四川省眉山市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次診斷性考試試題文含解析

PAGE21-四川省眉山市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次診斷性考試試題文（含解析）留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用鉛筆擦干凈后，在選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí).將答案寫在答題卡上，寫在在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題意求出,然后再求子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意可得:,有兩個(gè)元素,則其子集個(gè)數(shù)有個(gè).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的求解,考查運(yùn)算求解實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則|z|＝（）A. B.4 C.5 D.25【答案】C【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)為的形式，再求復(fù)數(shù)的模.【詳解】依題意，故.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即的形式，再依據(jù)題意求解.3.已知平面對量的夾角為，且，則（）A.64 B.36 C.8 D.6【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量運(yùn)算的公式，干脆計(jì)算出的值.【詳解】依題意，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面對量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.△ABC中，（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC．其中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，則A＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦定理化簡已知條件，求得的值，進(jìn)而求得的大小.【詳解】由正弦定理得，即，即，由于為三角形內(nèi)角，故.所以選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查特別角的三角函數(shù)值.5.空氣質(zhì)量指數(shù)是一種反映和評價(jià)空氣質(zhì)量的方法，指數(shù)與空氣質(zhì)量對應(yīng)如下表所示：0～5051～100101～150151～200201～300300以上空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)峻污染如圖是某城市2024年12月全月的指數(shù)改變統(tǒng)計(jì)圖．依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖推斷，下列結(jié)論正確的是（）A.整體上看，這個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越差B.整體上看，前半月的空氣質(zhì)量好于后半月的空氣質(zhì)量C.從數(shù)據(jù)看，前半月的方差大于后半月的方差D.從數(shù)據(jù)看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得，AQI指數(shù)越高，空氣質(zhì)量越差；數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，方差就越大，由此逐項(xiàng)推斷，即可得出結(jié)果.【詳解】從整體上看，這個(gè)月AQI數(shù)據(jù)越來越低，故空氣質(zhì)量越來越好；故A，B不正確；從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個(gè)月數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，后半個(gè)月數(shù)據(jù)波動(dòng)小，比較穩(wěn)定，因此前半個(gè)月的方差大于后半個(gè)月的方差，所以C正確；從AQI數(shù)據(jù)來看，前半個(gè)月數(shù)據(jù)大于后半個(gè)月數(shù)據(jù)，因此前半個(gè)月平均值大于后半個(gè)月平均值，故D不正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的均值與方差，熟記方差與均值的意義即可，屬于基礎(chǔ)題型.6.設(shè)函數(shù)，則＝（）A. B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)的解析式，分別求出，即可得出結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，函數(shù)，，，則；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的求值問題，分別代入求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若x1，x2∈R，則“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行推斷.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù),

若，則，則，即成立,即充分性成立，若，滿意是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)滿意，此時(shí)滿意，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，所以A選項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的推斷,依據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)在圖象上，若，，且，則()A.3 B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)條件求出A，ω和φ的值，求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】由條件知函數(shù)的周期滿意T＝2×（）＝2×2π＝4π，即4π，則ω，由五點(diǎn)對應(yīng)法得ω+φ＝0，即φ＝0，得φ，則f（x）＝Asin（x），則f（0）═Asin（）A，得A＝3，即f（x）＝3sin（x），在（）內(nèi)的對稱軸為x，若∈（），，且，則關(guān)于x對稱，則＝2，則f（）＝3sin（）＝3sin3sin，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依據(jù)條件先求出函數(shù)的解析式，以及利用三角函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．9.若直線x﹣my+m＝0與圓（x﹣1）2+y2＝1相交，且兩個(gè)交點(diǎn)位于坐標(biāo)平面上不同的象限，則m的取值范圍是（）A.（0，1） B.（0，2） C.（﹣1，0） D.（﹣2，0）【答案】D【解析】【分析】圓都在軸的正半軸和原點(diǎn)，若要兩個(gè)交點(diǎn)在不同象限，則在第一、四象限，即兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)符號相反，通過聯(lián)立得到，令其小于0，可得答案.【詳解】圓與直線聯(lián)立，整理得圖像有兩個(gè)交點(diǎn)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即得.圓都在軸的正半軸和原點(diǎn)，若要交點(diǎn)在兩個(gè)象限，則交點(diǎn)縱坐標(biāo)的符號相反，即一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第四象限.，解得，故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來解決問題，屬于中檔題.10.在四面體中，已知，，且平面，則該四面體外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意還原四面體ABCD所在正方體,則體對角線BD即為四面體ABCD外接球的直徑,由題中等量關(guān)系求半徑,進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】如圖所示:由四面體是面(為直角)為等腰直角三角形，側(cè)棱垂直于面的幾何體，即四面體的外接球就是棱長為AB=的正方體(如圖所示)的外接球，其半徑為R==.所以該四面體外接球的表面積是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡潔幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)學(xué)問,考查空間想象、運(yùn)算求解及推理論證實(shí)力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.11.設(shè)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，直線過且與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直，則到的距離的最小值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由拋物線的方程得到準(zhǔn)線方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得到直線的方程，再設(shè)與直線平行的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，由判別式為0，得到，最終由點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)果.【詳解】拋物線上準(zhǔn)線方程是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．則直線的方程為．設(shè)與直線平行的直線方程為．代入拋物線方程可得，由，可得．故與直線平行且與拋物線相切的直線方程為．．則到的距離的最小值．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程、拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，熟記拋物線的簡潔性質(zhì)，結(jié)合直判別式、點(diǎn)到直線距離公式等求解，屬于?？碱}型.12.若函數(shù)y＝ex﹣e﹣x（x＞0）的圖象始終在射線y＝ax（x＞0）的上方，則a的取值范圍是（）A.（﹣∞，e] B.（﹣∞，2] C.（0，2] D.（0，e]【答案】B【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由此推斷出函數(shù)在時(shí)為遞增函數(shù)，利用切線的斜率求得的取值范圍.【詳解】依題意設(shè)，這，故函數(shù)在時(shí)為遞增函數(shù)，且在時(shí)為正數(shù)，故單調(diào)遞增，故，而是直線的斜率，直線過原點(diǎn)，要使函數(shù)的圖象始終在射線的上方則需.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分析問題的實(shí)力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則cos2α＝_____．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和齊次方程，求得的值.【詳解】依題意.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二倍角公式，考查齊次方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.依據(jù)下列算法語句，當(dāng)輸入時(shí)，輸出的最大值為____________.輸入，輸出【答案】2【解析】【分析】依據(jù)題中程序分析出滿意的不等式組,然后分析比較滿意時(shí)輸出目標(biāo)函數(shù)的最大值和不滿意時(shí)輸出目標(biāo)函數(shù)的最大值,進(jìn)而得出答案.【詳解】由算法語句知,當(dāng),滿意不等式組時(shí)，則可得,滿意的可行域如圖陰影部分所示：則可得目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過M點(diǎn)是取得最大值，由聯(lián)立解得坐標(biāo)M(1，1)，則可得目標(biāo)函數(shù)的最大值為；當(dāng),不滿意不等式組時(shí)，由題意可得可得,則經(jīng)過比較目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查基本算法中的條件語句，線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的最值問題;考查邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力,屬于一般難度的題.15.是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為___．【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件可知，且上單調(diào)遞增，依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為，這樣比較與1的大小關(guān)系.【詳解】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，且，即解得：故解集是.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解抽象不等式，屬于簡潔題型，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的實(shí)力，解抽象不等式時(shí)，假如函數(shù)是偶函數(shù)，時(shí)，轉(zhuǎn)化為，再依據(jù)的單調(diào)性，比較和的大小.16.設(shè)，為平面外兩條直線，其在平面內(nèi)的射影分別是兩條直線和.給出下列個(gè)命題：①與平行或重合，②，③，其中全部假命題的序號是_____________.【答案】②③【解析】【分析】由線與線、線與面的位置關(guān)系以及利用反例法一一推理推斷即可得出答案.【詳解】對于①:由題設(shè)直線,與平面不垂直,且可設(shè)直線,確定的平面為.若，則與重合（為,的交線）;若與不垂直，則易知與，與確定的平面相互平行,從而,故真命題;以下舉反例說明命題②③不真.在如圖所示的正方體中，對于②:取平面為,，分別為,,,分別為,,滿意，但是不滿意,故命題為假;對于③:取平面為,,分別為,,,分別為,,滿意,但是不滿意,故命題為假.故答案為:②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問,考查空間想象、邏輯推理等實(shí)力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于一般難度的題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且．（1）求Sn；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：1≤Tn＜2．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用迭代法證得是等比數(shù)列，由此求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的表達(dá)式.（2）依據(jù)（1）求得的的表達(dá)式.利用求得的表達(dá)式，再求得的表達(dá)式，由此證得不等式成立.【詳解】由題意有，所以數(shù)列是等比數(shù)列.又，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以由知，時(shí)，.兩式相減得，時(shí)，也滿意，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，明顯且所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，考查數(shù)列求和的方法，屬于中檔題.18.某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，在，試驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗.為觀測其生長狀況，分別在，試驗(yàn)地隨機(jī)抽選各株，對每株進(jìn)行綜合評分（評分的凹凸反映花苗品質(zhì)的凹凸），將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求圖中的值，并求綜合評分的中位數(shù)；（2）記綜合評分為及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗.填寫下面的列聯(lián)表，并推斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法乙培育法合計(jì)附：下面的臨界值表僅供參考.（參考公式：，其中.）【答案】（1），；（2）是，詳見解析【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖中小長方形的面積和為1可以求得;由中位數(shù)兩側(cè)頻率均為0.5可求出中位數(shù);(2)由題意先補(bǔ)填列聯(lián)表,然后由列聯(lián)表求,再進(jìn)行比較推斷.【詳解】解：（1）由，解得.令得分中位數(shù)為，由，解得.故綜合評分的中位數(shù)為.（2）列聯(lián)表如下表所示：優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法乙培育法合計(jì)可得.所以，有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)系.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖,相關(guān)統(tǒng)計(jì)量,列聯(lián)表,相關(guān)性等基礎(chǔ)學(xué)問;考查數(shù)據(jù)處理實(shí)力,運(yùn)算求解實(shí)力,應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),屬于一般難度的題.19.如圖1，在邊長為的正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.將，分別沿，折疊，使，點(diǎn)重合于點(diǎn)，如圖2所示.圖1圖2（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合翻折前后的變量與不變量的關(guān)系,利用線面平行的判定定理干脆證明即可;(2)利用平面圖形翻折前后的變量與不變量證明面PEF,由題中等量關(guān)系分別求出PM和,然后由進(jìn)行求解答案.【詳解】解：（1）在圖1中,連結(jié)交于,交于,則.圖1在圖2中,連結(jié)交于,連結(jié).在中,有,,圖2所以.又因?yàn)槊?面,故平面.（2）依據(jù)題意,圖2中的,,即圖1中的,,所以,.又,所以面,即面.在中,,,,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和平面平行的判定、三棱錐體積的求法等基礎(chǔ)學(xué)問，考查空間想象、邏輯推理等實(shí)力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,屬于一般難度的題.20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B為橢圓C上的兩動(dòng)點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，直線AB，OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且分別記為k1，k2，試問k1k2的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）為定值，此定值為【解析】分析】（1）依據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）利用點(diǎn)差法求得為定值.【詳解】由題意得，解得.所以橢圓的方程為：設(shè)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即由已知，所以，即則，于是.所以為定值，此定值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查利用點(diǎn)差法求解有關(guān)中點(diǎn)弦的問題，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo),求,,然后利用點(diǎn)斜式方程可求得答案;(2)對函數(shù)求導(dǎo),構(gòu)造函數(shù)推斷其在上單調(diào)遞增,分類探討時(shí):推斷函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù),然后再由求得的取值范圍;時(shí),使得,推斷在上函數(shù)單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,求得函數(shù)最小值然后利用和進(jìn)行適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化即可求出參數(shù)的取值范圍,最終總結(jié)探討結(jié)果得出的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),,,則,,由點(diǎn)斜式方程可得:化簡得:,即切線方程為.（2）由,得,令,則.所以在上單調(diào)遞增,且.①當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,由于恒成立,則有,即,所以滿意條件;②當(dāng)時(shí),則存在,使得,當(dāng)時(shí),,則,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則,單調(diào)遞增.所以，又滿意,即,所以,則,即，得.又，令，則，可知，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以，此時(shí)滿意條件.綜上所述,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等基本學(xué)問.考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想以及推理論證、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)實(shí)力,屬于難題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任