b平行,∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,反思與感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問(wèn)題,一般有兩種思路,一是利用向量共線定理a=λb(b≠0),列方程組求解,二是利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2-x2y1=0求解.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b與向量c=(-4,-7)共線,則λ=____.解析λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),∵λa+b與c共線,∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=λ-2=0,∴λ=2.答案解析2類型三三點(diǎn)共線問(wèn)題解答∴(4-k)(k-12)=-7×(10-k),解得k=-2或11,∴當(dāng)k=-2或11時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.反思與感悟(1)三點(diǎn)共線問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是向量共線問(wèn)題,兩個(gè)向量共線只需滿足方向相同或相反,兩個(gè)向量共線與兩個(gè)向量平行是一致的,利用向量平行證明三點(diǎn)共線需分兩步完成:①證明向量平行;②證明兩個(gè)向量有公共點(diǎn).(2)若A,B,C三點(diǎn)共線,即由這三個(gè)點(diǎn)組成的任意兩個(gè)向量共線.證明∴A,B,C三點(diǎn)共線.當(dāng)堂訓(xùn)練1.已知a=(-1,2),b=(2,y),若a∥b,則y的值是A.1 B.-1C.4 D.-4解析∵a∥b,∴(-1)×y-2×2=0,∴y=-4.√答案23451解析2.與a=(12,5)平行的單位向量為答案23451解析√解析設(shè)與a平行的單位向量為e=(x,y),3.已知三點(diǎn)A(1,2),B(2,4),C(3,m)共線,則m的值為_(kāi)___.答案解析6即(1,2)=λ(2,m-2)=(2λ,λm-2λ).23451即m=6時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.4.已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)依次是(3,-1),(1,2),(-1,1),(3,-5).求證:四邊形ABCD是梯形.證明23451證明∵A(3,-1),B(1,2),C(-1,1),D(3,-5).∴AB∥CD,且AB≠CD,∴四邊形ABCD是梯形.解答234512345123451規(guī)律與方法1.兩個(gè)向量共線條件的表示方法已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),(1)當(dāng)b≠0,a=λb.(2)x1y2-x2y1=0.(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí),

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