2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高新第一實驗中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高新第一實驗中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列交通標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.代數(shù)式4m2?nA.(2m?n)(2m+n) B.4(m?n)(m+n)

C.(4m?n)(m+n) D.(m?2n)(m+2n)3.若正多邊形的一個內(nèi)角度數(shù)為144°，則這個多邊形的邊數(shù)為(

)A.10 B.12 C.8 D.74.如圖，點D，E分別在△ABC

的AB，AC邊上，且DE//BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于(

)A.3：2

B.2：5

C.2：3

D.3：55.如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，CF平分∠ACB，交DE于點F，若AC=4，則EF的長為(

)A.1B.2 C.3D.46.如圖，兩個轉(zhuǎn)盤被分成幾個面積相等的扇形，分別自由轉(zhuǎn)動一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字所在的扇形(如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止).將兩指針?biāo)傅膬蓚€扇形中的數(shù)相加，和為6的概率是(

)A.16 B.13 C.127.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同．設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是(

)A.600x+50=450x B.600x?50=8.如圖，在?ABCD中，對角線BD⊥AD，AB=10，AD=6，O為BD的中點，E為邊AB上一點，直線EO交CD于點F，連接DE，BF.下列結(jié)論不成立的是(

)A.四邊形DEBF為平行四邊形

B.若AE=3.6，則四邊形DEBF為矩形

C.若AE=5，則四邊形DEBF為菱形

D.若AE=4.8，則四邊形DEBF為正方形9.如圖，在矩形ABCD中，AB<BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn).下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB=2∠ACB；③AC?EF=CF?CD；④若AF平分A.4 B.3 C.2 D.110.已知多項式M=2x2?3x?2.多項式N=x2?ax+3．

①若M=0，則代數(shù)式13xx2?3x?1的值為263；

②當(dāng)a=?3，x≥4時，代數(shù)式M?N的最小值為?14；

③當(dāng)a=0時，若M?N=0，則關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根；

④當(dāng)a=3A.0個 B.1個 C.2個 D.3個二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.當(dāng)x______時，分式13x?2有意義．12.如圖，已知?ABCD中，點E在CD上，CEED=12，BE交對角線AC于點F.則CF13.如圖，在寬為20m，長為30m的矩形地面上修建兩條寬均為x?m的小路(陰影)，余下部分作為草地，草地面積為551m2，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得小路寬x的值為______；14.清朝數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的邊BC上的高，則BD=12(BC+AB2?AC2BC).當(dāng)15.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，CD=4，M，N分別是邊AB，AD的動點，滿足AM=DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動點，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時，12BE+AE的最小值為______．三、解答題：本題共10小題，共91分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.先化簡，再求值：(mm?2?2mm2?4)÷mm+2，請在17.(本小題7分)

解方程：

(1)3x2?4x=1；

(2)(3y?218.(本小題8分)

如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F，求證：四邊形AFCE是菱形．19.(本小題8分)

某班甲、乙兩名同學(xué)被推薦到學(xué)校藝術(shù)節(jié)上表演節(jié)目，計劃用葫蘆絲合奏一首樂曲．要合奏的樂曲是用游戲的方式在《月光下的鳳尾竹》與《彩云之南》中確定一首．

游戲規(guī)則如下，在一個不透明的口袋中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四個小球(除標(biāo)號外，其余都相同)，甲從口袋中任意摸出1個小球，小球上的數(shù)字記為a.在另一個不透明的口袋中裝有分別標(biāo)有數(shù)字1，2的兩張卡片(除標(biāo)號外，其余都相同)，乙從口袋里任意摸出1張卡片，卡片上的數(shù)字記為b.然后計算這兩個數(shù)的和，即a+b.若a+b為奇數(shù)，則演奏《月光下的鳳尾竹》；否則，演奏《彩云之南》．

(1)用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求(a,b)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；

(2)你認(rèn)為這個游戲公平嗎？如果公平，請說明理由；如果不公平，哪一首樂曲更可能被選中？20.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+m?1=0

(1)當(dāng)m取何值時，這個方程有兩個不相等的實根？

(2)若方程的兩根都是正數(shù)，求m的取值范圍；

(3)設(shè)x1，x2是這個方程的兩個實數(shù)根，且1?x21.(本小題9分)

黨的二十大報告提出：“加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育”.為扎實做好育人工作，某校深入開展“陽光體育”活動.該校計劃購買乒乓球拍和羽毛球拍用于“陽光體育大課間”和學(xué)生社團(tuán)活動.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元購買乒乓球拍的數(shù)量和用2000元購買羽毛球拍的數(shù)量相等．

(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的價格；

(2)學(xué)校計劃采購乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的數(shù)量不超過羽毛球拍數(shù)量的2倍，要想花費的資金總額最少，則最多購買乒乓球拍多少副？資金總額最少為多少元？22.(本小題10分)

如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點D沿AB從A向B運動，速度是1cm/秒，同時，點E沿BC從B向C運動，速度為2cm/秒．動點E到達(dá)點C時運動終止．連接DE、CD、AE．

(1)當(dāng)動點運動幾秒時，△BDE與△ABC相似？

(2)當(dāng)動點運動幾秒時，△BDE的面積為1.8cm2？

(3)在運動過程中是否存在某一時刻t，使CD⊥DE？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．23.(本小題10分)

閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程(x2)2?13x2+36=0，如果我們把x2看作一個整體，然后設(shè)y=x2，則原方程可化為y2?13y+36=0，經(jīng)過運算，原方程的解為x1,2=±2，x3,4=±3.我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．

材料2

已知實數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，n2?n?1=0，且m≠n，顯然m，n是方程x2?x?1=0的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n=1，mn=?1．

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程x4?5x2+6=0的解為______；

(2)間接應(yīng)用：

已知實數(shù)a，24.(本小題12分)

如圖所示，△ABC，△ADE為等腰三角形，∠ACB=∠AED=90°．

(1)如圖1，點E在AB上，點D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點，則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是______；∠EFD的度數(shù)為______．

(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點，則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

(3)若△ADE繞A點任意旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，F(xiàn)為線段BD的中點，連接EF、FC，請你完成圖3，請猜想線段EF與FC的關(guān)系，并驗證你的猜想．

25.(本小題12分)

矩形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點A在x軸的負(fù)半軸上，點B在y軸的正半軸上，連接AB，將△ABC沿AB折疊得△ABE，AE交y軸于點D，線段OD、OA的長是方程x2?7x+12=0的兩個根，且OA>OD．

(1)請直接寫出點A的坐標(biāo)為______，點D的坐標(biāo)為______；

(2)點P為直線AB上一點，連接PO、PD，當(dāng)△POD的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；

(3)點M在x軸上，點N在直線AB上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以B、M、N、Q為頂點的四邊形為正方形？若存在，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】≠212.【答案】1313.【答案】1

14.【答案】615.【答案】3

16.【答案】解：原式=[(mm?2?2m(m?2)(m+2)]×m+2m

=mm?2×m+2m?2m(m?2)(m+2)×m+2m

=m+2m?2?2m?2

17.【答案】解：(1)3x2?4x?1=0，

∵Δ=(?4)2?4×3×(?1)=28>0，

∴x=?b±b2?4ac2a=4±272×3=2±73，

18.【答案】證明：在矩形ABCD中，AD//BC，

∴∠1=∠2，∠AEF=∠CFE，

又OA=OC，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵EF⊥AC，

∴?AFCE是菱形．

19.【答案】解：(1)按游戲規(guī)則計算兩個數(shù)的和，列表如下：

從表中可以看出共有8種等可能的情況．

(2)我認(rèn)為這個游戲公平，理由：

從表中可以看出共有8種等可能的情況，其中和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的可能性各有4種，

所以P(和為奇數(shù))=P(和為偶數(shù))，

∴這個游戲公平．

20.【答案】解：(1)∵△=(?2)2?4(m?1)=?4m+8>0，

∴m<2時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)∵設(shè)x1，x2是這個方程的兩個實根，則x1>0，x2>0，

∴x1x2=m?1>0，

∴m>1；

21.【答案】解：(1)設(shè)每副乒乓球拍的價格是x元，則每副羽毛球拍的價格是(x+30)元．

根據(jù)題意，得1000x=2000x+30，

解得x=30，

經(jīng)檢驗，x=30是所列分式方程的根，

30+30=60(元)，

∴每副乒乓球拍的價格是30元，每副羽毛球拍的價格是60元．

(2)設(shè)購買乒乓球拍a副，則購買羽毛球拍(100?a)．

根據(jù)題意，得a≤2(100?a)，

解得a≤2003，

設(shè)花費的資金總額為W元，則W=30a+60(100?a)=?30a+6000，

∵?30<0，

∴W隨a的增大而減小，

∵a≤2003且x為整數(shù)，

∴當(dāng)a=66時，W取最小值，W最小22.【答案】解：設(shè)D點運動時間為t秒，則AD=t秒，BD=(4?t)秒，BE=2t秒，CE=(5?2t)秒(0≤t≤52)，

(1)當(dāng)∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時，Rt△BDE∽Rt△BAC，

∴BD：BA=BE：BC，即(4?t)：4=2t：5，

∴t=2013；

當(dāng)∠BDE=∠BCA，即DE⊥BC時，Rt△BDE∽Rt△BCA，

∴BD：BC=BE：BA，即(4?t)：5=2t：4，

∴t=87；

所以當(dāng)動點運動2013秒或87秒時，△BDE與△ABC相似；

(2)過E作EF⊥AB于F，如圖，

∴∠EFB=90°=∠CAB，

∵∠B=∠B，

∴Rt△BEF∽Rt△BAC，

∴EF：AC=BE：BC，

即EF：3=2t：5，

∴EF=6t5，

∴S△BDE=12BD?EF=12?(4?t)?6t5=1.8，

∴t=1或t=3(舍)，

即當(dāng)動點運動1秒時，△BDE的面積為1.8cm2；

(3)存在．

如圖，過點E作EF⊥AB于F，

∵Rt△BEF∽Rt△BAC，

∴BF：AB=BE：BC，

即BF：4=2t：5，

∴BF=8t5，

∴DF=AB?AD?BF=4?t?8t5=4?135t，

∵CD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∴∠∠ADC+∠EDF=90°23.【答案】解：(1)x1=2，x2=?2，x3=3，x4=?3；

(2)∵a≠b，

∴a2≠b2或a2=b2，

當(dāng)a2≠b2時，令a2=m，b2=n．

∴m≠n，則2m2?7m+1=0，2n2?7n+1=0，

∴m，n是方程2x2?7x+1=0的兩個不相等的實數(shù)根，

∴m+n=72mn=12，

此時a424.【答案】(1)EF=FC；90°；

(2)如圖2，延長CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC，

∵F為BD中點，

∴DF=FB，

在△BCF和△DFM中

FC=FM∠BFC=∠DMFBF=DF

∴△BFC≌△DFM(SAS)，

∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，

∴MD=AC，MD/?/BC，

∴∠MDC=∠BCA=90°

∴∠MDE=∠EAC=135°，

在△MDE和△CAE中

MD=AC∠MDE=∠EACDE=AE

∴△MDE≌△CAE(SAS)，

∴ME=EC，∠MED=∠CEA，

∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，

∴∠MEC=90°，又F為CM的中點，

∴EF=FC，EF⊥FC；

(3)圖形如圖3，

結(jié)論：EF=FC，EF⊥FC．

證明如下：

如圖4，延長CF到M，使CF=FM，連接ME、EC，連接DM并延長交AE于G，交AC于H，

∵F為BD中點，

∴DF=FB，

在△BCF和△DFM中

FC=FM∠BFC=∠DMFBF=DF

∴△BFC≌△DFM(SAS)，

∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，

∴MD=AC，HD//BC，

∴∠AHG=∠BCA=90°，且∠AGH=∠DGE，

∴∠MDE=∠EAC，

在△MDE和△CAE中

MD=AC∠MDE=∠EACDE=AE

∴△MDE≌△CAE(SAS)，

∴ME=EC，∠MED=∠CEA，

∴∠MED+∠FEA=∠FEA+∠CEA=90°，

∴∠MEC=90°，又F為CM的中點，

25.【答案】(1)(?4,0)，(0,3)；

(2)過D作AB的對稱點D1，連接OD1，交AB于點P，此時△POD的周長最小，

∵△ABE是將△ABC沿AB折疊得到的，

∴點D1在AC上，

∵OA=4，OD=3，

∴AD=OA2+OD2=5，

∴AD1=5，

∴D1(?4,5)，

設(shè)直線OD1的解析式為y=kx，

∴5=?4k，

∴k=?54，

∴直線OD1的解析式為y=?54x，

∵四邊形AOBC是矩形，且△ABE是將△ABC沿AB折疊得到的，

∴AC//OB，∠CAB=∠BAD，

∴∠CAB=∠BAD=∠ABD，

∴AD=BD=5，則OB=8，

∴B(0,8)，

同理求得直線AB的解析式為y=2x+8，

∴y=2x+8y=?54x，

解方程?54x=2x+8，得x=?3213，

∴y=4013，

∴P(?3213,4013)；

(3)存在點Q，使以B、M、N、Q為頂點的四邊形為正方形．

分兩種情況：①當(dāng)BN為邊時，

如圖，若四邊形BNMQ是正方形，則BN=MN，過點Q作QG⊥x軸于G，過點N作NI⊥