江西省蓮塘第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文

PAGEPAGE5江西省蓮塘其次中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文考試時(shí)間：120分鐘總分150分一、單選題（5*12=60）1．已知曲線y＝eq\f(1,8)x2的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．4B．3C．2D.eq\f(1,2)2．下列說法正確的是()A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”B．若a，b∈R，則“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件C．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1>0”D．若“p且q”為假命題，則p，q全是假命題3．已知p：|x＋1|>2，q：x>a，且p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤－3B．a(chǎn)≥－3C．a(chǎn)≤1D．a(chǎn)≥14．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1，1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．45．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿意f(x)＝2f′(e)x＋lnx，則f′(e)＝()A.－eq\f(1,e)B．－eC．eq\f(1,e)D．e6．若函數(shù)f(x)＝2x2＋lnx－ax在定義域上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(－∞，4) D．(－∞，4]7．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的一條漸近線方程為2x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且|PF1|＝2，則|PF2|＝()A．4B．6C．8D．108．已知直線ax＋y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則直線與拋物線相交弦的弦長(zhǎng)為()A．6B．7C．8 D．99．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為()A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝010．設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝x·f′(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A．f(x)的極大值為f(eq\r(3))，微小值為f(－eq\r(3))B．f(x)的極大值為f(－eq\r(3))，微小值為f(eq\r(3))C．f(x)的極大值為f(－3)，微小值為f(3)D．f(x)的極大值為f(3)，微小值為f(－3)11．若P為曲線y＝lnx上一動(dòng)點(diǎn)，Q為直線y＝x＋1上一動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|min＝()A．0B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．212．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)ax2－2x有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1)B．(0，1)C．(0，2)D．(0，3)二、填空題（5*4=20）13．設(shè)原命題：若a＋b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1，則命題的1逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是.14．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2,0)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2∶eq\r(3)，則橢圓C的方程是___________．15．函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－lnx的單調(diào)減區(qū)間為__________．16．曲線y＝x－eq\f(1,x)(x>0)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為eq\f(1,3)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________．三、解答題17．已知m∈R，命題p：對(duì)隨意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命題q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．(1)若p為真命題，求m的取值范圍；(2)當(dāng)a＝1，若p且q為假，p或q為真，求m的取值范圍．18．已知函數(shù)f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)在x＝0處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值．19．已知函數(shù)f(x)＝xlnx(x>0)．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對(duì)隨意x∈(0，＋∞)，f(x)≥eq\f(－x2＋mx－3,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．20．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，離心率為eq\f(1,2).(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)分別為橢圓的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)F作直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，求四邊形OCAD面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．21．函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx在x＝1處取得極值．(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ－2cosθ＝0.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C1上有一動(dòng)點(diǎn)M，曲線C2上有一動(dòng)點(diǎn)N，求|MN|的最小值．2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二文科數(shù)學(xué)答案一、單選題（5*12=60）1．C2.B3．D4．C5．A6．D7C8．C9．B10.D11.C12．B二、填空題（5*4=20）13．114．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝115．(0,1]16．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)，\f(4\r(5),5)))三、解答題19．解(1)∵對(duì)隨意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.因此，若p為真命題時(shí)，m的取值范圍是[1,2]．(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，∴m≤x，命題q為真時(shí)，m≤1.∵p且q為假，p或q為真，∴p，q中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題．當(dāng)p真q假時(shí)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤m≤2，,m>1，))解得1<m≤2；當(dāng)p假q真時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<1或m>2，,m≤1，))即m<1.綜上所述，m的取值范圍為18.解f′(x)＝(x＋1－a)ex.(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f′(x)＝(x－1)ex.∴f(0)＝－2，f′(0)＝－1，∴所求切線方程為y＋2＝－x，即x＋y＋2＝0.(2)令f′(x)＝0得x＝a－1.①若a－1≤1，則a≤2.當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f′(x)≥0，則f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增．∴f(x)min＝f(1)＝(1－a)e；②若a－1≥2，則a≥3.當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f′(x)≤0，則f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減．∴f(x)min＝f(2)＝(2－a)e2；③若1<a－1<2，則2<a<3.f′(x)，f(x)隨x的改變狀況如表：∴f(x)的減區(qū)間為(1，a－1)，增區(qū)間為(a－1,2)，∴f(x)min＝f(a－1)＝－ea－1.綜上可知當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)min＝(1－a)e；當(dāng)a≥3時(shí)，f(x)min＝(2－a)e2；當(dāng)2<a<3時(shí)，f(x)min＝－ea－1.19．解(1)由題意知f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，得x>eq\f(1,e)，令f′(x)<0，得0<x<eq\f(1,e)，∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))，單調(diào)減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，f(x)在x＝eq\f(1,e)處取得微小值，微小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e)，無極大值．(2)由f(x)≥eq\f(－x2＋mx－3,2)及f(x)＝xlnx，得m≤eq\f(2xlnx＋x2＋3,x)，問題轉(zhuǎn)化為m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2xlnx＋x2＋3,x)))min.令g(x)＝eq\f(2xlnx＋x2＋3,x)(x>0)，則g′(x)＝eq\f(2x＋x2－3,x2)，由g′(x)>0?x>1，由g′(x)<0?0<x<1.所以g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(x)min＝g(1)＝4，即m≤4，所以m的最大值是4.20．解(1)由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝3，,c2＝1.))∴橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知，F(xiàn)(1,0)，A(2,0)．由題意知，當(dāng)直線CD的斜率存在時(shí)，斜率不為0.設(shè)直線CD的方程為x＝my＋1，與橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1聯(lián)立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則y1＋y2＝－eq\f(6m,3m2＋4)，y1y2＝eq\f(－9,3m2＋4)，∴S四邊形OCAD＝S△OCA＋S△ODA＝eq\f(1,2)×2×|y1|＋eq\f(1,2)×2×|y2|＝|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(12\r(m2＋1),3m2＋4)＝eq\f(12t,3t2＋1)＝eq\f(12,3t＋\f(1,t))，其中t＝eq\r(m2＋1)，t≥1.∵當(dāng)t≥1時(shí)，3t＋eq\f(1,t)單調(diào)遞增，3t＋eq\f(1,t)≥4，∴S四邊形OCAD≤3(當(dāng)m＝0時(shí)取等號(hào))．21.解(1)f′(x)＝a＋lnx＋1，f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x＋xlnx，即f′(x)＝lnx，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.∴f(x)在x＝1處取得微小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為f(x)＝m＋1在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，也可轉(zhuǎn)化為y＝f(x)與y＝m＋1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－1，由題意得，m＋1>－1即m>－2，①當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝x(－1＋lnx)<0；當(dāng)x>0且x→0時(shí)，f(x)→0；當(dāng)x→＋∞時(shí)，明顯f(x)→＋∞(或者舉例：當(dāng)x＝e2時(shí)，f(e2)＝e2＞0)．如圖，由圖象可知，m＋1＜0，即m＜－1，②由①②可得－2＜m＜－1.故m的取值范圍為(－2，－1)．22.解①由ρ－2cosθ＝0得ρ2－2ρcosθ＝0.∵ρ2＝x2＋y2，