廣西陸川縣中學(xué)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題

廣西陸川縣中學(xué)2018年春季期高三3月月考理科數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)全集是實數(shù)集,函數(shù)的定義域為,,則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】,所以,選D.2.已知集合A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，，所以，選D.3.函數(shù)是A.周期為的奇函數(shù)B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù)D.周期為的偶函數(shù)【答案】A【解析】因為所以函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，選A.4.已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意得所以選B.點睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.5.從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個數(shù)大于30的概率為A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意知，試驗發(fā)生包含事件是從數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，構(gòu)成一個兩位數(shù)，共種結(jié)果，滿足條件的時間可以列舉出：，共有個，根據(jù)古典概型的概率公式，得到，故選D．6.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c【答案】D【解析】試題分析：因為，所以選D.考點：比較大小【名師點睛】比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較，對于填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.7.“m＜0”是“函數(shù)存在零點”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】試題分析：“函數(shù)不存在零點”即，故是充分不必要條件.考點：充要條件．8.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A.B.C.D.【答案】A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個組合體：在一個半球上疊加一個圓錐，且挖掉一個相同的圓錐，所以該幾何體的體積和半球的體積相等，因此該幾何體的體積，故選A.9.已知A，B是圓上的兩個動點，，若M是線段AB的中點，則的值為A.B.C.2D.3【答案】D【解析】是線段的中點，所以，所以.由圓的方程可知圓的半徑為2，又因為，所以，所以，，所以10.習(xí)總書記在十九大報告中指出：堅定文化自信，推動社會主義文化繁榮興盛．如圖，“大衍數(shù)列”：0，2，4，8，12……來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和．如圖是求大衍數(shù)列前n項和的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，輸入，則輸出的S=A.26B.44C.68D.100【答案】B【解析】執(zhí)行循環(huán)得：結(jié)束循環(huán)，輸出選B.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.11.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點，過作一條漸近線的垂線，垂足為，延長與雙曲線的右支相交于點，若，則此雙曲線的離心率為A.B.C.D.【答案】B【解析】漸近線方程與直線，聯(lián)立可得的坐標為，由，可得的坐標為，將點坐標代入雙曲線方程，可得，化為，，即雙曲線的離心率為,故選B.12.設(shè)，分別是函數(shù)和的零點（其中），則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】的零點是方程即的解，的零點是是方程，即的解，即是與與交點的橫坐標，可得，的圖象與關(guān)于對稱，的圖象也關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，設(shè)關(guān)于對稱點與重合，，，的取值范圍是,故選D.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的零點、反函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點問題主要有以下思路：(1)直接法，函數(shù)圖象與橫軸的交點橫坐標；(2)轉(zhuǎn)化為方程解的問題；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，二是轉(zhuǎn)化為的交點問題.二、填空題（本大題共4小題,每小題5分,共20分）13.設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為_______．【答案】4【解析】,畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標函數(shù)在點處取得最大值為.[點睛]本小題主要考查線性規(guī)劃的基本問題,考查了指數(shù)的運算.畫二元一次不等式或表示的平面區(qū)域的基本步驟：①畫出直線（有等號畫實線，無等號畫虛線）；②當(dāng)時，取原點作為特殊點，判斷原點所在的平面區(qū)域；當(dāng)時，另取一特殊點判斷；③確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域.14.某工廠從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽出一部分，對這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標進行了檢測，整理檢測結(jié)果得到如下頻率分布表：質(zhì)量指標分組頻率0.10.60.3據(jù)此可估計這批產(chǎn)品的此項質(zhì)量指標的方差為_______．【答案】144【解析】由題意得這批產(chǎn)品的此項質(zhì)量指標的平均數(shù)為，故方差為．答案：點睛：在頻率分布直方圖中平均數(shù)的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和，在頻率分布表中平均數(shù)的估計值等于每個分組的中點值乘以該組頻率之和．利用類似的方法也可根據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求得方差．15.的展開式中常數(shù)項為_______．【答案】672【解析】表示9個相乘，從這9個中選取6個且只取其中的，從剩余的3個中只取，相乘后即可得到常數(shù)項，故常數(shù)項為．答案：16.若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)，既有最大值又有最小值，則正實數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【解析】,其中,,故,解得,故,解得.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.每22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）證明：；（2）若，且的面積為，求.【答案】（1）見解析（2）2【解析】試題分析：（1）由，根據(jù)正弦定理可得，利用兩角和的正弦公式展開化簡后可得，所以，；（2）由，根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合（1）的結(jié)論可得三角形為等腰三角形，于是可得，由，解得.試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，由已知得：，展開得：，整理得：，所以，.（2）由已知得：，∴，由，得：，，∴，由，得：，所以，，由，得：.18.隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，延遲退休已成為人們越來越關(guān)心的話題.為了了解公眾對延遲退休的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組在某社區(qū)隨機抽取50人進行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后制成下表：年齡人數(shù)46753年齡人數(shù)67444經(jīng)調(diào)查，年齡在，的被調(diào)查者中贊成延遲退休的人數(shù)分別為4和3，現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調(diào)查.（1）求年齡在的被調(diào)查者中選取的2人都贊成延遲退休的概率；（2）若選中的4人中，兩組中不贊成延遲退休的人數(shù)之差的絕對值為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）見解析【解析】試題分析:（1）利用古典概型的概率公式，求出年齡在［25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都是贊成的概率；（2）由已知得的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.試題解析：(Ⅰ)設(shè)“年齡在的被調(diào)查者中選取的人都是贊成”為事件，所以(Ⅱ)的可能取值為，，，所以，，所以點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是判斷取值，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是求概率，即利用排列組合，窮舉法等求出隨機變量每個值時的概率;第三步是寫分布列，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確;第四步是求期望值，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布X～B(n，p))，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.19.在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，且是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值的大小.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）取AD的中點N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結(jié)合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結(jié)合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角的大小.解析：（1）解法一：取的中點，連接.在中，是的中點，是的中點，所以，又因為，所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面平面，故平面.解法二：因為平面，故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得，設(shè)平面的一個法向量是.由得令，則.又因為，所以，又平面，故平面.（2）由（1）可知平面的一個法向量是.易得平面的一個法向量是所以，又二面角為銳角，故二面角的余弦值大小為.20.已知橢圓C：的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）過作兩條直線與圓相切且分別交橢圓于M、N兩點．①求證：直線MN的斜率為定值；②求△MON面積的最大值（其中O為坐標原點）．【答案】（1）（2）①②【解析】試題分析：（1）先求雙曲線離心率得橢圓離心率，再將點坐標代入橢圓方程，解方程組得，（2）①先根據(jù)點斜式得直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立解得坐標，根據(jù)直線與圓相切，得斜率相反，同理可得最后根據(jù)斜率公式求斜率，②設(shè)直線MN方程，根據(jù)原點到直線距離得高，與橢圓方程聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理以及弦長公式得底邊邊長，最后代入三角形面積公式，利用基本不等式求最值.試題解析：（1）可得，設(shè)橢圓的半焦距為，所以，因為C過點，所以，又，解得，所以橢圓方程為．（2）①顯然兩直線的斜率存在，設(shè)為，，由于直線與圓相切，則有，直線的方程為，聯(lián)立方程組消去，得，因為為直線與橢圓的交點，所以，同理，當(dāng)與橢圓相交時，，所以，而，所以直線的斜率．②設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，所以，原點到直線的距離，面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號．經(jīng)檢驗，存在（），使得過點的兩條直線與圓相切，且與橢圓有兩個交點M，N．所以面積的最大值為．點睛：解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.21.已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得實數(shù)的值；（2）設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為在上為增函數(shù)，即得在上恒成立，參變分離得，最后根據(jù)二次函數(shù)最值求實數(shù)的取值范圍；（3）先化簡不等式，并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，按導(dǎo)函數(shù)零點與定義區(qū)間大小關(guān)系討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值，根據(jù)最小值小于零解得實數(shù)的取值范圍.試題解析：解：（1）由，得.由題意，，所以.（2）.因為對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.問題等價于函數(shù)，即在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即實數(shù)的取值范圍是.（3）不等式等價于，整理得.構(gòu)造函數(shù)，由題意知，在上存在一點，使得..因為，所以，令，得.①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增.只需，解得.②當(dāng)即時，在處取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化為.因為，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，只需，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.22.選修44：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，圓的普通方程為.在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）寫出圓的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)直線與軸和軸的交點分別為、，為圓上的任意一點，求的取值范圍.【答案】（1）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.直線的直角坐標方程為.（2）【解析】【試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標方程展開后化簡得直角坐標方程.(II)求得兩點的坐標,設(shè)點，代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.【試題解析】（Ⅰ）圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)