河北省張家口市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題理含解析

PAGE21-河北省張家口市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題理（含解析）留意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.2.考試時間120分鐘，滿分150分.3.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名準(zhǔn)考證號填寫在答題卡相應(yīng)的位置.4全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)補集和交集的求法干脆求解即可.【詳解】，，所以.故選：C.【點睛】本題考查補集和交集的求法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿意，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于（）A.其次象限 B.第三象限C.直線上 D.直線上【答案】C【解析】【分析】將變形為，化簡得，依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可推斷.【詳解】，，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上.故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的化簡，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運算實力，屬于基礎(chǔ)題.3.矩形中，，，，分別為，的中點，則（）A.4 B.6 C.8 D.【答案】B【解析】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，進一步利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用求出結(jié)果?！驹斀狻扛纱嗬靡阎獥l件，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由于矩形中，，，，分別為，的中點，所以，，，，，，則：，，所以：.故選：B.【點睛】本題考查平面對量數(shù)量積性質(zhì)及其運算，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系然后進行計算，考查計算實力，屬于?？碱}.4.已知甲組數(shù)據(jù)：156，，165，174，162，乙組數(shù)據(jù)：159，178，，161，167，其中，.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則（）A.8 B.10 C.11 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的概念進行分析，列出方程解方程即可得解.【詳解】由題知：，，將甲組數(shù)據(jù)從小到大排列得：156，162，165，，174，故中位數(shù)為165；要使兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同，將乙組數(shù)據(jù)從小到大排列得：159，161，，167，178，所以，故；所以乙組數(shù)據(jù)為：159，178，165，161，167，平均數(shù)為，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，解之得：，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查平均數(shù)、中位數(shù)的學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將與化為同底的對數(shù)式，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及利用“”的關(guān)系進行比較即可.【詳解】，，因為，所以，，故,故選：D.【點睛】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式比較大小的問題，解題關(guān)鍵是依據(jù)指指、對數(shù)的單調(diào)性進行比較，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)是空間中兩條不同直線,是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若,則 B.若,則C.若，則 D.若,則【答案】D【解析】【分析】逐一分析，能夠找尋出反例的是錯誤的，能夠證明的，肯定是正確的.【詳解】解：選項A：若,則。很明顯當(dāng)時，故不成立；選項B：若,則。當(dāng)與不共面時，與不行能平行，故不成立；選項C：若，則。設(shè)，若，，則可以得到，得不到，故不成立；選項D：若,則。因為，則在中存在一條直線，故，又因為，則可以得到。故，故選：D.【點睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要能精確運用線面、面面的判定與性質(zhì)定理等進行推斷.7.下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正、余弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性以此推斷四個選項，利用解除法即可得解.【詳解】的最小正周期為，故解除；不是周期函數(shù)，故解除；的最小正周期是，且在區(qū)間上是增函數(shù)，故正確；D.的最小正周期是，故解除.故選：C.【點睛】本題考查正、余弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性，屬于?？碱}.8.橢圓與拋物線在第一象限相交于點為橢圓的左、右焦點.若,則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用橢圓方程得出焦點坐標(biāo)，再利用拋物線的定義求出點的坐標(biāo)，然后利用橢圓的定義求出，從而得出離心率.【詳解】解：因為所以所以，因為，依據(jù)拋物線的定義可得：點到的距離為2，故得到點的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線方程，且點在第一象限，所以點的坐標(biāo)為，故，即，解得，所以橢圓的離心率為，故選:D.【點睛】求解離心率問題就是要解出a與c的值或構(gòu)造出a與c的等式（不等式），構(gòu)造a與c的等式（不等式）可以從定義、曲線方程、同一量的二次計算等角度構(gòu)造.9.已知銳角滿意,則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對條件運用二倍角公式進行化簡，然后借助進行求解便可得結(jié)果.【詳解】解：可化簡為，即，因為銳角，所以，化簡得到代入可解得，故選:A【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角公式的運用，在運用余弦的倍角公式時，要留意合理選擇，才能達(dá)到簡化的目的.10.知雙曲線C：（，），點，為原點，以為直徑的圓與圓：相交于點J，K.若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圓的方程，依據(jù)兩圓求解出直線的方程，設(shè)直線與軸的交點為，從而在中得出方程，解出的值，從而解出漸近線的方程.【詳解】圓：，即，圓：，即，故直線：，設(shè)直線與軸的交點為，則，因為，所以，在中，可得，即，即，所以，所以，所以，解得，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線漸近線的問題，其本質(zhì)是求解與的關(guān)系，此類問題的解題關(guān)鍵是依據(jù)已知條件得出與的等式或者不等式，從而求解，考查邏輯思維實力和運算實力，屬于高考?？碱}型.11.某家庭確定要進行一項投資活動，預(yù)料每周收益.假設(shè)起始投入1萬元，依據(jù)復(fù)利（復(fù)利是指在每經(jīng)過一個計息期后，都將所得利息加入本金，以計算下期的利息）計算，經(jīng)過100周，該家庭在此項投資活動的資產(chǎn)總額大約為（）A.1.3萬 B.1.7萬 C.2.3萬 D.2.7【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列學(xué)問得出100周后的資產(chǎn)總額為，依據(jù)題目供應(yīng)的數(shù)據(jù)解決問題.【詳解】因為該家庭確定起始投入1萬元，預(yù)料每周收益，所以100周后該家庭在此項投資活動的資產(chǎn)總額為萬.故選：D.【點睛】本題考查銀行計息的復(fù)利問題，復(fù)利問題其本質(zhì)是等比數(shù)列，可以由一般進行推廣，從而得到結(jié)果.12.已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】即，分別參數(shù)得：，問題變成不等式在區(qū)間上恒成立的問題，利用導(dǎo)數(shù)解決即可.【詳解】由，得：，因為，所以，令，，再令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，則在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在恒成立求參問題中的應(yīng)用，考查邏輯思維實力和運算實力，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)若為奇函數(shù)，則_________.【答案】1【解析】【分析】由題知：，可變形為，故，又為奇函數(shù)，可得，進而得到：，由已知可得出的值，進而得到結(jié)果.【詳解】，可變形為，故，又因為為奇函數(shù)，可得，所以有，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查邏輯思維實力和運算實力，屬于常考題.14.我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術(shù)學(xué)院甲、乙、丙、丁四位同學(xué)接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學(xué)抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公允的前提下，甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)的概率為_________.【答案】【解析】【分析】先分類探討求出所求事務(wù)數(shù)，再利用古典概型的方法計算概率即可.【詳解】將“甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務(wù)且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務(wù)”這一事務(wù)可以分為兩類：第一類：甲抽到夏季六幅彩繪任務(wù)的事務(wù)數(shù)為：，其次類：甲抽不到夏季六幅彩繪任務(wù)的事務(wù)數(shù)為：,總的事務(wù)數(shù)為：，故所求概率為：.故答案為：.【點睛】本題考查古典概型的應(yīng)用，考查排列組合的應(yīng)用，考查分析實力和計算實力，屬于中檔題.15.中,若成等差數(shù)列,并且,則的三個內(nèi)角中,最大的角的大小為__________.【答案】【解析】【分析】由成等差數(shù)列可得，與聯(lián)立方程組，用表示出、，推斷出最大角，然后運用余弦定理求解出最大角的大小.【詳解】解：因為成等差數(shù)列，所以，可得方程組，解得：，故的最大角為角，由余弦定理可得：故答案為：120°.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合運用，同時還考查了等差數(shù)列的等差中項學(xué)問，解三角形的本質(zhì)其實是邊與角的互化，如何轉(zhuǎn)化是解三角形的關(guān)鍵.16.四面體中，則四面體外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題中供應(yīng)的數(shù)據(jù)可以得出和為直角三角形，取的中點為，可以得出，，由此可以得到球心與半徑，從而得出外接球的表面積。【詳解】解：取的中點為，在中，故，所以為直角三角形，同理可得為直角三角形，則能得到,同時，為中點，所以,所以為外接球的球心，且半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積問題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)外接球的球心，解出外接球的半徑，解題的途徑是依據(jù)外接球的球心到四個頂點的距離相等這一條件來解題。三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為慶祝建國70周年，校內(nèi)文化節(jié)實行有獎答題活動，現(xiàn)有A，B兩種題型，從A類題型中抽取1道，從B類題型中抽取2道回答，答對3道題獲新華書店面值為15元的圖書代金券，答對2道題獲面值為10元的圖書代金券，答對1道題獲面值為5元的圖書代金券，沒有答對獲面值為1元的圖書代金券（作為激勵）.甲同學(xué)參與此活動答對A類題的概率為，答對B類題的概率為.（Ⅰ）求甲答對1道題的概率；（Ⅱ）設(shè)甲參與一次活動所獲圖書代金券的面值為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，.【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)互斥事務(wù)的概率計算公式即可得到結(jié)果；（Ⅱ）X的可能取值為1，5，10，15，分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列即可.【詳解】（Ⅰ）甲答對1道題的概率；（Ⅱ）X的可能取值為1，5，10，15，，，，X的分布列為X151015P.【點睛】本題考查互斥事務(wù)的概率，考查隨機事務(wù)的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查邏輯思維實力和運算實力，屬于高考常考題型.18.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，，正項等比數(shù)列的前n項和為，且，.（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由，得，進而得出；再依據(jù)，得出的通項公式即可；（Ⅱ）利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和為，再依據(jù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）由，得，∴（舍去），∵，∴，解得（舍去），∴；（Ⅱ）∵，∴，，∴，，∴.又∵，∴..【點睛】本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查錯位相減法求數(shù)列的和，考查邏輯思維實力和運算實力，屬于高考常考題型.19.長方體中，F(xiàn)是AB的中點，直線平面，.（Ⅰ）求長方體的體積；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.【答案】（Ⅰ）16；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先證，再分別求出和的長度，依據(jù)體積公式計算即可；（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計算二面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接BD，由平面，得，又，所以平面，所以，在矩形ABCD中，，，∴，∴，∴，同理，則四邊形為正方形，則，∴長方體體積；（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點，射線DA，DC，分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，，，連接AC，在矩形ABCD中，易得，又，所以平面，則平面的法向量可取為，而平面的法向量可取，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的余弦值的大小為.【點睛】本題考查幾何體體積的求法，考查利用空間向量求二面角的問題，考查空間想象實力和運算實力，屬于高考?？碱}型.20.已知動點P到點的距離與它到直線l：的距離d的比值為，設(shè)動點P形成的軌跡為曲線C.（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）過點的直線與曲線C交于A，B兩點，設(shè)，，過A點作，垂足為，過B點作，垂足為，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)，依據(jù)干脆法求出曲線的方程即可；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時，或3，不成立；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得：，依據(jù)韋達(dá)定理得出，，進而求出的范圍，再依據(jù)可得出的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，由題意得，整理化簡得，（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時，或3，不成立；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線AB的方程為，，，消去x，化簡整理得，，，，∵，∴，即，∴，①，②由①②消去，可得.∵，∴，∴，解得，∴，∴.【點睛】本題考查曲線方程的求法，考查直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維實力和運算實力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（Ⅰ）探討的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點；（Ⅱ）設(shè)是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.【答案】（Ⅰ）在，單調(diào)遞增，證明見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】分析】（Ⅰ）先求得函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點存在性定理證得有且僅有兩個零點.（Ⅱ）令，得.利用求得曲線在處的切線，求得與此切線的斜率相等的曲線的切線方程，利用推斷出這兩條切線方程相同，由此證得結(jié)論成立.【詳解】（Ⅰ）的定義域為，因為，所以在，單調(diào)遞增.因為，，所以在有唯一零點，因為，由，得；因為，所以在有唯一零點.綜上，有且僅有兩個零點.（Ⅱ）由題設(shè)知，即，由，得，曲線在處的切線為：，即.由，得，則曲線的斜率為的切線的切點橫坐標(biāo)滿意，解得，代入，得，故曲線的斜率為的切線方程為，即，由，得，從而與為同一條直線.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和零點，考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的切線，考查零點存在性定理，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解實力，屬于中檔題.請考生從第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目的題號涂黑.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為