電路基礎(chǔ)（微課版）課件 第4章 正弦交流電路基礎(chǔ)

第4章

正弦交流電路基礎(chǔ)第4章正弦交流電路基礎(chǔ)本章主要介紹正弦交流電路的基礎(chǔ)知識(shí)。首先介紹了正弦量的振幅、角頻率、初相位、相位差以及有效值等基本概念；然后介紹了電感和電容這兩種基本的交流電路元件；最后介紹了復(fù)數(shù)和相量以及相量形式下的電路定律。2第4章正弦交流電路基礎(chǔ)4.1正弦交流電的基本概念4.2電感元件和電容元件4.3復(fù)數(shù)和相量34.1正弦交流電的基本概念正弦交流電與直流電相比有如下優(yōu)點(diǎn)：（1）正弦交流電易于產(chǎn)生、轉(zhuǎn)換和傳輸。（2）正弦交流發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，造價(jià)便宜，運(yùn)行可靠。（3）交流電可利用變壓器改變電壓，采用高壓輸電可以大大地減少輸電損耗。（4）利用電子整流設(shè)備可以方便地將交流電轉(zhuǎn)換為直流電。（5）由于工程中遇到的非正弦周期量都可以利用數(shù)學(xué)工具（如傅立葉分析）分解為直流分量和一系列不同頻率的正弦分量，因此正弦交流量是分析非正弦周期量的基礎(chǔ)。44.1正弦交流電的基本概念在直流電路中，電流和電壓的大小和方向都是不變的，通常使用大寫字母I

和U

分別表示。而在交流電路中，電流的大小和方向以及電壓的大小和極性都是隨時(shí)間的變化而變動(dòng)的，在任一瞬時(shí)，電流（或電壓）的數(shù)值，稱為它的瞬時(shí)值，用小寫字母表示，例如瞬時(shí)電流記作i(t)，瞬時(shí)電壓記作u(t)，也可簡(jiǎn)寫為i

和u

。由于在不同的瞬時(shí)，電流、電壓的瞬時(shí)值不僅大小不同，正負(fù)也不同。因此規(guī)定，電流的實(shí)際方向與參考方向或者電壓的實(shí)際極性與參考極性一致時(shí)取正，否則取負(fù)。5正弦電流的數(shù)學(xué)解析式為：4.1正弦交流電的基本概念64.1.1正弦量的三要素對(duì)應(yīng)的波形示意圖為：4.1正弦交流電的基本概念74.1.1正弦量的三要素稱為正弦量的三要素4.1正弦交流電的基本概念8是正弦量的振幅。它表示正弦量在變化過(guò)程中所能達(dá)到的最大值。是正弦量的角頻率。它表示正弦量對(duì)應(yīng)的角度隨時(shí)間變化的速度，它反映了正弦量變化的快慢。角頻率的單位是弧度每秒（rad/s）。是正弦量的初相位，它是正弦量在計(jì)時(shí)起點(diǎn)（t=0）時(shí)刻的相位，它反映了正弦量的初始值。4.1正弦交流電的基本概念9正弦量變化的快慢還可以用周期（T）和頻率（f）表示。周期的單位是秒（s），而頻率的單位是赫茲（Hz）。角頻率、周期和頻率之間有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系。我國(guó)電力系統(tǒng)采用的是工頻為50Hz的交流電，它的周期是0.02s，角頻率為314rad/s4.1正弦交流電的基本概念10例題

已知有一個(gè)正弦量

求它的振幅、角頻率、周期和頻率。4.1正弦交流電的基本概念11例題

已知有一個(gè)正弦量

求它的振幅、角頻率、周期和頻率。解根據(jù)正弦量的數(shù)學(xué)表達(dá)式及相關(guān)定義可得振幅為角頻率為周期為頻率為4.1正弦交流電的基本概念124.1.2正弦量的相位差正弦交流電路中，電流和電壓都是同頻率的正弦量，但是它們的相位并不一定都相同。設(shè)兩個(gè)同頻率正弦量分別為:它們之間的相位之差，稱為相位差，用字母

φ

表示，即:4.1正弦交流電的基本概念134.1.2正弦量的相位差它們之間的相位之差，稱為相位差，用字母

φ

表示，即:可見，兩個(gè)同頻率正弦量的相位差等于它們的初相位之差，它是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常量。應(yīng)當(dāng)注意，對(duì)于兩個(gè)不同頻率的正弦量，相位差是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，不在本書討論范圍。相位差反映了兩個(gè)同頻正弦量的變化進(jìn)程的不同。4.1正弦交流電的基本概念144.1.2正弦量的相位差4.1正弦交流電的基本概念15例題

兩個(gè)同頻的正弦量分別為求它們之間的相位差。4.1正弦交流電的基本概念16例題

兩個(gè)同頻的正弦量分別為求它們之間的相位差。解：求相位差要求兩個(gè)正弦量的函數(shù)形式一致故應(yīng)先將u

改寫成正弦函數(shù)的形式，即：4.1正弦交流電的基本概念17例題

兩個(gè)同頻的正弦量分別為求它們之間的相位差。可得相位差為：一般要求相位應(yīng)不大于180°，因此：4.1正弦交流電的基本概念184.1.3正弦量的有效值交流電的大小是隨著時(shí)間變化而變化的，瞬時(shí)值的大小在零和正負(fù)峰值之間變化，最大值也僅是一瞬間的數(shù)值，不能反映交流電的做功能力。為此，工程上引入一個(gè)新的概念，就是有效值。在一個(gè)線性電阻

R上，分別加上周期電流

i和直流電流

I，若在一個(gè)周期

T的時(shí)間段內(nèi)，它們?cè)陔娮?/p>

R

上產(chǎn)生的熱效應(yīng)相同（也即電流做功的數(shù)值相同），則該直流電I

的大小就定義為周期交流電

i的有效值，并規(guī)定使用大寫字母

I表示交流電

i的有效值。4.1正弦交流電的基本概念194.1.3正弦量的有效值正弦交流電路中，電流和電壓的有效值分別定義為4.1正弦交流電的基本概念204.1.3正弦量的有效值代入正弦電流和電壓的表達(dá)式可得：4.1正弦交流電的基本概念214.1.3正弦量的有效值當(dāng)采用有效值時(shí)，正弦電流、電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式可以表示為:實(shí)際工程中凡是談到周期電流、電壓的量值時(shí)，若無(wú)特殊說(shuō)明，都是指有效值。在交流設(shè)備的銘牌上標(biāo)注的電流或電壓以及測(cè)量?jī)x表上指示的電流或電壓也都是有效值。但是在分析各種電子器件的擊穿電壓或電氣設(shè)備的絕緣耐壓時(shí)，要按最大值考慮。4.1正弦交流電的基本概念22例題

已知某正弦電流的振幅為10安，求該電流流經(jīng)10歐姆電阻時(shí)產(chǎn)生的功率大小。4.1正弦交流電的基本概念23例題

已知某正弦電流的振幅為10安，求該電流流經(jīng)10歐姆電阻時(shí)產(chǎn)生的功率大小。解首先計(jì)算電流的有效值4.1正弦交流電的基本概念24例題

已知某正弦電流的振幅為10安，求該電流流經(jīng)10歐姆電阻時(shí)產(chǎn)生的功率大小。因此可得功率為：解首先計(jì)算電流的有效值在交流電路中，常用的元器件除了電阻外，還有電感和電容。電路中的電壓和電流隨時(shí)間變動(dòng)，使得電路周圍的磁場(chǎng)和電場(chǎng)也隨時(shí)間變動(dòng)。變動(dòng)的磁場(chǎng)將在電感中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，變動(dòng)的電場(chǎng)將在電容中產(chǎn)生位移電流，從而影響到整個(gè)電路中的電壓和電流的分布。本節(jié)介紹電感元件、電容元件以及它們?cè)诮涣麟娐分械姆蔡匦浴?.2電感元件和電容元件254.2電感元件和電容元件264.2.1電感元件電感元件是實(shí)際線圈的理想化模型。下圖（a）所示是一只匝數(shù)為N的線圈，其電路模型如圖（b）所示。常見的電感線圈有調(diào)頻線圈、電磁鐵或變壓器等。4.2電感元件和電容元件274.2.1電感元件當(dāng)線圈中通過(guò)電流時(shí)，根據(jù)電的磁效應(yīng)，在線圈中就會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，如果規(guī)定電流的參考方向和磁鏈的參考方向之間符合右手螺旋定則，則電感線圈的磁鏈

ψ

和電流

i有以下關(guān)系：式中

L定義為電感元件的電感，亦稱自感應(yīng)系數(shù)。L取決于線圈的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)以及介質(zhì)的導(dǎo)磁性能。在國(guó)際制單位中，電感

L

的主單位是亨利（H）。常用的單位還有毫亨（mH）和微亨（μH），其換算關(guān)系為：4.2電感元件和電容元件284.2.1電感元件當(dāng)電感元件中電流

i隨時(shí)間變化時(shí)，磁通和磁鏈也隨之變化，從而在元件中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，這種現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)。感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與磁鏈的變化率成正比，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向由楞次定律判定（即感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)總是試圖產(chǎn)生感應(yīng)電流和磁通來(lái)阻礙原磁通的變化）。如果選定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的參考方向與磁鏈

ψ

的參考方向符合右手螺旋定則，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)用e

表示，流經(jīng)電感的電流用

i表示，電感兩端的電壓用

u表示，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律得：4.2電感元件和電容元件294.2.1電感元件上式表明，電感元件任一時(shí)刻的電壓不是取決于該時(shí)刻的電流值，而是取決于該時(shí)刻電流的變化率，故稱電感元件為動(dòng)態(tài)元件。電流變化越快，電感電壓越大；電流變化越慢，電感電壓越??；當(dāng)電流不再變化時(shí)，電感電壓等于零，這時(shí)電感元件相當(dāng)于短路。4.2電感元件和電容元件304.2.1電感元件假設(shè)電感元件中流過(guò)的是正弦交流電為：根據(jù)前述定義，電感元件兩端的電壓為：由此可見，在電感L

上加一正弦電流時(shí)，電感L

上的電壓也為與電流同頻率的正弦電壓。4.2電感元件和電容元件314.2.1電感元件將電感兩端的電壓表示為：對(duì)比上述兩式可得：相應(yīng)的，對(duì)于有效值：4.2電感元件和電容元件324.2.1電感元件設(shè)則有：4.2電感元件和電容元件334.2.1電感元件上述XL

反映了電感對(duì)電流的阻礙作用，稱為感抗，單位為歐姆。當(dāng)電感L

一定時(shí)，感抗與頻率f

成正比，即頻率越高，感抗越大。當(dāng)頻率極高即頻率趨向于無(wú)窮大時(shí)，感抗也趨向于無(wú)窮大，電感相當(dāng)于開路；當(dāng)頻率極低即頻率趨向于零時(shí)（直流），感抗也趨向于零，電感相當(dāng)于短路。在實(shí)際工程中，常常利用電感的這一特性來(lái)處理直流信號(hào)和高頻信號(hào)。4.2電感元件和電容元件344.2.1電感元件根據(jù)瞬時(shí)功率的定義

p=ui，對(duì)于電感有：瞬時(shí)功率平均功率4.2電感元件和電容元件354.2.1電感元件上式表明電感元件在正弦交流電路中不斷的進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換，但在能量轉(zhuǎn)換的過(guò)程中沒(méi)有能量消耗。為了衡量電感元件上能量轉(zhuǎn)換的劇烈程度，引入了無(wú)功功率的概念。電感的無(wú)功功率定義為電感瞬時(shí)功率的最大值，用QL

表示，有：無(wú)功功率雖然也等于電壓、電流有效值的乘積，但為了區(qū)別于有功功率，無(wú)功功率的單位定義為乏（var）。4.2電感元件和電容元件364.2.2電容元件電容元件是實(shí)際電容器的理想化模型。在兩塊金屬極板之間充以不同的絕緣介質(zhì)（如云母、絕緣紙、電解質(zhì)等）,就構(gòu)成了一只電容器。電容器的特點(diǎn)是能在兩個(gè)金屬極板上儲(chǔ)集等量而異性的電荷。下圖（a）所示的是一只電容器，其電路模型如圖（b）所示。4.2電感元件和電容元件374.2.2電容元件當(dāng)電容的極板上存儲(chǔ)了電荷，在極板之間就會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)，任何時(shí)刻電容極板上的電荷q

和電容元件兩端電壓u

都有如下關(guān)系式中

C定義為電容元件的電容。C取決于電容器極板的尺寸以及其間介質(zhì)的介電常數(shù)。在國(guó)際制單位中，電容

C的主單位是法拉（F）。常用的單位還有微法拉（μF）和皮法拉（pF），其換算關(guān)系為：4.2電感元件和電容元件384.2.2電容元件在電容元件極板上的電荷

q隨時(shí)間變化時(shí)，電容極板間的電場(chǎng)也隨之變化，從而在電容極板間以及引線上形成位移電流

i，若電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向，有：上式為電容元件上的電壓與電流的伏安關(guān)系。它表明，電容元件任一時(shí)刻的電流不是取決于該時(shí)刻電容兩端的電壓值，而是取決于該時(shí)刻電容兩端電壓的變化率，故稱電容元件為動(dòng)態(tài)元件。電容兩端電壓變化越快，流經(jīng)電容的電流越大；電壓變化越慢，電容電流越?。划?dāng)電壓不再變化時(shí)，電容電流等于零，這時(shí)電容元件相當(dāng)于開路。4.2電感元件和電容元件394.2.2電容元件與電感類似，可以定義容抗：可以得到：容抗反映了電容對(duì)電流的阻礙作用，單位為歐姆，當(dāng)電容C

一定時(shí)，容抗與頻率f

成反比，即頻率越高，容抗越小。當(dāng)頻率極高即頻率趨向于無(wú)窮大時(shí)，容抗趨向于零，電容相當(dāng)于短路；當(dāng)頻率極低即頻率趨向于零時(shí)（直流），容抗趨向于無(wú)窮大，電容相當(dāng)于開路。故電容元件有通交流斷直流的作用。4.2電感元件和電容元件404.2.2電容元件根據(jù)瞬時(shí)功率的定義

p=ui，對(duì)于電容有：瞬時(shí)功率平均功率4.2電感元件和電容元件414.2.2電容元件電容元件也具有無(wú)功功率，用QC

表示，有：4.2電感元件和電容元件424.3復(fù)數(shù)和相量在交流電路中，電感和電容的伏安關(guān)系都涉及到求導(dǎo)運(yùn)算，這在電路分析計(jì)算的時(shí)候是非常不方便的。為此，引入相量分析法來(lái)簡(jiǎn)化正弦交流電路的分析計(jì)算過(guò)程。對(duì)任意一個(gè)線性正弦交流電路，其中所有的正弦量都是同頻率的，因此在分析線性正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，頻率這一要素可以不予考慮，這樣正弦量的三要素就降為兩要素。相量分析法正是利用了這一點(diǎn)。復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量434.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：復(fù)數(shù)也可以在復(fù)平面上以矢量的形式表示出來(lái)，如下圖所示：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量444.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算根據(jù)歐拉公式：簡(jiǎn)記為：復(fù)數(shù)又可以表示為指數(shù)形式，即：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量454.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算幾個(gè)復(fù)數(shù)相加或者相減時(shí)，一般采用實(shí)部虛部法表示復(fù)數(shù)比較方便。例如則有：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量464.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算也可以用幾何法，即利用平行四邊形法進(jìn)行作圖計(jì)算：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量474.3.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算幾個(gè)復(fù)數(shù)相乘或者相除時(shí)，一般指數(shù)的形式表示復(fù)數(shù)比較方便。例如則乘法和除法運(yùn)算分別為：4.3

復(fù)數(shù)和相量48例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。4.3

復(fù)數(shù)和相量49例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。解在進(jìn)行復(fù)數(shù)加減運(yùn)算時(shí)，采用直角坐標(biāo)形式比較方便，因此有4.3

復(fù)數(shù)和相量50例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。在進(jìn)行復(fù)數(shù)加減運(yùn)算時(shí)，采用直角坐標(biāo)形式比較方便，因此有在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算時(shí)，宜先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化指數(shù)的形式，再進(jìn)行運(yùn)算4.3

復(fù)數(shù)和相量51例題

有復(fù)數(shù)

A=-3+j4和復(fù)數(shù)

B=6-j8，求A+B、A-B、A*B和A/B。在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算時(shí)，宜先將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化指數(shù)的形式，再進(jìn)行運(yùn)算因此有：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量524.3.2正弦量的相量表示法一個(gè)按照正弦規(guī)律變換的電流可以寫作：為了進(jìn)一步說(shuō)明正弦量和相量的關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)根據(jù)歐拉公式，它可以寫作：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量534.3.2正弦量的相量表示法上述正弦量恰好是上述復(fù)指數(shù)函數(shù)的虛部，記為：進(jìn)一步，復(fù)指數(shù)函數(shù)

可以寫作式中

稱為旋轉(zhuǎn)因子，它只與電路的頻率相關(guān)，當(dāng)運(yùn)用電路定律寫出方程的時(shí)候，由于每一項(xiàng)電流或者電壓中都有這個(gè)旋轉(zhuǎn)因子，因此可以從方程中約去。這表明，在用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示正弦量的時(shí)候，可以不用考慮旋轉(zhuǎn)因子，如此可以大大簡(jiǎn)化分析計(jì)算的過(guò)程。復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量544.3.2正弦量的相量表示法省略的旋轉(zhuǎn)因子之后，復(fù)數(shù)剩余部分記為：反映了正弦量的振幅和初相位，稱它為正弦量的相量。類似的，正弦電流的有效值相量可以記為：復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐標(biāo)形式下可以表示為：4.3

復(fù)數(shù)和相量554.3.2正弦量的相量表示法同理，有正弦電壓的相量：相量用上面帶小圓點(diǎn)的大寫字母表示，是為了與普通的復(fù)數(shù)相區(qū)別，這種表示方法的目的是強(qiáng)調(diào)它是代表正弦量的相量，但在具體運(yùn)算過(guò)程中相量與普通的復(fù)數(shù)并無(wú)區(qū)別。相量和復(fù)數(shù)一樣，可以在復(fù)平面上用矢量來(lái)表示，這種表示相量的圖稱為相量圖。需要注意的是，只有同頻率的正弦量才能畫在同一個(gè)相量圖中。4.3

復(fù)數(shù)和相量56例題

求下列兩個(gè)正弦電壓之和。4.3

復(fù)數(shù)和相量57例題

求下列兩個(gè)正弦電壓之和。解先寫出正弦量的相量：4.3

復(fù)數(shù)和相量58例題

求下列兩個(gè)正弦電壓之和。解先寫出正弦量的相量：再進(jìn)行相量運(yùn)算：4.3

復(fù)數(shù)和相量59例題

求下列兩個(gè)正弦電壓之和。再進(jìn)行相量運(yùn)算：可得對(duì)應(yīng)的正弦量為：4.3

復(fù)數(shù)和相量60根據(jù)前面的討論可知，電感和電容的伏安關(guān)系都涉及求導(dǎo)運(yùn)算。下面討論正弦量的求導(dǎo)運(yùn)算與相量運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)正弦量與復(fù)指數(shù)函數(shù)的映射關(guān)系有：兩邊對(duì)t

求導(dǎo)得：上式表明，正弦量的求導(dǎo)運(yùn)算，對(duì)應(yīng)于相量，僅僅是乘以系數(shù)復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，在直角坐