遼寧省名校聯(lián)盟（東北三省三校）高三上學(xué)期9月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前遼寧省名校聯(lián)盟2024年高三9月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)命題人：大連市第二十四中學(xué)王輝審題人：大連市第二十四中學(xué)李響本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)的運算法則即可得解.【詳解】.故選：C.2.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題B.和都是真命題C.和都是真命題D.和都是真命題【答案】A【解析】【分析】由存在性命題可知滿足為真命題，利用作差法可判斷，即為真命題.【詳解】對于可知，當(dāng)時滿足命題，為真命題，所以為假命題；易知，所以，也即為真命題，為假命題；可得和都是真命題.故選：A3.已知為全集的非空真子集，且不相等，若，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知集合是集合的真子集，結(jié)合韋恩圖逐項分析判斷.【詳解】因為，等價于，等價于，且不相等，可知集合是集合的真子集，故A錯誤；且，故B正確；據(jù)此作出韋恩圖，可知，，故CD錯誤；故選：B.4.如圖，有一個無蓋的盛水的容器，高為，其可看作將兩個完全相同的圓臺面積較大的底面去掉后對接而成.現(xiàn)從頂部向該容器中倒水，且任意相等的時間間隔內(nèi)所倒的水的體積相等，記容器內(nèi)水面的高度隨時間變化的函數(shù)為，則下列函數(shù)圖象中最有可能是圖象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】考慮函數(shù)增長速度得到結(jié)論可得正確選項.【詳解】因為單位時間內(nèi)注水的體積不變，結(jié)合容器的形狀，在單位時間內(nèi)，高度變化率先由快變慢，后由慢變快.故選：D.5.已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】舉反例，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】例如，則，滿足，但，即充分性不成立；例如，則，滿足，但，即，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用偶函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)在上單調(diào)遞增即可判斷得出結(jié)論.【詳解】易知，顯然，又因為在上單調(diào)遞增，所以可得；由偶函數(shù)性質(zhì)可得，即.故選：B7.已知定義在上的函數(shù)，對，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】先由函數(shù)圖象平移的性質(zhì)得到為偶函數(shù)，再利用函數(shù)周期性的判定得到為周期函數(shù)，進而利用賦值法即可得解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又的圖象由的圖象向左平移一個單位長度得到，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故為偶函數(shù)，因為4，所以，所以是以8為一個周期的偶函數(shù)，所以，由，得，則.故選：C.8.已知函數(shù)，則當(dāng)時，方程的不同的實數(shù)解的個數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性和極值，并作出的圖象，令，分析可知方程的2根的正負性相反，結(jié)合圖象即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：的定義域為，若，則，且，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即f′x>0對任意可知在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x趨近于時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于；若，則，且，令，則，可知hx在內(nèi)單調(diào)遞減，且，當(dāng)，則hx>0，即f′x>0；當(dāng)，則h可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，則，當(dāng)x趨近于時，趨近于，當(dāng)x趨近于時，趨近于；據(jù)此作出函數(shù)的圖形，如圖所示：對于方程，令，則，且，，可知方程有2個不相等的實根，則，可知的正負性相反，不妨設(shè)，則有3個不相等的實根；有1個不相等的實根；綜上所述：程的不同的實數(shù)解的個數(shù)為4.故選：A【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面．一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導(dǎo)致錯誤的選擇．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知且，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意解不等式即可得，，即可判斷AB；對于C：舉反例說明即可；對于D：利用基本不等式可得，進而結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于選項AB：因為，則，且，則，解得，若，則，故A錯誤，B正確；對于選項C：令，則，故C錯誤；對于選項D：可知均為正數(shù)，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故D正確；故選：BD.10.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，下列結(jié)論正確的有（）A.B.是偶函數(shù)C.D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用待定系數(shù)法可得，可判斷A，B；求導(dǎo)可得代入計算得C；利用冪函數(shù)單調(diào)性以及偶函數(shù)性質(zhì)解不等式得D.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，代入點可得，解得；所以，因此函數(shù)的定義域為，不存在，A錯誤；易知，因此是偶函數(shù)，即B正確；由可得，所以，即C正確；由冪函數(shù)性質(zhì)可得在0,+∞上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù),所以不等式轉(zhuǎn)化為，且；整理可得，解得且；即不等式的解集為，即D正確.故選：BCD11.表示不超過的最大整數(shù)，例如，，已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.C.設(shè)，則D.所有滿足的點組成的區(qū)域的面積為【答案】ABD【解析】【分析】對于AB，理解函數(shù)的定義，從而分析對應(yīng)函數(shù)的值或性質(zhì)即可判斷；對于C，將問題轉(zhuǎn)化為表示邊長為20的正方形內(nèi)整點的個數(shù)之和，從而結(jié)合圖形得解；對于D，分類討論的取值范圍，從而依次求得對應(yīng)的面積，從而得解.【詳解】對于A項，若，則，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)，則，又，所以，所以，即，故B正確；對于C，因為，而表示軸，直線，及曲線所圍成區(qū)域的整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）的個數(shù)（不含軸上的點），設(shè)函數(shù)和，可得函數(shù)和互為反函數(shù)，即兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由函數(shù)對稱性可得軸，直線及曲線圍成的區(qū)域與以軸，直線及曲線圍成的區(qū)域所包含的整點一樣多，如圖所示：則表示邊長為20的正方形內(nèi)整點的個數(shù)之和，其中有兩個，且不含坐標軸上的點，所以整點的個數(shù)為，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時，，，此時組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時，，，此時組成區(qū)域的面積為1；當(dāng)時，，此時組成區(qū)域的面積為.綜上，點組成區(qū)域的面積為，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的定義可得，根據(jù)對數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因為，可得且，可得且，可知，且，可得，解得或（舍去），若，則，則，可得，整理可得，解得或（舍去），所以的取值范圍是.故答案為：.13.數(shù)列共有5項，前三項成等差數(shù)列，且公差為，后三項成等比數(shù)列，且公比為.若第1項為1，第2項與第4項的和為18，第3項與第5項的和為35，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列通項列出5項，結(jié)合題意列式求解即可.【詳解】由題意可知：數(shù)列的有5項為，因為，則，可得，整理可得，解得或（舍去），若，可得，即，所以.故答案為：5.14.已知均為正數(shù)，，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】利用配方法可得，設(shè)，利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)最值分析求解.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又因為，，設(shè)，則，其中，可知的最大值為，其中，即，可得，綜上所述：的最大值為，其中.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于平方關(guān)系的等式，常借助于三角換元，把最值問題轉(zhuǎn)化為三角問題分析求解，本題的關(guān)鍵在于令，進而運算求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是首項為3，公比為9的等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式可得，利用數(shù)列的遞推式作差可得，從而得解；（2）由（1）求得，再利用錯位相減法即可得解.【小問1詳解】因為數(shù)列是首項為3，公比為9的等比數(shù)列，所以，所以，由，得當(dāng)時，，兩式相減，得，即，又當(dāng)時，也符合，所以.【小問2詳解】設(shè)，則，故.，兩式作差得，即，所以.16.定義三階行列式運算：，其中.已知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求；（2）已知函數(shù)不存在最小值，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三階行列式運算，列不等式求解集；（2）由分段函數(shù)解析式，分別討論定義區(qū)間內(nèi)函數(shù)不存在最小值的條件，可求的取值范圍.【小問1詳解】，解得且，又，，所以不等式解集.【小問2詳解】由（1）可知，有，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)，即時，，所以不存最小值；當(dāng)，即時，，因為不存在最小值，所以，解得，綜上，的取值范圍是.17.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，當(dāng)時，記在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)得，再計算出，則得到切線方程；（2）求出，再利用導(dǎo)數(shù)得，，再作差得，最后再利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍即可.【小問1詳解】由，得，所以，所以，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.【小問2詳解】由（1）可得，，因為，所以，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以的最小值.又，，所以，從而的最大值，所以設(shè)，則，由，知，所以單調(diào)遞增，因為，，所以的取值范圍為.18.已知為數(shù)列的前項和，為數(shù)列的前項和，.（1）求的通項公式；（2）若，求的最大值；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式得出等差數(shù)列再應(yīng)用基本量運算得出通項公式；（2）分組求和分別求出,再計算化簡結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性計算求解；（3）先根據(jù)得出,再化簡裂項，裂項相消求和證明右側(cè)不等式【小問1詳解】由，得，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，所以，所以.又，所以，設(shè)an公差為d，即解得所以an的通項公式是.【小問2詳解】由（1）知，所以，，令，得，設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.又，，所以n的最大值為5.【小問3詳解】由（2）知，設(shè)是的前n項和，則，所以是遞增數(shù)列，所以成立.又，所以當(dāng)時，得，所以.綜上，.19.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若，求的極值；（2）若，求；（3）利用（2）中求得的，若，數(shù)列滿足，且，證明：.【答案】（1）極大值為，無極小值；（2）（3）證明過程見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到在處取得極大值，極大值為，無極小值；（2）放縮得到，構(gòu)造函數(shù)，注意到，所以，即為的極大值點，求導(dǎo)，根據(jù)求出，檢驗后得到答案；（3）求出，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，故，求出，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，作差法求出，所以，即，故，又，證明出，證畢.【小問1詳解】由題意得，則，為減函數(shù)，令得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，極大值為，無極小值；【小問2詳解】因為，所以，從而，所以，即，設(shè)，注意到，所以，即為的極大值點