專題06新定義型問題(原卷版+解析)

2023年中考不?？紳M分當成寶數(shù)學10個特色專題精煉（中等難度）專題06新定義型問題1.定義一種新的運算：如果．則有，那么的值是（）A. B.5 C. D.2.定義一種運算：a?b=a,a≥A.x>1或x<1C.x>1或x<?1 3．對于任意的有理數(shù)a，b，如果滿足+＝，那么我們稱這一對數(shù)a，b為“相隨數(shù)對”，記為（a，b）．若（m，n）是“相隨數(shù)對”，則3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．34．定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥5.定義：一次函數(shù)y＝ax+b的特征數(shù)為[a，b]，若一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點，且點A，B關于原點對稱，則一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是（）A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]6．設P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點，當a≤x≤b時，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”．則下列結論：①函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”；③0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”；④2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④7.（2022黑龍江大慶）函數(shù)叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)．定義，則下列說法正確的個數(shù)為()①；②；③高斯函數(shù)中，當時，x的取值范圍是；④函數(shù)中，當時，．A.0 B.1 C.2 D.38.（2022湖南常德）我們發(fā)現(xiàn)：，，，…，，一般地，對于正整數(shù)，，如果滿足時，稱為一組完美方根數(shù)對．如上面是一組完美方根數(shù)對．則下面4個結論：①是完美方根數(shù)對；②是完美方根數(shù)對；③若是完美方根數(shù)對，則；④若是完美方根數(shù)對，則點在拋物線上．其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個9.在平面直角坐標系中，對于橫、縱坐標相等的點稱為“好點”．下列函數(shù)的圖象中不存在“好點”的是（）A. B. C. D.10.定義新運算，對于任意實數(shù)a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，若（k為實數(shù)）是關于x的方程，則它的根的情況是（）A.有一個實根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.有兩個相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根11.在實數(shù)范圍內定義運算“☆”：，例如：．如果，則的值是（）A. B.1 C.0 D.212.規(guī)定：.給出以下四個結論：（1）；（2）；；（4）其中正確的結論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個13．定義：a*b＝，則方程2*（x+3）＝1*（2x）的解為．14．閱讀材料：設＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，則x1?y2＝x2?y1，根據(jù)該材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，則m＝．15.對于實數(shù)，定義運算．若，則_____．16．我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是．17．定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的一些結論：①當m＝1時，函數(shù)圖象的對稱軸是y軸；②當m＝2時，函數(shù)圖象過原點；③當m＞0時，函數(shù)有最小值；④如果m＜0，當x＞時，y隨x的增大而減?。渲兴姓_結論的序號是．18.（2022浙江寧波）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，．若，則x的值為___________．19．若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是．20.我們定義一種新函數(shù)：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，且b2-4a＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結論：①圖象與坐標軸的交點為（-1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1；③當-1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當x=-1或x=3時，函數(shù)的最小值是0；⑤當x=1時，函數(shù)的最大值是4．其中正確結論的個數(shù)是______．21．定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．理解：（1）如圖1，點A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點D，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是等補四邊形；探究：（2）如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由．運用：（3）如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F，CD＝10，AF＝5，求DF的長．22．在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”，如圖為點P，Q的“相關矩形”示意圖．（1）已知點A的坐標為（1，0），①若點B的坐標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面積；②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；（2）⊙O的半徑為，點M的坐標為（m，3），若在⊙O上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍．23．在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關聯(lián)點．（1）當⊙O的半徑為2時，①在點P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關聯(lián)點是．②點P在直線y=﹣x上，若P為⊙O的關聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍．（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B．若線段AB上的所有點都是⊙C的關聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．24．如圖，若b是正數(shù)，直線l：y＝b與y軸交于點A；直線a：y＝x﹣b與y軸交于點B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；（2）當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；（3）設x0≠0，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點（x0，0）與點D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”，分別直接寫出b＝2019和b＝2019.5時“美點”的個數(shù)．25．已知平面圖形S，點P、Q是S上任意兩點，我們把線段PQ的長度的最大值稱為平面圖形S的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對角線的長度．（1）寫出下列圖形的寬距：①半徑為1的圓：；②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：；（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐標平面內的點，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d．①若d＝2，用直尺和圓規(guī)畫出點C所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示）；②若點C在⊙M上運動，⊙M的半徑為1，圓心M在過點（0，2）且與y軸垂直的直線上．對于⊙M上任意點C，都有5≤d≤8，直接寫出圓心M的橫坐標x的取值范圍．26.定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．理解：（1）若四邊形是對余四邊形，則與的度數(shù)之和為______；證明：（2）如圖1，是的直徑，點在上，，相交于點D．求證：四邊形是對余四邊形；探究：（3）如圖2，在對余四邊形中，，，探究線段，和之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并說明理由．27.閱讀感悟有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數(shù)的值，而是關于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：（1）已知二元一次方程組，則________，________；（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？（3）對于實數(shù)x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，那么________．28．我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“T函數(shù)”，其圖象上關于y軸對稱的不同兩點叫做一對“T點”．根據(jù)該約定，完成下列各題．（1）若點A（1，r）與點B（s，4）是關于x的“T函數(shù)”y＝的圖象上的一對“T點”，則r＝，s＝，t＝（將正確答案填在相應的橫線上）；（2）關于x的函數(shù)y＝kx+p（k，p是常數(shù)）是“T函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對“T點”如果不是，請說明理由；（3）若關于x的“T函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常數(shù)）經(jīng)過坐標原點O，且與直線l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常數(shù)）交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，當x1，x2滿足（1﹣x1）﹣1+x2＝1時，直線l是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標；否則，請說明理由．29．在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁點”．（1）求函數(shù)y＝圖象上的“雁點”坐標；（2）若拋物線y＝ax2+5x+c上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側）．當a＞1時．①求c的取值范圍；②求∠EMN的度數(shù)；（3）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），P是拋物線y＝﹣x2+2x+3上一點，連接BP，以點P為直角頂點，構造等腰Rt△BPC，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．2023年中考不?？紳M分當成寶數(shù)學10個特色專題精煉（中等難度）專題06新定義型問題1.定義一種新的運算：如果．則有，那么的值是（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意列出算式，求解即可．【點睛】本題考查了新定義運算、負指數(shù)冪的運算，絕對值的計算，解決本題的關鍵是牢記公式與定義，本題雖屬于基礎題，但其計算中容易出現(xiàn)符號錯誤，因此應加強符號運算意識，提高運算能力與技巧等．2.定義一種運算：a?b=a,a≥A.x>1或x<1C.x>1或x<?1 【答案】C【解析】由新定義得2x+1≥2?x2x+1解得x>1或3．對于任意的有理數(shù)a，b，如果滿足+＝，那么我們稱這一對數(shù)a，b為“相隨數(shù)對”，記為（a，b）．若（m，n）是“相隨數(shù)對”，則3m+2[3m+（2n﹣1）]＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)（m，n）是“相隨數(shù)對”得出9m+4n＝0，再將原式化成9m+4n﹣2，最后整體代入求值即可．∵（m，n）是“相隨數(shù)對”，∴+＝，∴＝，即9m+4n＝0，∴3m+2[3m+（2n﹣1）]＝3m+2[3m+2n﹣1]＝3m+6m+4n﹣2＝9m+4n﹣2＝0﹣2＝﹣2，4．定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥【答案】C【解析】先根據(jù)新定理得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理為一般式，接著根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．根據(jù)題意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因為方程有兩個實數(shù)解，所以k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．5.定義：一次函數(shù)y＝ax+b的特征數(shù)為[a，b]，若一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖象向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)y＝﹣的圖象交于A，B兩點，且點A，B關于原點對稱，則一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是（）A．[2，3] B．[2，﹣3] C．[﹣2，3] D．[﹣2，﹣3]【答案】D【解析】將一次函數(shù)y＝﹣2x+m的圖像向上平移3個單位長度后，得到解析式y(tǒng)＝﹣2x+m+3，聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，得到關于x的一元二次方程，設A（x1，0），B（x2，0），所以x1與x2是一元二次方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)關系，得到，又A，B兩點關于原點對稱，所以x1+x2＝0，則，得到m＝﹣3，根據(jù)定義，得到一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是[﹣2，﹣3]．解：將一次函數(shù)y＝﹣2x+m向上平移3個單位長度后得到y(tǒng)＝﹣2x+m+3，設A（x1，0），B（x2，0），聯(lián)立，∴2x2﹣（m+3）x﹣3＝0，∵x1和x2是方程的兩根，∴，又∵A，B兩點關于原點對稱，∴x1+x2＝0，∴，∴m＝﹣3，根據(jù)定義，一次函數(shù)y＝﹣2x+m的特征數(shù)是[﹣2，﹣3]，故選：D．6．設P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點，當a≤x≤b時，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”．則下列結論：①函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”；③0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”；④2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④【答案】A【解析】根據(jù)當a≤x≤b時，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”，逐項進行判斷即可．解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，當x＝1時，y1﹣y2最大值為﹣9，當x＝2時，y1﹣y2最小值為﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”不正確；②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，當x＝3時，y1﹣y2最大值為1，當x＝4時，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”正確；③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，當x＝時，y1﹣y2最大值為﹣，當x＝0或x＝1時，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，當然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”正確；④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，當x＝時，y1﹣y2最大值為，當x＝2或x＝3時，y1﹣y2最小值為1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”不正確；∴正確的有②③，故選：A．7.（2022黑龍江大慶）函數(shù)叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)．定義，則下列說法正確的個數(shù)為()①；②；③高斯函數(shù)中，當時，x的取值范圍是；④函數(shù)中，當時，．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】根據(jù)表示不超過x的最大整數(shù)，即可解答．①，故原說法錯誤；②，正確，符合題意；③高斯函數(shù)中，當時，x的取值范圍是，正確，符合題意；④函數(shù)中，當時，，正確，符合題意；所以，正確的結論有3個．故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解決本題的關鍵是明確表示不超過x的最大整數(shù)．8.（2022湖南常德）我們發(fā)現(xiàn)：，，，…，，一般地，對于正整數(shù)，，如果滿足時，稱為一組完美方根數(shù)對．如上面是一組完美方根數(shù)對．則下面4個結論：①是完美方根數(shù)對；②是完美方根數(shù)對；③若是完美方根數(shù)對，則；④若是完美方根數(shù)對，則點在拋物線上．其中正確的結論有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】根據(jù)定義逐項分析判斷即可．，是完美方根數(shù)對；故①正確；不是完美方根數(shù)對；故②不正確；若是完美方根數(shù)對，則即解得或是正整數(shù)則故③正確；若是完美方根數(shù)對，則,即故④正確故選C【點睛】本題考查了求算術平方根，解一元二次方程，二次函數(shù)的定義，理解定義是解題的關鍵．9.在平面直角坐標系中，對于橫、縱坐標相等的點稱為“好點”．下列函數(shù)的圖象中不存在“好點”的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)“好點”的定義判斷出“好點”即是直線y=x上的點，再各函數(shù)中令y=x，對應方程無解即不存在“好點”.根據(jù)“好點”的定義，好點即為直線y=x上的點，令各函數(shù)中y=x，A、x=-x，解得：x=0，即“好點”（0，0），故選項不符合；B、，無解，即該函數(shù)圖像中不存在“好點”，故選項符合；C、，解得：，經(jīng)檢驗是原方程解，即“好點”為（，）和（-，-），故選項不符合；D、，解得：x=0或3，即“好點”為（0，0）和（3，3），故選項不符合.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像上的點的坐標，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解題的關鍵是理解“好點”的定義.10.定義新運算，對于任意實數(shù)a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，若（k為實數(shù)）是關于x的方程，則它的根的情況是（）A.有一個實根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.有兩個相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】B【解析】將按照題中的新運算方法展開，可得，所以可得，化簡得：，，可得，即可得出答案.根據(jù)新運算法則可得：，則即為，整理得：，則，可得：，；，方程有兩個不相等的實數(shù)根；故答案選：B.【點睛】本題考查新定義運算以及一元二次方程根的判別式.注意觀察題干中新定義運算的計算方法，不能出錯；在求一元二次方程根的判別式時，含有參數(shù)的一元二次方程要尤其注意各項系數(shù)的符號.11.在實數(shù)范圍內定義運算“☆”：，例如：．如果，則的值是（）A. B.1 C.0 D.2【答案】C【解析】本題考查了實數(shù)的計算，一元一次方程的解法，本題的關鍵是能看明白題目意思，根據(jù)新定義的運算規(guī)則求解即可根據(jù)題目中給出的新定義運算規(guī)則進行運算即可求解．由題意知：，又，∴，∴．12.規(guī)定：.給出以下四個結論：（1）；（2）；；（4）其中正確的結論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結論．（1），故此結論正確；（2），故此結論正確；（3）故此結論正確；（4）==，故此結論錯誤.【點睛】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識，解題的關鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎知識，理解題中公式.13．定義：a*b＝，則方程2*（x+3）＝1*（2x）的解為．【答案】x＝1．【解析】2*（x+3）＝1*（2x），＝，4x＝x+3，x＝1，經(jīng)檢驗：x＝1是原方程的解，故答案為：x＝1．14．閱讀材料：設＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，則x1?y2＝x2?y1，根據(jù)該材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，則m＝．【答案】6【解析】根據(jù)材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，∴4m＝3×8，∴m＝6；故答案為6；【點評】本題考查新定義，點的坐標；理解閱讀材料的內容，轉化為所學知識求解是關鍵．15.對于實數(shù)，定義運算．若，則_____．【答案】【解析】根據(jù)給出的新定義分別求出與的值，根據(jù)得出關于a的一元一次方程，求解即可．∵，∴，，∵，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次方程、新定義下實數(shù)的運算等內容，理解題干中給出的新定義是解題的關鍵．16．我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是．【答案】8．【解析】根據(jù)平面向量的新定義運算法則，列出關于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答即可．根據(jù)題意知：?＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．因為﹣2≤x≤3，所以當x＝3時，?＝（3+1）2﹣8＝8．即?的最大值是8．17．定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的一些結論：①當m＝1時，函數(shù)圖象的對稱軸是y軸；②當m＝2時，函數(shù)圖象過原點；③當m＞0時，函數(shù)有最小值；④如果m＜0，當x＞時，y隨x的增大而減?。渲兴姓_結論的序號是．【答案】①②③．【解析】根據(jù)特征數(shù)的定義，寫出二次函數(shù)的表達式為y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．①寫出對稱軸方程后把m＝1代入即可判斷；②把m＝2代入即可判斷；③根據(jù)開口方向即可判斷；④根據(jù)對稱軸，開口方向，增減性即可判斷．由特征數(shù)的定義可得：特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的表達式為y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此拋物線的的對稱軸為直線x＝＝＝，∴當m＝1時，對稱軸為直線x＝0，即y軸．故①正確；∵當m＝2時，此二次函數(shù)表達式為y＝2x2﹣x，令x＝0，則y＝0，∴函數(shù)圖象過原點，故②正確；∵當m＞0時，二次函數(shù)圖象開口向上，函數(shù)有最小值，故③正確；∵m＜0，∴對稱軸x＝＝，拋物線開口向下，∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。磝＞時，y隨x的增大而減?。盛苠e誤．故答案為：①②③．18.（2022浙江寧波）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，．若，則x的值為___________．【答案】或【解析】根據(jù)新定義可得，由此建立方程解方程即可．∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵即，∴，解得，經(jīng)檢驗是方程的解，故答案為：．【點睛】考查新定義下的實數(shù)運算，解分式方程，正確理解題意得到關于x的方程是解題的關鍵．19．若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，…，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A．定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，…，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的數(shù)，n＝1，2，…，k且yn＝并規(guī)定x0＝xn，xn+1＝x1．如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是．【答案】0，1，0，1．【解析】根據(jù)“伴生數(shù)列”的定義依次取n＝1，2，3，4，求出對應的yn即可．當n＝1時，x0＝x4＝1＝x2，∴y1＝0，當n＝2時，x1≠x3，∴y2＝1，當n＝3時，x2＝x4，∴y3＝0，當n＝4時，x3≠x5＝x1，∴y4＝1，∴“伴生數(shù)列”B是：0，1，0，1，故答案為0，1，0，1．20.我們定義一種新函數(shù)：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，且b2-4a＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結論：①圖象與坐標軸的交點為（-1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=1；③當-1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當x=-1或x=3時，函數(shù)的最小值是0；⑤當x=1時，函數(shù)的最大值是4．其中正確結論的個數(shù)是______．【答案】4【解析】①∵（-1，0），（3，0）和（0，3）坐標都滿足函數(shù)y=|x2-2x-3|，∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線x=1，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質，發(fā)現(xiàn)當-1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y=0，求出相應的x的值為x=-1或x=3，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，當x＜-1或x＞3，函數(shù)值要大于當x=1時的y=|x2-2x-3|=4，因此⑤時不正確的；故答案是：4由（-1，0），（3，0）和（0，3）坐標都滿足函數(shù)y=|x2-2x-3|，∴①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線x=1，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質，發(fā)現(xiàn)當-1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點就是與x軸的兩個交點，根據(jù)y=0，求出相應的x的值為x=-1或x=3，因此④也是正確的；從圖象上看，當x＜-1或x＞3，函數(shù)值要大于當x=1時的y=|x2-2x-3|=4，因此⑤時不正確的；逐個判斷之后，可得出答案．理解“鵲橋”函數(shù)y=|ax2+bx+c|的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與y=|ax2+bx+c|與二次函數(shù)y=ax2+bx+c之間的關系；兩個函數(shù)性質之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問題的關鍵；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點、對稱性、對稱軸及最值的求法以及增減性應熟練掌握．21．定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．理解：（1）如圖1，點A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點D，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是等補四邊形；探究：（2）如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由．運用：（3）如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F，CD＝10，AF＝5，求DF的長．【答案】見解析【分析】（1）由圓內接四邊形互補可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再證AD＝CD，即可根據(jù)等補四邊形的定義得出結論；（2）過點A分別作AE⊥BC于點E，AF垂直CD的延長線于點F，證△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根據(jù)角平分線的判定可得出結論；（3）連接AC，先證∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再證△ACF∽△DAF，利用相似三角形對應邊的比相等可求出DF的長．解：（1）證明：∵四邊形ABCD為圓內接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD，∴四邊形ABCD是等補四邊形；（2）AD平分∠BCD，理由如下：如圖2，過點A分別作AE⊥BC于點E，AF垂直CD的延長線于點F，則∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四邊形ABCD是等補四邊形，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∴AC是∠BCF的平分線，即AC平分∠BCD；（3）如圖3，連接AC，∵四邊形ABCD是等補四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，由（2）知，AC平分∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴△ACF∽△DAF，∴，即，∴DF＝5﹣5．【點評】本題考查了新定義等補四邊形，圓的有關性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質等，解題關鍵是要能夠通過自主學習來進行探究，運用等．22．在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直，則稱該矩形為點P，Q的“相關矩形”，如圖為點P，Q的“相關矩形”示意圖．（1）已知點A的坐標為（1，0），①若點B的坐標為（3，1），求點A，B的“相關矩形”的面積；②點C在直線x=3上，若點A，C的“相關矩形”為正方形，求直線AC的表達式；（2）⊙O的半徑為，點M的坐標為（m，3），若在⊙O上存在一點N，使得點M，N的“相關矩形”為正方形，求m的取值范圍．【答案】見解析。【分析】（1）①由相關矩形的定義可知：要求A與B的相關矩形面積，則AB必為對角線，利用A、B兩點的坐標即可求出該矩形的底與高的長度，進而可求出該矩形的面積；②由定義可知，AC必為正方形的對角線，所以AC與x軸的夾角必為45，設直線AC的解析式為；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；（2）由定義可知，MN必為相關矩形的對角線，若該相關矩形的為正方形，即直線MN與x軸的夾角為45°，由因為點N在圓O上，所以該直線MN與圓O一定要有交點，由此可以求出m的范圍．【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）由定義可知：點A，B的“相關矩形”的底與高分別為2和1，∴點A，B的“相關矩形”的面積為2×1=2；②由定義可知：AC是點A，C的“相關矩形”的對角線，又∵點A，C的“相關矩形”為正方形∴直線AC與x軸的夾角為45°，設直線AC的解析為：y=x+m或y=﹣x+n把（1，0）分別y=x+m，∴m=﹣1，∴直線AC的解析為：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，綜上所述，若點A，C的“相關矩形”為正方形，直線AC的表達式為y=x﹣1或y=﹣x+1；（2）設直線MN的解析式為y=kx+b，∵點M，N的“相關矩形”為正方形，∴由定義可知：直線MN與x軸的夾角為45°，∴k=±1，∵點N在⊙O上，∴當直線MN與⊙O有交點時，點M，N的“相關矩形”為正方形，當k=1時，作⊙O的切線AD和BC，且與直線MN平行，其中A、C為⊙O的切點，直線AD與y軸交于點D，直線BC與y軸交于點B，連接OA，OC，把M（m，3）代入y=x+b，∴b=3﹣m，∴直線MN的解析式為：y=x+3﹣m∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D（0，2）同理可得：B（0，﹣2），∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，當k=﹣1時，把M（m，3）代入y=﹣x+b，∴b=3+m，∴直線MN的解析式為：y=﹣x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；綜上所述，當點M，N的“相關矩形”為正方形時，m的取值范圍是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【點評】本題考查新定義問題，涉及圓的切線性質，矩形的性質，正方形的性質，解答本題需要我們理解相關矩形的定義，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將新舊知識貫穿起來．23．在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M，給出如下的定義：若在圖形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關聯(lián)點．（1）當⊙O的半徑為2時，①在點P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的關聯(lián)點是．②點P在直線y=﹣x上，若P為⊙O的關聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍．（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B．若線段AB上的所有點都是⊙C的關聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．【答案】見解析。【解析】（1）①∵點P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1與⊙O的最小距離為，P2與⊙O的最小距離為1，OP3與⊙O的最小距離為，∴⊙O，⊙O的關聯(lián)點是P2，P3；故答案為：P2，P3；②根據(jù)定義分析，可得當最小y=﹣x上的點P到原點的距離在1到3之間時符合題意，∴設P（x，﹣x），當OP=1時，由距離公式得，OP==1，∴x=，當OP=3時，OP==3，解得：x=±；∴點P的橫坐標的取值范圍為：﹣≤≤﹣，或≤x≤；（2）∵直線y=﹣x+1與x軸、y軸交于點A、B，∴A（1，0），B（0，1），如圖1，當圓過點A時，此時，CA=3，∴C（﹣2，0），如圖2，當直線AB與小圓相切時，切點為D，∴CD=1，∵直線AB的解析式為y=﹣x+1，∴直線AB與x軸的夾角=45°，∴AC=，∴C（1﹣，0），∴圓心C的橫坐標的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣；如圖3，當圓過點A，則AC=1，∴C（2，0），如圖4，當圓過點B，連接BC，此時，BC=3，∴OC==2，∴C（2，0）．∴圓心C的橫坐標的取值范圍為：2≤xC≤2；綜上所述；圓心C的橫坐標的取值范圍為：﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質，勾股定理，直線與圓的位置關系，兩點間的距離公式，正確的作出圖形是解題的關鍵．24．如圖，若b是正數(shù)，直線l：y＝b與y軸交于點A；直線a：y＝x﹣b與y軸交于點B；拋物線L：y＝﹣x2+bx的頂點為C，且L與x軸右交點為D．（1）若AB＝8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；（2）當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；（3）設x0≠0，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點（x0，0）與點D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”，分別直接寫出b＝2019和b＝2019.5時“美點”的個數(shù)．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）當x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b，∴B（0，﹣b），∵AB＝8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）＝8，∴b＝4．∴L：y＝﹣x2+4x，∴L的對稱軸x＝2，當x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，∴L的對稱軸與a的交點為（2，﹣2）；（2）y＝﹣（x﹣）2+，∴L的頂點C（）∵點C在l下方，∴C與l的距離b﹣＝﹣（b﹣2）2+1≤1，∴點C與1距離的最大值為1；（3）由題意得，即y1+y2＝2y3，得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0）解得x0＝0或x0＝b﹣．但x0#0，取x0＝b﹣，對于L，當y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b），解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴右交點D（b，0）．∴點（x0，0）與點D間的距離b﹣（b﹣）＝（4）①當b＝2019時，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019x直線解析式a：y＝x﹣2019聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，∴可知每一個整數(shù)x的值都對應的一個整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個整數(shù)點∴總計4042個點，∵這兩段圖象交點有2個點重復重復，∴美點”的個數(shù)：4042﹣2＝4040（個）；②當b＝2019.5時，拋物線解析式L：y＝﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y＝x﹣2019.5，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，∴當x取整數(shù)時，在一次函數(shù)y＝x﹣2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點”為0，在二次函數(shù)y＝x+2019.5x圖象上，當x為偶數(shù)時，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣1到2019.5之間有1009個偶數(shù)，并且在﹣1和2019.5之間還有整數(shù)0，驗證后可知0也符合條件，因此“美點”共有1010個．故b＝2019時“美點”的個數(shù)為4040個，b＝2019.5時“美點”的個數(shù)為1010個．25．已知平面圖形S，點P、Q是S上任意兩點，我們把線段PQ的長度的最大值稱為平面圖形S的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對角線的長度．（1）寫出下列圖形的寬距：①半徑為1的圓：；②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：；（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐標平面內的點，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d．①若d＝2，用直尺和圓規(guī)畫出點C所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示）；②若點C在⊙M上運動，⊙M的半徑為1，圓心M在過點（0，2）且與y軸垂直的直線上．對于⊙M上任意點C，都有5≤d≤8，直接寫出圓心M的橫坐標x的取值范圍．【答案】見解析。【解析】（1）①平面圖形S的“寬距”的定義即可解決問題．②如圖1，正方形ABCD的邊長為2，設半圓的圓心為O，點P是⊙O上一點，連接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解決問題．（2）①如圖2﹣1中，點C所在的區(qū)域是圖中正方形AEBF，面積為2．②如圖2﹣2中，當點M在y軸的右側時，連接AM，作MT⊥x軸于T．求出d＝5或8時，點M的坐標，即可判斷，再根據(jù)對稱性求出點M在y軸左側的情形即可．【解答】（1）①半徑為1的圓的寬距離為1，故答案為1．②如圖1，正方形ABCD的邊長為2，設半圓的圓心為O，點P是⊙O上一點，連接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC＝＝＝∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+，∴這個“窗戶形“的寬距為1+．故答案為1+．（2）①如圖2﹣1中，點C所在的區(qū)域是圖中正方形AEBF，面積為2．②如圖2﹣2中，當點M在y軸的右側時，連接AM，作MT⊥x軸于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴當d＝5時．AM＝4，∴AT＝＝2，此時M（2﹣1，2），當d＝8時．AM＝7，∴AT＝＝2，此時M（2﹣1，2），∴滿足條件的點M的橫坐標的范圍為2﹣1≤x≤2﹣1．當點M在y軸的左側時，滿足條件的點M的橫坐標的范圍為﹣2+1≤x﹣2+1．【點評】本題屬于圓綜合題，考查了平面圖形S的“寬距”的定義，正方形的判定和性質，三角形的三邊關系等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會尋找特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．26.定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．理解：（1）若四邊形是對余四邊形，則與的度數(shù)之和為______；證明：（2）如圖1，是的直徑，點在上，，相交于點D．求證：四邊形是對余四邊形；探究：（3）如圖2，在對余四邊形中，，，探究線段，和之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并說明理由．【答案】（1）90°或270°；（2）見解析；（3），理由見解析【解析】（1）分當∠A和∠C互余時，當∠B和∠D互余時，兩種情況求解；（2）連接BO，得到∠BON+∠BOM=180°，再利用圓周角定理證明∠C+∠A=90°即可；（3）作△ABD的外接圓O，分別延長AC，BC，DC，交圓O于E，F(xiàn)，G，連接DF，DE，EF，先證明GF是圓O的直徑，得到，再證明△ABC∽△FEC，△ACD∽△GCE，△BCD∽△GCF，可得，，從而得出，根據(jù)△ABC為等邊三角形可得AB=AC=BC，從而得到.解：（1）∵四邊形是對余四邊形，當∠A和∠C互余時，∠A+∠C=90°，當∠B與∠D互余時，∠B+∠D=90°，則∠A+∠C=360°-90°=270°，故答案為：90°或270°；（2）如圖，連接BO，可得：∠BON=2∠C，∠BOM=2∠A，而∠BON+∠BOM=180°，∴2∠C+2∠A=180°，∴∠C+∠A=90°，∴四邊形是對余四邊形；（3）∵四邊形ABCD為對于四邊形，∠ABC=60°，∴∠ADC=30°，如圖，作△ABD的外接圓O，分別延長AC，BC，DC，交圓O于E，F(xiàn)，G，連接DF，DE，EF，則∠AEF=∠ABC=60°，∠AEG=∠ADG=30°，∴∠AEF+∠AEG=90°，即∠FEG=90°，∴GF是圓O的直徑，∵AB=BC，∴△ABC為等邊三角形，∵∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠ECF，∴△ABC∽△FEC，得：，則，同理，△ACD∽△GCE，得：，則，△BCD∽△GCF，得：，可得：，而，∴，∴，∴，∵AB=BC=AC，∴.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，四邊形的新定義問題，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，多邊形內角和，解題的關鍵是理解對余四邊形的概念，結合所學知識求證.27.閱讀感悟有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數(shù)的值，而是關于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：（1）已知二元一次方程組，則________，________；（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？（3）對于實數(shù)x、y，定義新運算：，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，那么________．【答案】（1）-1，5；（2）購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元；（3）-11【解析】（1）已知，利用解題的“整體思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；（2）設每支鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，根據(jù)題意列出方程組，根據(jù)（1）中“整體思想”，即可求解；（3）根據(jù)，可得，，，根據(jù)“整體思想”，即可求得的值．【詳解】（1）①-②，得x-y=-1①+②，得3x+3y=15∴x+