2024-2025學(xué)年北京市清華大學(xué)附中朝陽學(xué)校、望京學(xué)校高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年清華大學(xué)附中朝陽學(xué)校、望京學(xué)校高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|x=n2,n∈A}，則A∩B=A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}2.命題“?x0∈(0,+∞)，lnxA.?x0∈(0,+∞)，lnx0≠x0?1 B.?x0?(0,+∞)3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的為(

)A.y=1x B.y=ln|x| C.4.在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=ax，y=sinax的部分圖象，其中a>0且a≠1，則下列所給圖象中可能正確的是(

)A. B.

C. D.5.已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是(

)A.b?a<c+a B.c2<abC.cb>c6.若向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，且a⊥(aA.π2 B.2π3 C.3π47.已知x1=log132，x2=A.x1<x3<x2 B.8.“α+β=2kπ(k∈Z)”是“sin(α+β)=sinα+sinβ”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.函數(shù)f(x)=x，g(x)=x2?x+3.若存在x1,x2,…,A.5 B.63 C.7 D.810.已知函數(shù)f(x)=x2?ax+2,x≥a|x+a|,x<a，若對(duì)于任意正數(shù)k，關(guān)于x的方程f(x)=k都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)aA.0 B.1 C.2 D.無數(shù)二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A在第二象限，cosα=?35，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為______．12.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，并且是周期為3的周期函數(shù)，若f(1)=2，則f(2)=______；f(2019)=______．13.已知a>1，則a+100a?1的最小值為______，此時(shí)a等于______．14.已知函數(shù)f(x)=sinx，若對(duì)任意x∈R都有f(x)+f(x+m)=0，則常數(shù)m的一個(gè)取值為______．15.已知f(x)=ax2?2x?bln|x?1|，給出以下命題：

①當(dāng)a=0時(shí)，存在b>0，f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

②當(dāng)a=0時(shí)，存在b<0，f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)；

③當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意的b∈R，f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

④當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意的b∈R，f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=cosx(23sinx+cosx)?sin2x．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若f(x)17.(本小題14分)

某公司在2013?2021年生產(chǎn)經(jīng)營某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)(單位：萬臺(tái))3456691010a年返修臺(tái)數(shù)(單位：臺(tái))3238545852718075b年利潤(單位：百萬元)3.854.504.205.506.109.6510.0011.50c注：年返修率=年返修臺(tái)數(shù)年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)

(Ⅰ)從2013?2020年中隨機(jī)抽取一年，求該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/臺(tái)的概率；

(Ⅱ)公司規(guī)定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀．現(xiàn)從2013?2020年中隨機(jī)選出3年，記ξ表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(Ⅲ)記公司在2013?2015年，2016?2018年，2019?2021年的年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)的方差分別為s12，s22，s32．

若s32≤max{s118.(本小題13分)

在△ABC中，∠B≠π2，cos2B=3cosB?1．

(Ⅰ)求∠B；

(Ⅱ)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，求△ABC的面積．

條件①：sinA=3sinC，b=2；

條件②：AC=6，BC邊上的高為2；

條件③：2b=3a，bsinA=119.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x?alnx．

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若關(guān)于x的方程x?alnx=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為x0，求證：(a?1)x20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?a(x?1)x+1．

(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)討論函數(shù)f(x)21.(本小題15分)

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．對(duì)任意的點(diǎn)P(x,y)，定義|OP|=|x|+|y|.任取點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，記A′(x1,y2)，B′(x2,y1)，若此時(shí)|OA|2+|OB|2≥|OA′|2+|OB′|2成立，則稱點(diǎn)A，B相關(guān)．

(Ⅰ)分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說明理由；

①A(?2,1)，B(3,2)；②C(4,?3)，D(2,4)．

(Ⅱ)給定n∈參考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.D

6.C

7.B

8.A

9.D

10.B

11.(?312.?2

0

13.21

11

14.π

15.①②③

16.解：(I)f(x)=cosx(23sinx+cosx)?sin2x

=23sinxcosx+cos2x?sin2x

=3sin2x+cos2x

=2sin(2x+π6)，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=π，

由2kπ?π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ?π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π3,kπ+π6](k∈Z)；

(Ⅱ)令2x+π6=kπ，k∈Z，則x=17.解：(Ⅰ)由圖表知，2013年～2020年中，產(chǎn)品的平均利潤少于100元/臺(tái)的年份只有2015年，2016年，

∴從2013年～2020年中隨機(jī)抽取一年，該年生產(chǎn)的平均利潤不少于100元/臺(tái)的概率為P=68=0.75．

(Ⅱ)由圖表得，2013～2020年中，返修率超過千分之一的年份只有2013年和2015年，

∴ξ的所有可能取值為1，2，3，

P(ξ=1)=C61C22C8

ξ

1

2

3

P

3

15

5∴E(ξ)=1×328+2×1528+3×514=9418.解：(Ⅰ)已知△ABC中，∠B≠π2，cos2B=3cosB?1．

則2cos2B=3cosB，

即cosB=32，

又0<B<π，

則B=π6；

(Ⅱ)選①，即sinA=3sinC，b=2，

由正弦定理可得a=3c，

由余弦定理b2=a2+c2?2accosB可得：a2+c2?3ac=4，

又a=3c，

則a=23，c=2，

則S△ABC=12×23×2×12=3，

即△ABC存在且唯一確定，此時(shí)△ABC的面積為3；

選②，即b=6，BC邊上的高為2，19.(Ⅰ)解：由f(x)=x?alnx，可得f′(x)=1?ax，

則f′(1)=1?a，又f(1)=1，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y?1=(1?a)(x?1)，

即y=(1?a)x+a．

(Ⅱ)解：f(x)=x?alnx的定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=1?ax=x?ax，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，可得x>a，令f′(x)<0，可得0<x<a，

所以f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增．

(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)可知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=x?alnx=0才有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且x0>0，

則要證(a?1)x0>a，即證a?1a>1x0，即證1?1a>1x0，

而x0?alnx0=0，則a=x0lnx0(x0≠1，否則方程不成立)，

所以即證1?lnx020.解：(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=lnx?2(x?1)x+1，則f′(x)=1x?2(x+1)?2(x?1)(x+1)2=1x?4(x+1)2，

所以切線的斜率k=f′(1)=0，切點(diǎn)為(1,0)，

所以切線方程：y=0；

(Ⅱ)由f′(x)=1x?a(x+1)?a(x?1)(x+1)2=(x+1)2?2axx(x+1)2，

由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)≥0恒成立，即(x+1)2?2ax≥0恒成立，

所以a≤(x+1)22x=12(x+1x+2)，

由12(x+1x+2)≥12×(2x×1x+2)=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1x，即x=1時(shí)，

所以12(x+1x+2)有最小值，最小值為2，

所以a≤2，

經(jīng)檢驗(yàn)，a≤2時(shí)，函數(shù)f(x)x

(0,

x

(

x

(f′(x)+0?0+

f(x)

增

極大

減極小增因?yàn)閒(1)=0，所以f(x1)>0，f(x2)<0，

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，x?1x+1=1?2x+1∈(?1,1)，

取x=e?a∈(0,1)，f(e?a)<?a?a×(?1)=0，

再取x=ea∈(1,+∞)，有f(ea)>a?a×1=0，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)，21.解：若點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)相關(guān)，不妨設(shè)x1，y1，x2，y2≥0，

則(x1+y1)2+(x2+y2)2≥(x1+y2)2+(x2+y1)2，

∴(x1?