五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)奧數(shù)講義-第13講 平面組合圖形2

第13講平面組合圖形2知識(shí)與方法1、三角形的等積變換指的是使三角形面積相等的變換。通過三角形的等積變換，可以解決許多與三角形相關(guān)的面積計(jì)算。2、三角形的等積變形中常用的幾個(gè)重要結(jié)論：（1）平行線間的距離處處相等。（2）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。（3）底在同一條直線上并且相等，底所對(duì)的頂點(diǎn)是同一個(gè)，這樣的兩個(gè)三角形的面積相等。如下圖，△ABD與△ACD底在同一直線上，且BD＝DC，S△ABD＝S△ADC。（4）若兩個(gè)三角形的高（或底）相等，其中一個(gè)三角形的底（或高）是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形的面積的幾倍。如下圖，△ABD與△ACD的高相等，DC＝2BD，S△ADC＝2S△ABD。（5）若幾個(gè)三角形的底邊相等，并在兩條平行線中的同一條直線上，而且相等的底邊所對(duì)的頂點(diǎn)在兩條平行線中的另一條邊上，則這幾個(gè)三角形的面積相等。如下圖，三個(gè)三角形的底相等，那么S①＝S②＝S③。初級(jí)挑戰(zhàn)1把任意一個(gè)三角形分成四個(gè)面積相等的三角形，可以怎樣分？思維點(diǎn)撥：根據(jù)“等底等高的兩個(gè)三角形面積相等”，對(duì)三角形進(jìn)行分割，即可保證分割的小三角形面積相等。答案：提供幾種分法如下（答案不唯一）?！芰μ剿?在△ABC中，E、D、G分別是AB、BC、AD的中點(diǎn)，圖中與△AGC面積相等的三角形有哪些？答案：共3個(gè)，分別是△CDG、△BDE、△ADE。初級(jí)挑戰(zhàn)2 如圖，ABCD是直角梯形，求陰影部分的面積和。（單位：厘米）思路引領(lǐng)：比較陰影部分兩個(gè)三角形，高相等，底在同一直線上。根據(jù)“等底等高的兩個(gè)三角形面積相等”，你能將陰影部分兩個(gè)三角形轉(zhuǎn)化在一起嗎？答案：如下圖，△ACE的面積等于原△CDE的面積，所求陰影部分的面積和就是△ABC的面積，S陰影＝3×6÷2＝9（平方厘米）。能力探索2 求下圖中陰影部分的面積和。答案：S陰影＝25×10÷2＝125（平方厘米）中級(jí)挑戰(zhàn)1 如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積為80平方厘米，E、F、G分別為AB、BC、CD的中點(diǎn)，H為AD上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積和。思路引領(lǐng)：如下圖，連接BH、HC，由題意可知△BEH面積＝（）的面積，△BFH面積＝（）的面積,△HDG面積＝（）的面積，所以陰影部分的面積恰好是長(zhǎng)方形ABCD面積的（）。答案：80÷2＝40(平方厘米)。能力探索3 下圖中四邊形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，AD＝10厘米，AB＝4厘米，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，G是CD上的任意一點(diǎn)，則陰影部分的面積和是多少平方厘米？答案：連接BG，長(zhǎng)方形ABCD的面積＝4×10＝40（平方厘米）S△AGB＝4×10÷2＝20（平方厘米）因?yàn)镋、F分別是BC、AD的中點(diǎn)所以S△AFG＝S△DFG,S△BEG＝S△CEG所以S△AFG＋S△CEG＝(40－20)÷2＝10（平方厘米）中級(jí)挑戰(zhàn)2在三角形ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。思路引領(lǐng)：根據(jù)S△AED＝20平方厘米及CE＝3AE，可知S△CDE＝（）×S△AED＝（）平方厘米，則S△ACD＝（）平方厘米。同理，求出S△ABD，則S△ABC即可求出。答案：S△CDE：20×3＝60（平方厘米）S△ACD：60＋20＝80（平方厘米）S△ABD：80÷2＝40（平方厘米）那么S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝40＋80＝120(平方厘米)

能力探索41、在△ABC中，BD＝DE＝EC，BF＝FA，△EDF的面積是1，那么△ABC的面積是多少？答案：連接AE。由BD＝DE知，S△BDF＝S△DEF＝1由BF＝FA知，S△AEF＝S△BEF＝S△BDF＋S△DEF＝2所以S△ABE＝S△BEF＋S△AEF＝4而BD＝DE＝EC，所以BE＝2EC，所以S△AEC＝S△ABE÷2＝2所以S△ABC＝S△ABE＋S△AEC＝4＋2＝62、如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，AE＝2EC。已知△ABC的面積是108平方厘米，求△CDE的面積。答案：因?yàn)锽D＝DC，所以S△BDE＝S△CDE，S△BCE＝2S△CDE。又因?yàn)锳E＝2EC，所以S△ABE＝2S△BCE,S△ABC＝3S△BCE＝6S△CDE，所以S△CDE＝108÷6＝18（平方厘米）。聰明泉應(yīng)酬爸爸打電話告訴兒子，說今晚有應(yīng)酬，不能回來吃飯了。兒子問：“什么叫應(yīng)酬？”爸爸說：“不想去，又不得不去的叫應(yīng)酬。”第二天早上兒子上學(xué)時(shí)，說道：“爸爸，我要去應(yīng)酬了?！蓖卣固魬?zhàn)如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，S△AOB＝4平方厘米。（1）△COD的面積是多少？（2）若OC＝2OA，梯形ABCD的面積是多少？思維點(diǎn)撥：（1）由圖可知，△ABC與△BCD同底等高，所以S△ABC＝S△BCD，而S△ABC＝S△AOB＋S△BOC，S△BCD＝S△COD＋S△BOC,，所以S△AOB＝S△COD，所以S△COD＝4平方厘米。（2）因?yàn)镺C＝2OA，所以在△ACD中，S△COD＝2S△AOD，所以S△AOD＝4÷2＝2（平方厘米）。而在△ABC中，由OC＝2OA，有S△BOC＝2S△AOB，所以S△BOC＝4×2＝8（平方厘米）。所以梯形的面積＝S△AOD＋S△AOB＋S△BOC＋S△COD＝2＋4＋8＋4＝18（平方厘米）。能力探索5兩條對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形。如圖所示，已知兩個(gè)三角形的面積分別為6和12，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？（單位：平方厘米）BBAC6OD12答案：根據(jù)蝴蝶定理，有S△AOB＝S△COD＝6（平方厘米）因?yàn)镾△BOC＝12（平方厘米），S△COD＝6（平方厘米），所以S△BOC＝2S△COD,所以O(shè)B＝2OD。在△ABD中，則有S△AOB＝2S△AOD，所以S△AOD＝6÷2＝3（平方厘米）所以另兩個(gè)三角形AOB、AOD的面積分別是6平方厘米和3平方厘米。課堂小測(cè)1、把下圖三角形的底邊BC四等分，在下面括號(hào)里填上“＞”、“＜”或“＝”。甲的面積（）乙的面積。答案：＝（等底等高的兩個(gè)三角形面積相等）2、如圖，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是9厘米，寬是8厘米，A和B是寬的中點(diǎn)，求長(zhǎng)方形內(nèi)陰影部分的面積。答案：S陰影＝9×8÷2÷2＝18（平方厘米）3、E是長(zhǎng)方形ABCD的BC邊上一點(diǎn)，連接BD、AE、DE。已知△ADE的面積是10平方厘米，△BED的面積是3平方厘米。求△DEC的面積。答案：因?yàn)镾△ADE＝10平方厘米所以S△DAB＝10平方厘米又因?yàn)锳BCD是長(zhǎng)方形所以S△DAB＝S△DCB＝10平方厘米又因?yàn)镾△BED＝3平方厘米所以S△DEC＝S△DCB－S△BED＝10－3＝7（平方厘米）4、三角形ABC和CDE組合成下圖，△CDE面積是7平方厘米，BC＝CD，AC＝3EC，求三角形ABC的面積。答案：連接BE，由BC＝CD，得S△BCE＝S△CDE＝7平方厘米，由AC＝3EC，得S△ABC＝3S△BCE，S△ABC的面積是7×3＝21（平方厘米）。課后作業(yè)1、求下圖長(zhǎng)方形ABCD的面積。（單位：厘米）2、如圖，平行四邊形ABCD的面積是24平方厘米，E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，圖中陰影部分的面積是多少？3、△ABC中，BD＝DC，AE＝2BE，已知△BDE的面積是5平方厘米，求△ABC的面積。4、如圖，三個(gè)小三角形ABC、BCD和CDE組成大三角形ABE，ABC的面積是24平方厘米，3BD＝DE，2AC＝CE，△BCD的面積是多少平方厘米?答案：1、大三角形的面積為6×8÷2＝24（平方厘米），長(zhǎng)方形ABCD的面積是大三角形面積的2倍，長(zhǎng)方形