考點08二次函數(shù)實際應(yīng)用問題的7大類型-原卷版+解析

考點08二次函數(shù)實際應(yīng)用問題的7大類型1圍欄籬笆圖形類問題的解決方法幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．面積的最值問題應(yīng)設(shè)圖形的一邊長為自變量，所求面積為函數(shù)，建立二次函數(shù)的模型，利用二次函數(shù)有關(guān)知識求得最值，要注意函數(shù)自變量的取值范圍.一般涉及到矩形等四邊形問題，把圖形的面積公式掌握，把需要用到的邊和高等用未知數(shù)表示，即可表示出面積問題的二次函數(shù)的關(guān)系式，通過最值問題的解決方法，即可求出最值等問題，注意自變量的取值范圍問題。2圖形運動問題的解決思路此類問題一般具體分析動點所在位置，位置不同，所求的結(jié)果也不一樣，一般把每一段的解析式求出來，根據(jù)解析式判斷函數(shù)類型，從而判斷圖像形狀。3拱橋問題的解決方法◆1、建立二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．◆2、建立二次函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；合理設(shè)出函數(shù)解析式；利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；根據(jù)求得的解析式進一步分析、判斷并進行有關(guān)的計算.4銷售問題◆1、銷售問題中的數(shù)量關(guān)系：銷售利潤=銷售收入﹣成本；銷售總利潤=銷售量×單價利潤◆2、求解最大利潤問題的一般步驟：建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式：運用“總利潤=單件利潤×總銷量”或“總利潤=總售價-總成本”；（2）結(jié)合實際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤：可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數(shù)的簡圖，利用簡圖和性質(zhì)求出.◆3、在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．5投球問題的解決方法此類問題一般需要建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)定好每個點的坐標(biāo)，分析好題目中的每句話的含義是解決這類問題的關(guān)鍵，有排球、足球、高爾夫球、籃球等，首先根據(jù)已知條件確定設(shè)定的解析式形式，求出解析式，再根據(jù)題意了解問題所求的實質(zhì)是什么求出即可。6噴水問題此類問題跟投球問題差不多，首先根據(jù)坐標(biāo)系和題意確定點的坐標(biāo)情況，根據(jù)點的坐標(biāo)求出解析式。7增長率問題考點1圍欄籬笆圖形類問題的解決方法考點2圖形運動問題的解決思路考點3拱橋問題的解決方法考點4銷售問題考點5投球問題的解決方法考點6噴水問題考點7增長率問題考點1圍欄籬笆圖形類問題的解決方法1．（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，利用一面墻（墻的長度不超過），用長的籬笆圍成一個矩形場地，并且與墻平行的邊留有寬建造一扇門方便出入（用其他材料）．設(shè)，矩形的面積為．

(1)請寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍：(2)怎樣圍才能使矩形場地的面積為？(3)能否使所圍矩形場地的面積為，若能，請算出此時矩形的長與寬，若不能，請說明理由．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，有長為的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度a為），設(shè)花圃的寬為，面積為．(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；(2)要圍成面積為的花圃，的長是多少米？3．（2022秋·浙江麗水·九年級?？计谥校┤鐖D1，要利用一面墻（墻長為）建羊圈，用的圍欄圍成兩個大小相同的矩形羊圈，設(shè)羊圈的一邊長為，羊圈總面積為．(1)請問能否圍成總面積為的羊圈，若能，請求出的長；若不能，請說明理由．(2)如果兩個矩形羊圈各開一個寬的門（如圖2），在不浪費圍欄的情況下，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出x的取值范圍，求出羊圈總面積最大值．4．（2022秋·北京豐臺·九年級北京十八中?？计谥校╇S某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)區(qū)（長方形），飼養(yǎng)區(qū)的一面靠墻（墻最大可用長度為15米），另三邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄），建成后木欄總長45米，設(shè)飼養(yǎng)區(qū)（長方形）的寬為米．(1)飼養(yǎng)區(qū)的長＝．（用含的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)為何值時，飼養(yǎng)區(qū)的面積最大，此時飼養(yǎng)區(qū)達到的最大面積為多少．考點2圖形運動問題的解決思路5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖所示，在中，，，，點從點A開始沿邊向點以的速度運動，點從點開始沿邊向點以的速度運動．、分別從A、同時出發(fā)，當(dāng)、兩點中有一點停止運動時，則另一點也停止運動．設(shè)運動的時間為s．(1)當(dāng)為何值時，的長度等于；(2)求出關(guān)于的函數(shù)解析式，計算、出發(fā)幾秒時，有最大值，并求出這個最大面積？6．（2020秋·四川涼山·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，動點P以的速度從A向B移動（不與B重合），動點Q以的速度從B向C移動，（不與C重合），若P、Q同時出發(fā)，試問經(jīng)過幾秒后，四邊形的面積最??？并求出最小值.7．（2023秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，點P從點A出發(fā)，以cm/s的速度沿向終點B運動．過點P作與Q，當(dāng)點P不與A、B重合時，以線段為邊向右作長方形，使．設(shè)長方形與的重疊面積為S，點P的運動時間為t（s）．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長度．(2)連接，當(dāng)平分的面積時，求出t的值．(3)當(dāng)點N落在邊上時，求t的值．(4)用含t的代數(shù)式表示S．8．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，點P從點A開始沿AB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動，運動時間為t．(1)幾秒后四邊形APQC的面積是19平方厘米；(2)若用S表示四邊形APQC的面積，經(jīng)過多長時間S取得最小值，并求出S的最小值．考點3拱橋問題的解決方法9．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙壷楹Ｊ械诰胖袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10m，橋洞與水面的最大距離是5m，橋洞兩側(cè)內(nèi)拱壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式∶(2)求兩盞景觀燈之間的水平距離．10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某公路有一個拋物線形狀的隧道ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y＝﹣x2+c且過頂點C（0，5）.（長度單位：m）(1)直接寫出c＝；(2)求該隧道截面的最大跨度（即AB的長度）是多少米？(3)該隧道為雙向車道，現(xiàn)有一輛運貨卡車高4米、寬3米，問這輛卡車能否順利通過隧道？請說明理由.11．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖①，橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m．(1)按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；(2)一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．12．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求給出了兩個設(shè)計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．要在拱門中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時，，請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；(2)在方案一中，當(dāng)時，求矩形框架的面積并比較，的大?。键c4銷售問題13．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價格購進一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：每千克售價x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每千克山野菜的售價定為多少元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？14．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品，某商家以每套34元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件，若該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套．(1)設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求每套售價定為多少元時，每天銷售套件所獲利潤W最大，最大利潤是多少元？15．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）我國互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展走到了世界的前列，尤其是電子商務(wù)．據(jù)市場調(diào)查，天貓超市在銷售一種進價為每件40元的護眼臺燈中發(fā)現(xiàn)：每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)設(shè)每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月獲得最大利潤？(2)如果每月獲得8000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？；(3)由于市場競爭激烈，這種護眼燈的銷售單價不得高于75元，如果要每月銷售單價不低于60元，那么每月成本最少需要多少元？16．（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）某建材商店代銷一種建筑材料，當(dāng)每噸售價為元時，月銷售量為噸；該建材商店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取漲價的方式進行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)．當(dāng)每噸建筑材料售價每上調(diào)元時，月銷售量就會減少噸，每售出噸建筑材料共需支付廠家及其他費用元，設(shè)每噸建筑材料售價為(元)，該建材商店的月利潤為(元)．(1)當(dāng)每噸售價是元時，計算此時的月銷售量；(2)求出與的函數(shù)關(guān)系式（寫出的取值范圍）；(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？考點5投球問題的解決方法17．（2020秋·廣東中山·九年級中山市華僑中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某足球運動員站在點處練習(xí)射門，將足球從離地面的處正對球門踢出（點在軸上），足球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間滿足函數(shù)關(guān)系，已知足球飛行時，離地面的高度為．

(1)足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飛行的水平距離（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數(shù)關(guān)系，已知球門的高度為，如果該運動員正對球門射門時，離球門的水平距離為，他能否將球直接射入球門？18．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目．如圖①是一名男生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時起點處高度為2m，當(dāng)水平距離為時，實心球行進至最高點處．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)該市2023年中考體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于，此項考試得分為滿分17分．按此評分標(biāo)準(zhǔn)，該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．19．（2022·福建廈門·九年級廈門一中?？茧A段練習(xí)）小明進行鉛球訓(xùn)練，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來研究鉛球的運動情況．他以水平方向為軸方向，為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球從軸上的點出手，運動路徑可看作拋物線，在點處達到最高位置，落在軸上的點處．小明某次試投時的數(shù)據(jù)如圖所示．(1)根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；(2)若鉛球投擲距離（鉛球落地點與出手點的水平距離的長度）不小于，成績?yōu)閮?yōu)秀．請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀．20．（2022秋·浙江嘉興·九年級?？计谥校┬￡懞托螀⒓芋w育節(jié)雙人互墊排球項目，小陸和小呂按比賽要求站立，小陸在左邊發(fā)球后，排球球心運動的路線為拋物線的一部分，以拋物線對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），小陸發(fā)球時排球球心與y軸水平距離為，且球心離地最大高度是，根據(jù)圖中信息：(1)請求出排球球心運動路線的函數(shù)表達式；(2)求小陸發(fā)球時球心離地高度多少米；(3)若接球時球心離地高度不高于0.5m，則小呂在接球時球心離y軸至少多少米？（精確到0.1米，參考值：≈1.73，≈2.45）考點6噴水問題21．（2022秋·湖北咸寧·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m．試求水柱落點距O點4m時的噴頭高度．22．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．23．（2022春·北京·九年級專題練習(xí)）某社區(qū)文化廣場修建了一個人工噴泉，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，噴水口為A，噴水口A距地面2m，噴出水流的軌跡是拋物線．水流最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為1m，水流落地點C距離噴水槍底部B的距離為3m．請解決以下問題：(1)如圖，以B為原點，BC所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則點A的坐標(biāo)是______，點C的坐標(biāo)是______，水流軌跡拋物線的對稱軸是______．(2)求出水柱最高點P到地面的距離．(3)在線段BC上到噴水槍AB所在直線的距離為2m處放置一物體，為避免物體被水流淋到，物體的高度應(yīng)小于多少米？請說明理由．24．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一個圓形噴水池的中央垂直于水面安裝了一個柱形噴水裝置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的平面上，按如圖所示建立直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式可以用表示，且拋物線經(jīng)過點，．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并確定噴水裝置OA的高度；(2)噴出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？考點7增長率問題25．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┠成痰赀M購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎(chǔ)上，第二、三天的銷售量達到605件，求第二、三天的日平均增長率；(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．①現(xiàn)要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實惠，則每件應(yīng)張價多少元？②現(xiàn)需按毛利潤的交納各種稅費，人工費每日按銷售量每件支出0.9元，水電房租費每日102元，若剩下的每天總純利潤要達到5100元，則每件漲價應(yīng)為多少？26．（2022秋·湖北荊州·九年級統(tǒng)考期中）向陽村養(yǎng)雞專業(yè)戶李明2020年的純收入是6萬元，預(yù)計2022年的純收入是7.26萬元．(1)求李明這兩年純收入的年平均增長率；(2)隨著養(yǎng)雞規(guī)模不斷擴大，李明需要再建一個養(yǎng)雞場，他計劃用一段長為100米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場（如圖），墻長50米，養(yǎng)雞場面積為1200米2，求養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度．27．（江蘇省東臺市時堰鎮(zhèn)后港中學(xué)2017屆九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節(jié)，科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：溫度/℃……－4－20244.5……植物每天高度增長量/mm……414949412519.75……這些數(shù)據(jù)說明：植物每天高度增長量關(guān)于溫度的函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種．（1）你認為是哪一種函數(shù)，并求出它的函數(shù)關(guān)系式；（2）溫度為多少時，這種植物每天高度增長量最大？（3）如果實驗室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長量的總和超過250mm，那么實驗室的溫度應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)選擇？請直接寫出結(jié)果．28．（2015春·江蘇無錫·九年級階段練習(xí)）在氣候?qū)θ祟惿鎵毫θ遮吋哟蟮慕裉?，發(fā)展低碳經(jīng)濟，全面實現(xiàn)低碳生活成為人們的共識，某企業(yè)采用技術(shù)革新，節(jié)能減排，經(jīng)分析前5個月二氧化碳排放量y(噸)與月份x(月)之間的函數(shù)關(guān)系是y=－2x+50．（1）隨著二氧化碳排放量的減少，每排放一噸二氧化碳，企業(yè)相應(yīng)獲得的利潤也有所提高，且相應(yīng)獲得的利潤p(萬元)與月份x(月)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，那么哪月份，該企業(yè)獲得的月利潤最大？最大月利潤是多少萬元？（2）受國家政策的鼓勵，該企業(yè)決定從6月份起，每月二氧化碳排放量在上一個月的基礎(chǔ)上都下降a%，與此同時，每排放一噸二氧化碳，企業(yè)相應(yīng)獲得的利潤在上一個月的基礎(chǔ)上都增加50%，要使今年6、7月份月利潤的總和是今年5月份月利潤的3倍，求a的值（精確到個位）．（參考數(shù)據(jù)：=7.14，=7.21，=7.28，=7.35）

考點08二次函數(shù)實際應(yīng)用問題的7大類型1圍欄籬笆圖形類問題的解決方法幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．面積的最值問題應(yīng)設(shè)圖形的一邊長為自變量，所求面積為函數(shù)，建立二次函數(shù)的模型，利用二次函數(shù)有關(guān)知識求得最值，要注意函數(shù)自變量的取值范圍.一般涉及到矩形等四邊形問題，把圖形的面積公式掌握，把需要用到的邊和高等用未知數(shù)表示，即可表示出面積問題的二次函數(shù)的關(guān)系式，通過最值問題的解決方法，即可求出最值等問題，注意自變量的取值范圍問題。2圖形運動問題的解決思路此類問題一般具體分析動點所在位置，位置不同，所求的結(jié)果也不一樣，一般把每一段的解析式求出來，根據(jù)解析式判斷函數(shù)類型，從而判斷圖像形狀。3拱橋問題的解決方法◆1、建立二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．◆2、建立二次函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；合理設(shè)出函數(shù)解析式；利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；根據(jù)求得的解析式進一步分析、判斷并進行有關(guān)的計算.4銷售問題◆1、銷售問題中的數(shù)量關(guān)系：銷售利潤=銷售收入﹣成本；銷售總利潤=銷售量×單價利潤◆2、求解最大利潤問題的一般步驟：建立利潤與價格之間的函數(shù)關(guān)系式：運用“總利潤=單件利潤×總銷量”或“總利潤=總售價-總成本”；（2）結(jié)合實際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤：可以利用配方法或公式求出最大利潤；也可以畫出函數(shù)的簡圖，利用簡圖和性質(zhì)求出.◆3、在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．5投球問題的解決方法此類問題一般需要建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)定好每個點的坐標(biāo)，分析好題目中的每句話的含義是解決這類問題的關(guān)鍵，有排球、足球、高爾夫球、籃球等，首先根據(jù)已知條件確定設(shè)定的解析式形式，求出解析式，再根據(jù)題意了解問題所求的實質(zhì)是什么求出即可。6噴水問題此類問題跟投球問題差不多，首先根據(jù)坐標(biāo)系和題意確定點的坐標(biāo)情況，根據(jù)點的坐標(biāo)求出解析式。7增長率問題考點1圍欄籬笆圖形類問題的解決方法考點2圖形運動問題的解決思路考點3拱橋問題的解決方法考點4銷售問題考點5投球問題的解決方法考點6噴水問題考點7增長率問題考點1圍欄籬笆圖形類問題的解決方法1．（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，利用一面墻（墻的長度不超過），用長的籬笆圍成一個矩形場地，并且與墻平行的邊留有寬建造一扇門方便出入（用其他材料）．設(shè)，矩形的面積為．

(1)請寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍：(2)怎樣圍才能使矩形場地的面積為？(3)能否使所圍矩形場地的面積為，若能，請算出此時矩形的長與寬，若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)長為，寬為(3)不能，理由見解析【分析】（1）利用矩形的面積等于長乘寬，列出解析式即可；（2）令，解一元二次方程求解即可；（3）令，計算一元二次方程的判別式判斷求解即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可得，；（2）∵令，即，解得：，．墻的長度不超過，不合題意，應(yīng)舍去．當(dāng)時，．所以，當(dāng)所圍矩形的長為寬為時，能使矩形的面積為．（3）不能．理由如下：∵令，即．，．上述方程沒有實數(shù)根．因此，不能使所圍矩形場地的面積為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解一元二次方程以及判別式的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確的求出二次函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，有長為的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度a為），設(shè)花圃的寬為，面積為．(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；(2)要圍成面積為的花圃，的長是多少米？【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題可知，花圃的寬為x米，則為米，即可得，根據(jù)可得x值的取值范圍；；（2）由題意得，解方程即可．【詳解】（1）解：由題可知，花圃的寬為x米，則為米，，∴S與x的函數(shù)關(guān)系式為：；∵墻的最大可用長度a為，即，∴,∴，即自變量的取值范圍是；（2）解：由題意，得，整理，得，解得：，，∵，∴不合題意，舍去，∴的長為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出二次函數(shù)和一元二次方程．3．（2022秋·浙江麗水·九年級?？计谥校┤鐖D1，要利用一面墻（墻長為）建羊圈，用的圍欄圍成兩個大小相同的矩形羊圈，設(shè)羊圈的一邊長為，羊圈總面積為．(1)請問能否圍成總面積為的羊圈，若能，請求出的長；若不能，請說明理由．(2)如果兩個矩形羊圈各開一個寬的門（如圖2），在不浪費圍欄的情況下，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出x的取值范圍，求出羊圈總面積最大值．【答案】(1)不能圍成總面積為的羊圈，理由見解析(2)羊圈總面積最大值【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，根據(jù)根的判別式，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，整理，得，∵，∴此方程無實數(shù)根，∴不能圍成總面積為的羊圈；（2）解：∵墻長為，∴，∴，解得：，根據(jù)題意，得，即所求的函數(shù)解析式為：．∵，在對稱軸直線x＝右側(cè)y隨x增大而減小，∴時，y的最大值為85．答：羊圈總面積最大值．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意表示長方形的長BC，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·北京豐臺·九年級北京十八中?？计谥校╇S某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)區(qū)（長方形），飼養(yǎng)區(qū)的一面靠墻（墻最大可用長度為15米），另三邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄），建成后木欄總長45米，設(shè)飼養(yǎng)區(qū)（長方形）的寬為米．(1)飼養(yǎng)區(qū)的長＝．（用含的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)為何值時，飼養(yǎng)區(qū)的面積最大，此時飼養(yǎng)區(qū)達到的最大面積為多少．【答案】(1)米(2)當(dāng)時，飼養(yǎng)場的面積最大，最大面積為165【分析】（1）根據(jù)題意和圖形，可以用含的代數(shù)式表示出的長；（2）根據(jù)題意可以得到與的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍，可以解答本題．【詳解】（1）解：由圖可得，的長為（米），故答案為：米；（2）解：設(shè)飼養(yǎng)場的面積是，由題意得：，即，解得：，則，該函數(shù)的對稱軸為，∵，∴當(dāng)時，隨的增大而減小，故當(dāng)時，取得最大值為165，答：當(dāng)時，飼養(yǎng)場的面積最大，最大面積為165【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和方程的知識解答．考點2圖形運動問題的解決思路5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖所示，在中，，，，點從點A開始沿邊向點以的速度運動，點從點開始沿邊向點以的速度運動．、分別從A、同時出發(fā)，當(dāng)、兩點中有一點停止運動時，則另一點也停止運動．設(shè)運動的時間為s．(1)當(dāng)為何值時，的長度等于；(2)求出關(guān)于的函數(shù)解析式，計算、出發(fā)幾秒時，有最大值，并求出這個最大面積？【答案】(1)當(dāng)為2秒時，的長度等于5cm．(2)；、出發(fā)秒時，有最大值，這個最大面積為．【分析】（1）由題意得：cm，cm，根據(jù)得，在中，根據(jù)勾股定理得，，進行計算得，即可得；由（1）知：cm，cm，（2）根據(jù)當(dāng)、兩點中有一點停止運動時，則另一點也停止運動得，即可得，則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】（1）解：由題意得：cm，cm，∵cm，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，解得：或（不合題意，舍去），．答：當(dāng)為2秒時，的長度等于．（2）解：由（1）知：cm，cm，∵當(dāng)、兩點中有一點停止運動時，則另一點也停止運動，∴，∴，∴，∴關(guān)于的函數(shù)解析式為，∴∵，∴當(dāng)秒時，有最大值，最大值為．即、出發(fā)秒時，有最大值，這個最大面積為．【點睛】本題考查了勾股定理，一元一次不等式組，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．6．（2020秋·四川涼山·九年級校考期中）如圖，在中，，動點P以的速度從A向B移動（不與B重合），動點Q以的速度從B向C移動，（不與C重合），若P、Q同時出發(fā)，試問經(jīng)過幾秒后，四邊形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?【答案】當(dāng)經(jīng)過時，S取得最小值，最小值為．【分析】根據(jù)等量關(guān)系“四邊形的面積的面積的面積”列出函數(shù)關(guān)系求最小值即可．【詳解】解：設(shè)P、Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為，四邊形的面積為，則有：．∵，∴當(dāng)時，S取得最小值，最小值為．【點睛】本題考查動點問題與二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)四邊形的面積等于兩個三角形的面積之差列出等式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，點P從點A出發(fā)，以cm/s的速度沿向終點B運動．過點P作與Q，當(dāng)點P不與A、B重合時，以線段為邊向右作長方形，使．設(shè)長方形與的重疊面積為S，點P的運動時間為t（s）．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長度．(2)連接，當(dāng)平分的面積時，求出t的值．(3)當(dāng)點N落在邊上時，求t的值．(4)用含t的代數(shù)式表示S．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用勾股定理求出，利用線段和差定義求出即可；（2）當(dāng)平分面積時，，列出關(guān)于t的方程，求解即可；（3）根據(jù)，構(gòu)建方程求出t即可；（4）分兩種情形：當(dāng)時，當(dāng)時，分別求解即可．【詳解】（1）解：在中，，，，∴（cm），∵（cm），∴（cm）；（2）解：當(dāng)平分面積時，，∵（cm），（cm），∴，∴；（3）解：當(dāng)點N落在邊上時，（cm），∵，，，∴，，∵，∴，，∴，∴；（4）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，，綜上所述，．【點晴】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．8．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，點P從點A開始沿AB向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動，運動時間為t．(1)幾秒后四邊形APQC的面積是19平方厘米；(2)若用S表示四邊形APQC的面積，經(jīng)過多長時間S取得最小值，并求出S的最小值．【答案】(1)1秒后四邊形APQC的面積是19平方厘米(2)時，取最小值為15平方厘米【分析】（1）由可得與的函數(shù)關(guān)系式，令求解．（2）將與的函數(shù)關(guān)系式化為頂點式求解．【詳解】（1）解：由題意得：，令，解得或（不符合題意，舍去）．秒后四邊形的面積是19平方厘米．（2）解：由（1）得，時，取最小值為15平方厘米．【點睛】本題考查圖形的動點問題，解題關(guān)鍵是掌握求二次函數(shù)最值的方法，由題干列出與的關(guān)系式．考點3拱橋問題的解決方法9．（2022秋·廣東珠海·九年級珠海市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10m，橋洞與水面的最大距離是5m，橋洞兩側(cè)內(nèi)拱壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式∶(2)求兩盞景觀燈之間的水平距離．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)兩景觀燈間的距離為5m．【分析】（1）由圖形可知這是一條拋物線，根據(jù)圖形也可以知道拋物線的頂點坐標(biāo)為，與y軸交點坐標(biāo)是，設(shè)出拋物線的解析式將兩點代入可得拋物線解析式；（2）第二題中要求燈的距離，只需要把縱坐標(biāo)為4代入，求出x，然后兩者相減，就是他們的距離．【詳解】（1）解：由坐標(biāo)系可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為，與y軸交點坐標(biāo)是，設(shè)拋物線的解析式是，把代入，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由已知得兩景觀燈的縱坐標(biāo)都是4，∴，∴，∴，，∴兩景觀燈間的距離為（m）．答：兩景觀燈間的距離為5m．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，本題運用二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)式，運用二次函數(shù)解決實際問題．10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）某公路有一個拋物線形狀的隧道ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y＝﹣x2+c且過頂點C（0，5）.（長度單位：m）(1)直接寫出c＝；(2)求該隧道截面的最大跨度（即AB的長度）是多少米？(3)該隧道為雙向車道，現(xiàn)有一輛運貨卡車高4米、寬3米，問這輛卡車能否順利通過隧道？請說明理由.【答案】(1)5；(2)10米；(3)能安全通過，理由見解析．【分析】（1）將點C（0，5）代入拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+c即可求解；（2）由圖可知，A、B兩點之間的距離即為該隧道截面的最大跨度，故由方程0＝﹣x2+c的解即可求得；（3）該隧道為雙向車道，故將x＝3代入拋物線的解析式y(tǒng)＝﹣x2+c，求得y的值與4比較大小即可求解．【詳解】（1）解：∵頂點C（0，5）∴c＝5，故答案為：5．（2）解：由題意可得：0＝﹣x2+5，解得：x1＝5，x2＝﹣5，故AB＝2×5＝10米．（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，故能安全通過．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程、二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各知識點，能結(jié)合圖形與實際列式求解．11．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖①，橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA＝8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m．(1)按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；(2)一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設(shè)船底與水面齊平）．【答案】(1)y=-x2+2x（0≤x≤8）；(2)不會碰到頭，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖象可以求出函數(shù)的頂點B（4，4），先設(shè)拋物線的頂點式y(tǒng)=a（x-4）2+4，再根據(jù)圖象過原點，求出a的值即可；（2）先求出工人矩原點的距離，再把距離代入函數(shù)解析式求出y的值，然后和1.68比較即可．【詳解】（1）解：如圖②，由題意得：水面寬OA是8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m，結(jié)合函數(shù)圖象可知，頂點B（4，4），點O（0，0），設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a（x-4）2+4，將點O（0，0）代入函數(shù)表達式，解得：a=-，∴二次函數(shù)的表達式為y=-（x-4）2+4，即y=-x2+2x（0≤x≤8）；（2）解：工人不會碰到頭，理由如下：∵小船距O點0.4m，小船寬1.2m，工人直立在小船中間，由題意得：工人距O點距離為0.4+×1.2=1，∴將x=1代入y=-x2+2x，解得：y==1.75，∵1.75m＞1.68m，∴此時工人不會碰到頭．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求出函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求給出了兩個設(shè)計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．要在拱門中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時，，請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；(2)在方案一中，當(dāng)時，求矩形框架的面積并比較，的大?。敬鸢浮?1)(2)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法則，求出拋物線的解析式即可；（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，把代入得：，解得：，∴；∴方案一中拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：在中，令得：，解得或，∴，∴；∵，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法則，求出函數(shù)解析式．考點4銷售問題13．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價格購進一批山野菜，市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：每千克售價x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每千克山野菜的售價定為多少元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？【答案】(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126(2)當(dāng)每千克山野菜的售價定為28元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，然后根據(jù)總利潤等于每千克的利潤×銷售量，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由表中數(shù)據(jù)得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126；（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，∵市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＜30時，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝28時，w最大，最大值為420，∴當(dāng)每千克山野菜的售價定為28元時，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)．14．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品，某商家以每套34元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件，若該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套．(1)設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價定為x元時，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求每套售價定為多少元時，每天銷售套件所獲利潤W最大，最大利潤是多少元？【答案】(1)；(2)每套售價為91元時，每天銷售套件所獲利潤最大，最大利潤是6498元．【分析】（1）根據(jù)“該產(chǎn)品每套的售價是48元時，每天可售出200套；若每套售價提高2元，則每天少賣4套．”列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；（2）根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量，可得到函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得與x之間的函數(shù)關(guān)系式是．（2）解：根據(jù)題意，得∴拋物線開口向下，W有最大值當(dāng)時，答：每套售價為91元時，每天銷售套件所獲利潤最大，最大利潤是6498元．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）我國互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展走到了世界的前列，尤其是電子商務(wù)．據(jù)市場調(diào)查，天貓超市在銷售一種進價為每件40元的護眼臺燈中發(fā)現(xiàn)：每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1)設(shè)每月獲得利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月獲得最大利潤？(2)如果每月獲得8000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？；(3)由于市場競爭激烈，這種護眼燈的銷售單價不得高于75元，如果要每月銷售單價不低于60元，那么每月成本最少需要多少元？【答案】(1)當(dāng)銷售單價定為70元時，每月獲得最大利潤；(2)如果每月獲得8000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為60元或80元；(3)每月成本最少需要10000元．【分析】（1）設(shè)，把代入即可求出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)總利潤=單件的利潤×件數(shù)即可求出每月獲得利潤（元）關(guān)于銷售單價（元）的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）當(dāng)時，得到，解一元二次方程即可求解；（3）求出x的取值范圍，設(shè)成本為S，根據(jù)成本=進價×銷售量，即可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的增減性即可求出S的最小值．【詳解】（1）解：設(shè)，把代入可得，解得；∴，，∵，拋物線的開口向下，二次函數(shù)有最大值，∴當(dāng)時，w有最大值為元，∴當(dāng)銷售單價定為70元時，每月獲得最大利潤；（2）解：當(dāng)時，則，解得：，；答：如果每月獲得8000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為60元或80元；（3）解：設(shè)成本為S，依題意得：，∴，∵，∴S隨x增大而減小，∴時，S有最小值為10000元，答：每月成本最少需要10000元．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和實際問題中的等量關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．16．（2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）某建材商店代銷一種建筑材料，當(dāng)每噸售價為元時，月銷售量為噸；該建材商店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取漲價的方式進行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)．當(dāng)每噸建筑材料售價每上調(diào)元時，月銷售量就會減少噸，每售出噸建筑材料共需支付廠家及其他費用元，設(shè)每噸建筑材料售價為(元)，該建材商店的月利潤為(元)．(1)當(dāng)每噸售價是元時，計算此時的月銷售量；(2)求出與的函數(shù)關(guān)系式（寫出的取值范圍）；(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？【答案】(1)噸(2)(3)元【分析】（1）當(dāng)每噸售價是元時，月銷售量的減少量為，據(jù)此可求得答案．（2）每噸材料售價為元，則月銷售量，根據(jù)月利潤(售價)月銷售量，可求得答案．（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象開口方向，結(jié)合對稱軸和的取值范圍，即可求得答案．【詳解】（1）當(dāng)售價為元時，月銷售量為：(噸)．所以，當(dāng)售價為元時，月銷售量為噸．（2）每噸材料售價為元，則月銷售量．所以，．化簡，得．（3）因為二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸，所以，當(dāng)時，可以取得最大值．所以，售價定為每噸元時，該經(jīng)銷店獲得最大月利潤．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，牢記二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點5投球問題的解決方法17．（2020秋·廣東中山·九年級中山市華僑中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某足球運動員站在點處練習(xí)射門，將足球從離地面的處正對球門踢出（點在軸上），足球的飛行高度（單位：）與飛行時間（單位：）之間滿足函數(shù)關(guān)系，已知足球飛行時，離地面的高度為．

(1)足球飛行的時間是多少時，足球離地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飛行的水平距離（單位：）與飛行時間（單位：）之間具有函數(shù)關(guān)系，已知球門的高度為，如果該運動員正對球門射門時，離球門的水平距離為，他能否將球直接射入球門？【答案】(1)飛行的時間是2秒時，足球離地面最高，最大高度是米(2)不能【分析】（1）由題意得：函數(shù)的圖象經(jīng)過，，于是得到，求得拋物線的解析式為：，即可得到最值；（2）把代入得，當(dāng)時，，于是得到他不能將球直接射入球門．【詳解】（1）解：由題意得：函數(shù)的圖象經(jīng)過，，，解得：，拋物線的解析式為：，當(dāng)時，，∴飛行的時間是2秒時，足球離地面最高，最大高度是米；（2）把代入得，當(dāng)時，，他不能將球直接射入球門．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確求得解析式是解題的關(guān)鍵．18．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）擲實心球是某市中考體育考試的選考項目．如圖①是一名男生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時起點處高度為2m，當(dāng)水平距離為時，實心球行進至最高點處．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)該市2023年中考體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于，此項考試得分為滿分17分．按此評分標(biāo)準(zhǔn)，該生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．【答案】(1)(2)該生在此項考試中得不到滿分，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得拋物線的頂點坐標(biāo)為，且過點，設(shè)拋物線解析式為，將代入，求解即可；（2）將代入拋物線解析式，求得，即可判斷．【詳解】（1）解：（1）根據(jù)題意可得拋物線的頂點坐標(biāo)為，且過點，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：，把代入解析式得：解得：，∴所求解析式：；（2）解：該生在此項考試中得不到滿分，理由：當(dāng)，則，解得：，（舍去），∵，∴該生在此項考試中得不到滿分．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，正確求得函數(shù)解析式．19．（2022·福建廈門·九年級廈門一中?？茧A段練習(xí)）小明進行鉛球訓(xùn)練，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來研究鉛球的運動情況．他以水平方向為軸方向，為單位長度，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球從軸上的點出手，運動路徑可看作拋物線，在點處達到最高位置，落在軸上的點處．小明某次試投時的數(shù)據(jù)如圖所示．(1)根據(jù)圖中信息，求出鉛球路徑所在拋物線的表達式；(2)若鉛球投擲距離（鉛球落地點與出手點的水平距離的長度）不小于，成績?yōu)閮?yōu)秀．請通過計算，判斷小明此次試投的成績是否能達到優(yōu)秀．【答案】(1)(2)能達到優(yōu)秀【分析】（1）由圖中信息可設(shè)拋物線解析式為，然后把點代入求解即可；（2）當(dāng)時，則有，求解即可得到點C的坐標(biāo)，進而問題可求解．【詳解】（1）解：依題意，拋物線的頂點坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，設(shè)該拋物線的表達式為，由拋物線過點，有，解得，∴該拋物線的表達式為；（2）解：令，得，解得，（C在x正半軸，故舍去），∴點的坐標(biāo)為（，），∴，由，可得，∴小明此次試投的成績達到優(yōu)秀．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題中信息得出拋物線的解析式．20．（2022秋·浙江嘉興·九年級?？计谥校┬￡懞托螀⒓芋w育節(jié)雙人互墊排球項目，小陸和小呂按比賽要求站立，小陸在左邊發(fā)球后，排球球心運動的路線為拋物線的一部分，以拋物線對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），小陸發(fā)球時排球球心與y軸水平距離為，且球心離地最大高度是，根據(jù)圖中信息：(1)請求出排球球心運動路線的函數(shù)表達式；(2)求小陸發(fā)球時球心離地高度多少米；(3)若接球時球心離地高度不高于0.5m，則小呂在接球時球心離y軸至少多少米？（精確到0.1米，參考值：≈1.73，≈2.45）【答案】(1)(2)0.7(3)小呂在接球時球心離y軸至少1.8米【分析】（1）根據(jù)對稱軸為y軸，球心離地最大高度是，經(jīng)過點，利用待定系數(shù)法求解；（2）將代入所求的函數(shù)表達式，求出對應(yīng)的y值即可；（3）將代入所求的函數(shù)表達式，求出對應(yīng)的x值即可．【詳解】（1）解：拋物線對稱軸為y軸，設(shè)拋物線的解析式為，球心離地最大高度是，，，將點代入，可得：，解得，設(shè)拋物線的解析式為；（2）解：將代入可得：，小陸發(fā)球時球心離地高度為米；（3）解：將代入可得：，解得，，小呂在y軸右側(cè)，，小呂在接球時球心離y軸至少米．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠從具體情境中抽象出拋物線的模型．考點6噴水問題21．（2022秋·湖北咸寧·九年級校考階段練習(xí)）如圖水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m．試求水柱落點距O點4m時的噴頭高度．【答案】8m【分析】根據(jù)題意可得：在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時，可設(shè)；噴頭高4m時，可設(shè)；分別把（2.5，0）、（3，0）代入可得a和b的值，再設(shè)水柱落點距O點4m時的噴頭高度為hm，可得水柱落點距O點4m時的解析式為，把（4，0）代入，即可求解．【詳解】解：由題意得，在調(diào)整噴頭高度的過程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，當(dāng)噴頭高2.5m時，可設(shè)，將（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5=0①；噴頭高4m時，可設(shè)，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，聯(lián)立①②得：，解得：，設(shè)水柱落點距O點4m時的噴頭高度為hm，∴水柱落點距O點4m時的解析式為，把點（4，0）代入得：，解得：h=8，即水柱落點距O點4m時的噴頭高度為8m．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的運用，重點是二次函數(shù)解析式的求法，直接利用二次函數(shù)的平移性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【答案】(1)(2)2或6m【分析】（1）根據(jù)頂點，設(shè)拋物線的表達式為，將點，代入即可求解；（2）將代入（1）的解析式，求得的值，進而求與點的距離即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點為，設(shè)拋物線的解析式為，將點代入，得，解得，拋物線的解析式為，（2）由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握頂點式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·北京·九年級專題練習(xí)）某社區(qū)文化廣場修建了一個人工噴泉，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，噴水口為A，噴水口A距地面2m，噴出水流的軌跡是拋物線．水流最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為1m，水流落地點C距離噴水槍底部B的距離為3m．請解決以下問題：(1)如圖，以B為原點，BC所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則點A的坐標(biāo)是______，點C的坐標(biāo)是______，水流軌跡拋物線的對稱軸是______．(2)求出水柱最高點P到地面的距離．(3)在線段BC上到噴水槍AB所在直線的距離為2m處放置一物體，為避免物體被水流淋到，物體的高度應(yīng)小于多少米？請說明理由．【答案】(1)；；(2)m(3)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合平面直角坐標(biāo)系即可求得答案．（2）根據(jù)（1）中點A、點C的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸即可求得拋物線的解析式，根據(jù)頂點式即可求得函數(shù)最大值，從而求得答案．（3）由（2）中函數(shù)的表達式，當(dāng)時求出函數(shù)的值，從而即可求得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意由坐標(biāo)系可得，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)，又由點P到噴水槍AB所在直線的距離為1m，水流軌跡拋物線的對稱軸，故答案為：；；．（2）設(shè)拋物線的表達式為：，由（1）可得，，解得，，當(dāng)時，有最大值為，水柱最高點P到地面的距離m．（3）物體的高度應(yīng)小于米，由（2）得，當(dāng)時，，物體的高度應(yīng)小于米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，一個圓形噴水池的中央垂直于水面安裝了一個柱形噴水裝置OA，O恰好在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的平面上，按如圖所示建立直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式可以用表示，且拋物線經(jīng)過點，．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并確定噴水裝置OA的高度；(2)噴出的水流距水面的最大高度是多少米？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？【答案】(1)噴水裝置OA的高度為米；(2)噴出的水流距水面的最大高度是米；(3)水池的半徑至少要1+米，才能使噴出的水流不至于落在池外【分析】（1）將點B、C坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c列方程組求出b、c的值即可得解析式，令x＝0可得y的值，即噴水裝置OA的高度；（2）將拋物線解析式配方成頂點式即可得其最大值，即水流距水面的最大高度；（3）令y＝0可得對應(yīng)x的值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，將點B（，），C（2，）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x2+2x+，當(dāng)x＝0時，y＝，∴噴水裝置OA的高度為米；（2）解∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+，∴當(dāng)x＝1時，y取得最大值，故噴出的水流距水面的最大高度是米；（3）解：當(dāng)y＝0時，﹣x2+2x+＝0，解得：x1＝1﹣，x2＝1+，∵x1＝1﹣＜0，不合題意，舍去，∴x2＝1+，答：水池的半徑至少要1+米，才能使噴出的水流不至于落在池外．【點睛】本題是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握拋物線頂點、與x軸交點、y軸交點的實際意義是解題的關(guān)鍵．考點7增長率問題25．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校┠成痰赀M購一商品，第一天每件盈利（毛利潤）10元，銷售500件．(1)第二、三天該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎(chǔ)上，第二、三天的銷售量達到605件，求第二、三天的日平均增長率；(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每件漲價1元，日銷量將減少20件．①現(xiàn)要保證每天總毛利潤6000元，同時又要使顧客得到實惠，則每件應(yīng)張價多少元？②現(xiàn)