數(shù)學(xué)人教A版必修四課件第二章平面向量2.3.4

平面向量共線的坐標表示第二章

§2.3

平面向量的基本定理及坐標表示學(xué)習(xí)目標1.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.2.能根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否共線.3.掌握三點共線的判斷方法.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1

知識點平面向量共線的坐標表示上面幾組向量中，a，b有什么關(guān)系？答案答案(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.已知下列幾組向量：(1)a＝(0，3)，b＝(0，6)；(2)a＝(2，3)，b＝(4，6)；(3)a＝(－1，4)，b＝(3，－12)；思考2

以上幾組向量中，a，b共線嗎？答案答案共線.思考3

當(dāng)a∥b時，a，b的坐標成比例嗎？答案坐標不為0時成正比例.思考4

如果兩個非零向量共線，你能通過其坐標判斷它們是同向還是反向嗎？答案答案能.將b寫成λa形式，λ>0時，b與a同向，λ<0時，b與a反向.(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果用坐標表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)____________時，向量a，b(b≠0)共線.注意：對于(2)的形式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并熟記這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減.梳理x1y2－x2y1＝0題型探究

類型一向量共線的判定與證明例1

(1)下列各組向量中，共線的是A.a＝(－2，3)，b＝(4，6)B.a＝(2，3)，b＝(3，2)C.a＝(1，－2)，b＝(7，14)D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4)答案解析解析A選項，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a與b不平行；B選項，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a與b不平行；C選項，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a與b不平行；D選項，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b，故選D.解答(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3).判斷

是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？方法一∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，反思與感悟此類題目應(yīng)充分利用向量共線定理或向量共線坐標的條件進行判斷，特別是利用向量共線坐標的條件進行判斷時，要注意坐標之間的搭配.證明證明設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2).例2已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行？類型二利用向量共線求參數(shù)解答解方法一ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，當(dāng)ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a－3b).由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4).方法二由方法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b與a－3b平行，引申探究1.若例2條件不變，判斷當(dāng)ka＋b與a－3b平行時，它們是同向還是反向？解答∴ka＋b與a－3b反向.2.在本例中已知條件不變，若問題改為“當(dāng)k為何值時，a＋kb與3a－b平行？”，又如何求k的值？解答解a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2)＝(1－3k，2＋2k)，3a－b＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)，∵a＋kb與3a－b平行，∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0，反思與感悟根據(jù)向量共線條件求參數(shù)問題，一般有兩種思路，一是利用向量共線定理a＝λb(b≠0)，列方程組求解，二是利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0求解.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝____.解析λa＋b＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)，∵λa＋b與c共線，∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，∴λ＝2.答案解析2類型三三點共線問題解答∴(4－k)(k－12)＝－7×(10－k)，解得k＝－2或11，∴當(dāng)k＝－2或11時，A，B，C三點共線.反思與感悟(1)三點共線問題的實質(zhì)是向量共線問題，兩個向量共線只需滿足方向相同或相反，兩個向量共線與兩個向量平行是一致的，利用向量平行證明三點共線需分兩步完成：①證明向量平行；②證明兩個向量有公共點.(2)若A，B，C三點共線，即由這三個點組成的任意兩個向量共線.證明∴A，B，C三點共線.當(dāng)堂訓(xùn)練1.已知a＝(－1，2)，b＝(2，y)，若a∥b，則y的值是A.1 B.－1C.4 D.－4解析∵a∥b，∴(－1)×y－2×2＝0，∴y＝－4.√答案23451解析2.與a＝(12，5)平行的單位向量為答案23451解析√解析設(shè)與a平行的單位向量為e＝(x，y)，3.已知三點A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共線，則m的值為____.答案解析6即(1，2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ).23451即m＝6時，A，B，C三點共線.4.已知四邊形ABCD的四個頂點A，B，C，D的坐標依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5).求證：四邊形ABCD是梯形.證明23451證明∵A(3，－1)，B(1，2)，C(－1，1)，D(3，－5).∴AB∥CD，且AB≠CD，∴四邊形ABCD是梯形.解答234512345123451規(guī)律與方法1.兩個向量共線條件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)當(dāng)b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)當(dāng)x2y2≠0時，