山東省濟(jì)南2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題

歡迎廣闊老師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。ks5u山東省濟(jì)南2024高三上學(xué)期階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考試范圍：高考范圍；考試時(shí)間：120分鐘；留意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題(共0分)1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．3 B． C．2 D．13．如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．4．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．5．袋內(nèi)裝有大小、形態(tài)完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事務(wù)A=“第一次摸到白球”，事務(wù)B=“其次次摸到白球”，事務(wù)C=“第一次摸到黑球”，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．A與B是互斥事務(wù) B．A與B不是相互獨(dú)立事務(wù)C．B與C是對(duì)立事務(wù) D．A與C是相互獨(dú)立事務(wù)6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．7．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將得到的曲線上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，頂點(diǎn)與邊中點(diǎn)的連線垂直于底面，且，則三棱錐的外接球半徑為（

）A． B． C． D．二、多選題(共0分)9．已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為m，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，則下列推斷肯定正確的為（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)（，，），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若實(shí)數(shù)是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且滿(mǎn)意，則或B．函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是C．若函數(shù)在上單調(diào)，則D．若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等12．已知點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C：左支上的動(dòng)點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，N是圓D：的動(dòng)點(diǎn)，直線交雙曲線右支于Q（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B．過(guò)點(diǎn)M作與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有2條C．的最小值為 D．若的內(nèi)切圓E與圓D外切，則圓E的半徑為第II卷（非選擇題）三、填空題(共0分)13．的綻開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．14．設(shè)為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)________15．點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦所在直線方程為_(kāi)________.16．已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.四、解答題(共0分)17．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，，前n項(xiàng)和滿(mǎn)意.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面平面，分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若側(cè)面是正方形，求直線與平面所成角的正弦值.19．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）證明：成等比數(shù)列；（2）若，且，求的周長(zhǎng).20．北京冬奧會(huì)的舉辦使得人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注度和參加度持續(xù)提高.某地許多中小學(xué)開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深化了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參加狀況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行探討，得到如下數(shù)據(jù)：(1)從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參加“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的條件下，求這2所學(xué)校參加“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的概率；(2)“自由式滑雪”參加人數(shù)超過(guò)40人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)校”，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取3所，記為選出“基地學(xué)?！钡膫€(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行?轉(zhuǎn)彎?停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”.已知在一輪集訓(xùn)測(cè)試的3個(gè)動(dòng)作中，甲同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響.假如甲同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于8次，那么至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？21．已知A(3,0)，B(-3,0)，C是動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)意（為常數(shù)），過(guò)C作x軸的垂線，垂足為H，記CH中點(diǎn)M的軌跡為，(1)若是橢圓，求此橢圓的離心率；(2)若在上，過(guò)點(diǎn)G(0,m)作直線l與交于P、Q兩點(diǎn)，假如m值改變時(shí)，直線MP、MQ的傾斜角總保持互補(bǔ)，求△MPQ面積的最大值．22．已知．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)數(shù)學(xué)試題參考答案1．A【分析】先求出集合，再求出集合，然后可求出兩集合的并集.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：A.2．B【分析】首先依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的模的概念計(jì)算即可.【詳解】，則.故選：B.3．B【分析】依據(jù)向量加法的三角形法則，把,分別用和來(lái)表示，再依據(jù)共線向量都轉(zhuǎn)化成.【詳解】在中由向量加法的三角形法則得：，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以,所以.在中由向量加法的三角形法則得：又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點(diǎn)，所以所以.故選：B.4．B【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別限定的取值范圍即可比較出大小.【詳解】設(shè)函數(shù)，又因?yàn)榈讛?shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增；所以，即；設(shè)函數(shù)，又因?yàn)榈讛?shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增；所以即；設(shè)函數(shù)，又因?yàn)榈讛?shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞減；所以即綜上可知，；故選：B.5．B【分析】依據(jù)互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)和相互獨(dú)立事務(wù)的定義推斷即可.【詳解】依據(jù)題意可知，事務(wù)和事務(wù)可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故A錯(cuò)；不放回摸球，第一次摸球?qū)ζ浯未蚊蛴杏绊?，所以事?wù)和事務(wù)不相互獨(dú)立，故B正確；事務(wù)的對(duì)立事務(wù)為“其次次摸到黑球”，故C錯(cuò)；事務(wù)與事務(wù)為對(duì)立事務(wù)，故D錯(cuò).故選：B.6．B【分析】依據(jù)函數(shù)圖象知定義域?yàn)榍覟榕己瘮?shù)，確定各選項(xiàng)函數(shù)定義域，推斷奇偶性，應(yīng)用解除法確定答案.【詳解】依據(jù)函數(shù)圖象可知，定義域?yàn)榍覟榕己瘮?shù)，對(duì)于A，，即在處有定義，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，故D錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，又，故是偶函?shù)，由于選項(xiàng)ACD已然解除，而選項(xiàng)B中的解析式又滿(mǎn)意圖像的性質(zhì)，故B正確.故選：B7．B【分析】首先求函數(shù)的解析式，代入函數(shù)的定義域，依據(jù)三角函數(shù)的圖象，列式求的取值范圍.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，再將得到的曲線上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，，，若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得：.故選：B8．D【分析】找到球心的位置，求出各邊長(zhǎng)，設(shè)出，利用半徑相等列出方程，求出半徑.【詳解】連接，取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則為等邊三角形的外心，過(guò)點(diǎn)E作，則點(diǎn)O即為三棱錐的外接球球心，連接OS，OC，過(guò)點(diǎn)O作交SD于點(diǎn)F，則，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，，設(shè)，則，設(shè)外接球半徑為，則，，故，解得：，所以，故.故選：D【點(diǎn)睛】立體幾何外接球問(wèn)題，通常要找到一個(gè)特別三角形或四邊形，找到其外心，從而找到球心的位置，從而利用球的半徑相等列出方程，求出半徑，進(jìn)而求解球的表面積或體積等.9．AC【分析】依據(jù)平均數(shù)公式即可推斷A；利用方差公式推斷B、C；依據(jù)中位數(shù)定義，以及加入的數(shù)在數(shù)據(jù)中位置狀況推斷D.【詳解】記這組數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)為，明顯它們平均數(shù)相同，A正確；，，所以，故B錯(cuò)誤，C正確；由于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的大小關(guān)系不確定，所以不能比較新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的中位數(shù)的大小，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．ABD【分析】對(duì)于A：由題意知實(shí)數(shù)是的兩個(gè)不等實(shí)根，得到，，再由得，最終由可求得的取值范圍；對(duì)于B：從充分性和必要性?xún)煞矫娣謩e進(jìn)行證明即可；對(duì)于C：由函數(shù)在上單調(diào)，則肯定有恒成立，明顯C不正確；對(duì)于D：由題意知恒成立，可求得，D正確.【詳解】A選項(xiàng)：，由題意知實(shí)數(shù)是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，（留意：極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系）所以，且，，由，得，所以，解得或，所以A正確；B選項(xiàng)：若函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，故必要性成立；反之，若，則，故函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，充分性成立，所以B正確；C選項(xiàng)：若函數(shù)在上單調(diào)，則恒成立，所以，即，所以C不正確；D選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以，即，整理得，所以，所以D正確.故選：ABD.11．BC【分析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定直線與直線的位置關(guān)系；(2)依據(jù)面面平行來(lái)證明線面平行；(3)先依據(jù)四點(diǎn)共面確定截面，進(jìn)而算截面面積；(4)利用等體積法思想證明求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.從而，，從而，所以直線與直線不垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，取的中點(diǎn)為，連接，，則易知，又平面，平面，故平面，又，平面，平面，所以平面，又，，平面，故平面平面，又平面，從而平面，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，，如圖所示，∵正方體中，∴，，，四點(diǎn)共面，∴四邊形為平面截正方體所得的截面四邊形，且截面四邊形為梯形，又由勾股定理可得，，，∴梯形為等腰梯形，高為，∴，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于，，而，，∴，即，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的2倍，選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BC.12．ACD【分析】依據(jù)雙曲線焦半徑的結(jié)論可知A正確，由點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系可以確定與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)不止2條，依據(jù)雙曲線定義和的位置關(guān)系可推斷C，最終依據(jù)焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓圓心在左端點(diǎn)的正上方，即圓心橫坐標(biāo)為可求其半徑.【詳解】如下圖所示：由雙曲線方程和圓方程可知，，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)；對(duì)于A，由于在雙曲線左支上，依據(jù)焦半徑公式可知，故A正確；對(duì)于B，由過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)可知，直線的斜率肯定存在，設(shè)直線斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線的方程得：；①當(dāng)時(shí)，即，該方程為一元一次方程，僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以直線和雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，即此時(shí)有兩條直線與雙曲線相交，且僅有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，該方程為一元二次方程，由直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)可知，該方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，整理得，即，此時(shí)直線為雙曲線的切線，分別為，所以過(guò)點(diǎn)可作兩條切線；綜上可知，過(guò)點(diǎn)可作與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有4條，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由雙曲線定義可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立；，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立；所以，，即C正確；對(duì)于D，如圖所示，分別設(shè)的內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)為，又因?yàn)椋?，又因?yàn)樵谳S上，，，不妨設(shè),由，得，即；所以即為雙曲線的左端點(diǎn)，又因?yàn)?，所以圓心在左端點(diǎn)的正上方，即圓心橫坐標(biāo)為，設(shè)，則圓的半徑為，由于圓與圓外切，所以，，解得；所以D正確.故選：ACD.13．-800【分析】要得到含的項(xiàng)，需在的綻開(kāi)式中取第4項(xiàng)，在的綻開(kāi)式中取第2項(xiàng)，從而利用二項(xiàng)式定理求解即可．【詳解】由題意知，在的綻開(kāi)式中取第4項(xiàng)，即，的綻開(kāi)式中取第2項(xiàng)，即，故的系數(shù)為．故答案為：-80014．17【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求值.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列的公比設(shè)為，成等差數(shù)列，可得，即，化為，解得，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列中基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.15．【分析】計(jì)算，設(shè)直線方程為，計(jì)算，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】如圖所示：，故，設(shè)直線方程為.，，故，依據(jù)相像計(jì)算得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到：，解得或當(dāng)時(shí)，直線和圓不相交，舍去，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.16．【分析】依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，得出與的圖象在上沒(méi)有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)闀r(shí)方程的根，所以方程在區(qū)間上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即方程在區(qū)間上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象在上沒(méi)有交點(diǎn)，又由，所以在上單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)已知條件，求得，從而證得數(shù)列是等差數(shù)列.（2）先求得，然后利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（1）依題意，，，，，，兩邊除以得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得，所以，所以.18．(1)詳見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取中點(diǎn)為，由題可得，然后利用線面平行的判定定理即得；（2）利用坐標(biāo)法，求出平面的法向量，然后依據(jù)線面角的向量求法即得.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，故，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且四邊形為矩形，故，，故，，故四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，所以平面；（2）因?yàn)闉檎叫危士傻?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）9.【解析】（1）由正弦定理將中的邊化為角，再結(jié)合正弦的兩角和公式可推出，即，然后將角化為邊，有，故得證；（2）由（1）知，利用余弦定理，可求出的值，從而得解．【詳解】解：（1）證明：由正弦定理得：，所以成等比數(shù)列（2）由余弦定理得：，又，所以于是得：所以的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形中正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，涉及邊角互化的思想，敏捷選擇正弦、余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．20．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：(3)至少要進(jìn)行11輪測(cè)試【分析】(1)依據(jù)已知條件結(jié)合條件概率的概率公式求解；(2)的可能取值為0，1，2，3，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可求得的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)依據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式求解【詳解】（1）由題可知10個(gè)學(xué)校，參加“自由式滑雪”的人數(shù)依次為27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，參加“單板滑雪”的人數(shù)依次為46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中參加“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的學(xué)校有6個(gè)，參加“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人，且“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人的學(xué)校有4個(gè)，記“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參加“單板滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人”為事務(wù)，“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參加“自由式滑雪”的人數(shù)超過(guò)30人”為事務(wù)，則，，所以，.（2）參加“自由式滑雪”人數(shù)在40人以上的學(xué)校共4所，的全部可能取值為，所以，，，，所以的分布列如下表：0123所以（3）記“甲同學(xué)在一輪測(cè)試中獲得“優(yōu)秀””為事務(wù)，則，由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)聽(tīng)從二項(xiàng)分布，由題意列式，得，因?yàn)?，所以的最小值?1，故至少要