滬教版 六年級數(shù)學(xué) 公因數(shù)與公倍數(shù)

坐公園數(shù)與公4數(shù)＞

骸課前刑忒

【題目】課前測試

兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1,最小公倍數(shù)是143,這兩個數(shù)是（）

【答案】1、143或11、13

【解析】

將143分解素因數(shù)結(jié)果為143=11x13

又???兩數(shù)最大公因數(shù)為1,

???兩數(shù)互素，兩數(shù)分別為1、143或11、13。

【難度】3

【題目】課前測試

兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是12,最小公倍數(shù)是144,其中一個數(shù)是48,另一個

數(shù)是多少？

【答案】36或72

【解析】

???兩數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別為12和144,

兩數(shù)都是12的倍數(shù)和144的因數(shù)，包括12、24、36、48、72,

其中一數(shù)為48,

???另一數(shù)應(yīng)為36或72。

【難度系數(shù)】3

如出定（五

適用范圍滬教版，六年級

知識點概述：本章重點部分是公因數(shù)與公倍數(shù)，掌握公因數(shù)和公倍數(shù)的概念，掌

握掌握求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，能綜合運用最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)

解決實際問題

適用對象：成績中等偏下的學(xué)生

注意事項：注意找掌握求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法

重點選講：

，?一?----------------------------

①數(shù)的整除

②公因數(shù)與公倍數(shù)的概念

③求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法

如出椅鋰

◎如出嫌拽1:數(shù)的整除

港數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b（bW0）,除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，

號/我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。

a-b,讀作a除以b或者b除a;a被b除或者b去除a。

素數(shù)、合數(shù)和分解素因數(shù)

廣■素數(shù)或質(zhì)數(shù)：只含有因數(shù)1和本身的整數(shù)

合數(shù)：除了1以及本身還有別的因數(shù)

素因數(shù)：每個合數(shù)都可以寫成幾個素數(shù)相乘的形式，這幾個素

數(shù)叫做合數(shù)的素因數(shù)

分解素因數(shù)：把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來

亍營因數(shù)與倍數(shù)

如果數(shù)a能被數(shù)b（b聲0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b

就叫做a的因數(shù)。

倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，

其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本身。一個數(shù)的倍數(shù)的個

數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。0是任何一個不為0的

整數(shù)的倍數(shù)，任何一個不等于0的整數(shù)都是0的因數(shù)。

能被2、3、5整除的數(shù)（數(shù)的整除的特征）

能被2整除的數(shù)的特征是個位上的數(shù)字是0、2、4、6、8;

能被5整除的數(shù)的特征是個位上的數(shù)字是5或0;

能同時被2、5整除的數(shù)的特征是個位上的數(shù)字是0.

能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)。

能被3整除的數(shù)的特征是各個數(shù)位上的數(shù)字相加的和是3的

◎也詛植，捏2：公國數(shù)與公信教、互索的概念

V1/

公因數(shù)與最大公因數(shù)

幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個叫做這幾個

數(shù)的最大公因數(shù)。

［曾三公倍數(shù)與最小公倍數(shù)

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個叫做這

◎-3識臨整3：求星卡公國取和是小公德數(shù)的方法

，3分三求最大公因數(shù)的方法（總結(jié)）

:分別列出兩個數(shù)的因數(shù)，從公因數(shù)中找出它們的最大公因數(shù)

I

:把兩個數(shù)分解素因數(shù)，最大公因數(shù)就是它們共有素因

數(shù)的乘積

I

I

:用兩個數(shù)的公因數(shù)去除，除到商是互素為止，所有除數(shù)的乘

積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)（一般用它們的公有素因數(shù)去除，為了計算

更加靈活簡便除數(shù)不一定非得是素數(shù)，可用較大的公因數(shù)去除）

:如果兩個數(shù)是互素，它們的最大公因數(shù)是1;如果兩個數(shù)之

;間存在倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公因數(shù)是其中較小的一個數(shù)

;求最小公倍數(shù)的方法（總結(jié)）

:分別列出兩個數(shù)的倍數(shù)，找出它們共有的倍數(shù)，其中最小的

;數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)

i

:把兩個數(shù)分解素因數(shù)，把它們公有的素因數(shù)和它們各

自獨有的素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最小公倍數(shù)

i

:用兩個數(shù)的公因數(shù)去除，除到商是互素為止，所有除數(shù)和商

的乘積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)

:如果兩個數(shù)是互素，它們的最小的公倍數(shù)是它們的乘積；

如果較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍

數(shù)

I!

題型i:數(shù)的整除

下列各組數(shù)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是（）

A.4和12B.24和5C.35和8D.91和7

【答案】D

【解析】

需要分清”……能被……整除"和"…能整除.，的概念

……能被……整除：91能被7整除

若將題目改成"下列各組數(shù)中，第一個數(shù)能整除第二個數(shù)的是"，就得選A了

【難度】2

【題目】題型1變式練習(xí)1

下列說法錯誤的是（）

A.一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的是1,最大的是它本身

B.一個正整數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的是它本身

C.12在100以內(nèi)的倍數(shù)共有10個

D.一個數(shù)既是16的因數(shù)，又是16的倍數(shù)，這個數(shù)就是16

【答案】C

【解析】

根據(jù)求倍數(shù)的方法，可以發(fā)現(xiàn)100以內(nèi)12的倍數(shù)應(yīng)有8個，因為12x8=96

故答案是C

【難度】2

【題目】題型1變式練習(xí)2

幼兒園里有一些小朋友，王老師拿了32顆糖平均分給他們，正好分完。小朋友

的人數(shù)可能是多少？

【答案】2、4、8、16、32

【解析】

解：

因為王老師拿了32顆糖平均分給他們，正好分完

所以32的因數(shù)有1、2、4、8、16、32

答:小朋友的人數(shù)可能是2、4、8、16、32

【難度】2

【題目】題型1變式練習(xí)3

如果在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添寫一個零，那么所得的三位數(shù)是原來的數(shù)的

9倍，問這個兩位數(shù)最小是（）

【答案】45

【解析】

設(shè)原來數(shù)為ab,這樣后來的數(shù)為aOb,

把數(shù)字展開我們可得：100a+b=9x(10a+b),

所以我們可以知道5a=4b,

所以a、b最小值為a=4,b=5,

所以原來的兩位數(shù)為45。

【難度】3

【題目】題型1變式練習(xí)4

已知四位數(shù)24ab,既能被2、3整除，又能被5整除，求a+b的值

【答案】0、3、6、9

【解析】

能被5整除，個位是5、0;

又能被2整除，則個位只能是0;

所以b=0

又因為能被3整除

所以(2+4+a+b)是3的倍數(shù)

又因為a最大值是9

所以2+4+a=6/9/12/15

所以a=0、3、6、9

所以a+b=O、3、6、9

【難度】2

題型2:找最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

一個正整數(shù)加上2能被2整除，加上3能被3整除,加上5能被5整除，這個

數(shù)最小是O

【答案】30

【解析】

這個數(shù)加上2能被2整除，加上3能被3整除，加上5能被5整除，

即它本身能被2、3、5同時整除,

所以2、3、5的最小公倍數(shù)30即為答案。

【難度】3

【題目】題型2變式練習(xí)1

根據(jù)短除法的計算，完成下面問題。

在括號中填入正確的數(shù)，并求出這兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。

2K)24

()|9()

34

【答案】最大公因數(shù)是12;最小公倍數(shù)是144

【解析】填入數(shù)字如下：

2|（36）48

2|（18）24

（3?。?2）

34

36和48的最大公因數(shù)是12;最小

公倍數(shù)是144。

【難度】2

【題目】題型2變式練習(xí)2

甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)除以他們的最大公因數(shù)，商是12。如果甲乙兩數(shù)的差是

18,求甲數(shù)和乙數(shù)

【答案】72;54

【解析】

設(shè)兩數(shù)的最大公因數(shù)為a、最小公倍數(shù)為b

根據(jù)最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的定義，b+a=12,12是所求的兩個數(shù)它們各自獨

有的不同的因數(shù)的乘積，并且它們的這兩個因數(shù)必然互素，?二12=1x12=3x4,

這樣得到兩組解：

(l)12a-la=18,無整數(shù)解

(2)4a-3a=18,a=18,b=12a=216

則兩個數(shù)分別為：4x18=72,3x18=54。

【難度】3

題型3:最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的圖形拆分合并應(yīng)用

一張長方形的紙片，長為36cm,寬為21cm,要把這張紙片裁成同樣大小的正

方形小紙片而且沒有任何剩余，則裁成的正方形紙片的邊長最大可以是多少厘米？

至少有多少個小正方形？

【答案】3;84

【解析】

正方形紙片的邊長最大可以是3厘米，至少有84個小正方形。

所求正方形的邊長就是36和21的最大公因數(shù)3。

(36+3)x(21+3)=12x7=84(個)，

所以正方形紙片的邊長最大是3厘米，

至少有84個小正方形。

【難度】2

【題目】題型3變式練習(xí)1

用長為8厘米、寬為6厘米的長方形小紙片拼成一個大的正方形紙片，則拼成

的正方形紙片的邊長最小可以是多少厘米？至少有多少個小長方形？

【答案】24;12

【解析】

正方形紙片的邊長最小是24厘米，至少用12個小長方形。

所求正方形的邊長就是8和6的最小公倍數(shù)24,

(24+8)x(24+6)=3x4=12(個)，

所以正方形紙片的邊長最小是24厘米，至少用12個小長方形。

拆分問題所求的為最大公因數(shù)，合并問題所求的為最小公倍數(shù)。

【難度】3

【題目】題型3變式練習(xí)2

有三根鐵絲，一根長18米，一根長24米，一根長30米?，F(xiàn)在要把它們截成同

樣長的小段。每段最長可以有幾米？一共可以截成多少段？

【答案】6;12

【解析】

所求的段長是18、24、30的最大公因數(shù)

所以最大公因數(shù)是6

所以一共可以截得(18+6)+(24+6)+(30+6)=3+4+5=12

【難度】2

【題目】題型3變式練習(xí)3

一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭

多少塊？

【答案】150

【解析】

所求的正方體的邊長即為長方體的長寬高的最小公倍數(shù)

20、12、6的最小公倍數(shù)是60

所以需要的磚塊數(shù)是(60?20)(60-12)(60+6)=3x5x10=150

【難度】3

題型4:最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的樹間距離變化應(yīng)用

在長為L5千米的公路一邊，等距離種樹(兩端都種)，開始每隔10米種一棵，

后來改成每隔12米種一棵，不用改種的樹有多少棵？

【答案】26

【解析】

不用改種的樹離第一棵樹距離應(yīng)為10和12的公倍數(shù)，10和12的最小公倍數(shù)

是60,又第一棵樹不用改種，所以：1500+60+1=26

不用改種的樹有26棵。

【難度】2

【題目】題型4變式練習(xí)1

公路上一排電線桿，共25根。每相鄰兩根間的距離原來都是45米，現(xiàn)在要改

成60米，可以有幾根不需要移動？

【答案】7

【解析】

因為共25根，每相鄰兩根間的距離原來都是45米

所以一共距離為1080米

不用改的電線桿離第一根距離應(yīng)為45和60的最小公倍數(shù)，是180

又因為第一根不動

所以：1080^180+1=7

不用動的有7根

【難度】3

【題目】題型4變式練習(xí)2

一個長方形的操場，長90米，寬66米，在四角和四周種上樹苗，使得相鄰

兩棵苗間的距離都相等。問：最遠(yuǎn)應(yīng)每隔多少米種一棵？一共需要樹苗多少

棵？

【答案】最遠(yuǎn)應(yīng)每隔6米種一棵樹苗，一共需要52棵樹苗

【解析】

由題意可知：90和66的最大公因數(shù)是6,最遠(yuǎn)應(yīng)每隔6米種一棵;

所以（90+66）x2+6=52棵。

【難度】2

【題目】興趣篇1

已知某學(xué)校六年級學(xué)生超過100人，而不足140人。將他們按每組12人分組,

多3人；按每組8人分，也多3人。該校六年級學(xué)生有人。

【答案】123

【解析】

由題意知：總?cè)藬?shù)減去3應(yīng)為12和8的公倍數(shù)，

所以12和8的最小公倍數(shù)是24

所以設(shè)總?cè)藬?shù)是最小公倍數(shù)的n倍再加3,即24rl+3,n為正整數(shù)，

又總?cè)藬?shù)超過100人，而不足140人，n=5,總?cè)藬?shù)為123人。

【難度】3

【題目】興趣篇2

學(xué)校組織五年級同學(xué)去秋游，五（1）班有48人，五（2）班有36人。為了確

保路上安全，老師每班分成人數(shù)相等的小隊。每隊最多有多少人？一共可以分

成幾隊？

【答案】12人，7組

【解析】

因為五(1)班有48人，五(2)班有36人，每班分成人數(shù)相等的小隊

所以48和36的最大公因數(shù)是12

所以每隊最多有12人

所以一共有(48+12)+(36+12)=7隊

【難度】2

【題目】備選題目1

小麗問小明："你們學(xué)校有多少名學(xué)生？"小明說："我考考你，我們學(xué)校的人

數(shù)在1500人到1800人之間，但有一個規(guī)律，總?cè)藬?shù)除以2余1,除以3余1,

除以5余1,除以7也余1,你知道我們學(xué)校有多少名學(xué)生嗎？"你能幫助小麗

回答這個問題嗎？

【答案】1681名。

【解析】

由題意可知：

總?cè)藬?shù)除以2